Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-06-11 | 278 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть
;
m x = x 1· p 1 + x 2 · p 2 + … + xn · pn – математическое ожидание x (центр);
x – m x – отклонение x от центра;
(x – m x)2 – квадрат отклонения x от центра.
Очевидно,
(x – m x)2 : .
Дисперсией дискретной случайной величины x называется математическое ожидание квадрата отклонений от центра:
D [ x ] = D x = M [(x – m x)2] = p 1 (x 1– m x)2 + p 2 (x 2– m x)2 +…+ + pn (xn – m x)2.
пример 1. , m x = 3,
Пример 2.
, m x = 3, D x = 1.
Помнить: дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно центра с учетом возможных значений и их вероятностей.
Свойства дисперсии:
10. D [ a ] = 0;
20. D [ a x ] = a 2 D x;
30. если x, h статистически независимы, то
D [ x + h ] = D [ x ] + D [ h ].
40. D x = M [x 2 ] – .
доказательство.
Первое и второе свойства непосредственно вытекают из определения и соответствующего свойства математического ожидания (доказать самостоятельно).
30. D [ x + h] = M [(x + h – m x + h)2] = m [(x + h – m x – – m h)2] = M [(x – m x+ h – m h)2] = M [(x– m x)2 + (h – m h)2 + + 2(x– m x)(h – m h)] = M [(x– m x)2 ] + M [(h – m h)2] + 2 M [x – – m x ]· M [h – m h] = D x + d h +2(m x – m x)(m h – m x) = D x + d h, что и требовалось.
Здесь существенно использовалась статистическая независимость случайных величин x – m x, h – m h.
40. D x = M [(x– m x)2 ] = M [x 2 – 2x m x + ] = M [x 2] –
– 2 M [x ]· m x + = M [x 2] – .
Величина
называется среднеквадратическим отклонением (СКО) случайной величины x. Очевидно, sx имеет тот же смысл, что и Dx – характеризует разброс случайной величины относительно центра с учетом возможных значений и их вероятностей. СКО имеет ту же физическую размерность, что и случайная величина x.
Закон распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины
Мы знаем, что закон распределения дискретной случайной величины x задается таблицей, в которой перечислены ее возможные значения и указаны их вероятности. Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в виде такой таблицы невозможно, так как в этом случае вероятности отдельных значений равны нулю.
|
Пример.
Испытание: берут наугад точку x на числовой оси так, что значения на отрезке [0, 1] равновозможны, остальные значения невозможны. Очевидно, x – непрерывная случайная величина.
Найдем
.
Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан двумя способами:
1. с помощью функции распределения F (x);
2. с помощью плотности вероятности f (x).
Функция распределения
Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина x.
Зафиксируем произвольное число х. В зависимости от случая возможны три исхода испытания:
x > x, x = x, x < x.
Каждое из этих трех событий случайно, поэтому имеет смысл говорить об их вероятности. Обозначим
F (x) = p (x < x).
Функция F (x) называется функцией распределения случайной величины x.
Рис. 11
свойства функции распределения
10. 0 ≤ F (x) ≤ 1;
20. F (x) монотонно не убывает (рис. 11);
30. F (– ¥) = 0, F (+ ¥) = 1;
40. P (a<x< b) = F (b) – F (a).
доказательство.
1. Это свойство вытекает из того, что вероятность любого события есть число, принадлежащее [0, 1].
2. Это свойство вытекает из того, что при увеличении х интервал (– ¥, х) расширяется, поэтому вероятность попадания в этот интервал не уменьшается.
3. F (– ¥) ,
F (+ ¥) .
4. Имеем:
F (b) = P (x < b) = =
= P (x < a) + P (x = a) + P (x Î (a, b)) = F (a) + 0 + P (a<x< b).
Отсюда вытекает требуемое равенство 40.
Замечание. Функция распределения F (x) имеет смысл и для дискретных случайных величин. Например, функция распределения случайной величины
x:
представляет собой кусочно-постоянную функцию, график которой изображен на рис. 12 (кружок означает, что в этом месте отсутствует точка на графике).
Рис. 12
Проверим это для случаев х >3, 2≤ х < 3. В первом случае имеем
|
F (x) = P (x < x) = P (x = 1 или x = 2 или x = 3) =
= P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) = 0,25 + 0,25 + 0,5 = 1.
Во втором случае
F (x) = P (x = 1 или x = 2) = Р (x = 1) + Р (x = 2) =
= 0,25 + 0,25 = 0,5.
Оставшиеся случаи 1≤ х < 2, x <1 предлагаем рассмотреть самостоятельно.
Плотность вероятности
[ ] Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина x.
Плотностью вероятности случайной величины x в точке х называется предел отношения вероятности попадания в отрезок [ x, x + D x ] к длине отрезка D x при условии, что отрезок стягивается к точке х:
.
Нестрого говоря, плотность вероятности – это вероятность попадания в отрезок длины 1.
Свойства плотности вероятности:
10. f (x) ≥ 0 при всех х.
20. P (x Î (a,b)) =
вероятность попадания в интервал равна заштрихованной площади (рис. 13).
Рис. 13
30. Площадь S бесконечной фигуры, ограниченной графиком плотности f (x) и осью абсцисс, равна 1 (рис. 13): S = 1.
Доказательство.
1. Это свойство вытекает из того, что предел неотрицательной функции неотрицателен.
2. Имеем
.
Отсюда получаем
;
учтено свойство 40 функции распределения.
3. .
Помнить: кривая плотности вероятности показывает, как суммарная вероятность 100% распределяется по интервалам.
Замечание. Рассмотрим два крайних случая (рис.14, 15). В первом случае с вероятностью, близкой к единице, случайная величина x принимает значения, близкие к х 0, в этом случае можно без большой погрешности считать, что x- неслучайная величина: x» х 0. Во втором случае суммарная вероятность 100% приблизительно равномерно распреде-лена по широкому спектру возможных значений, то есть в этом случае x сильно случайная величина.
Рис. 14 Рис. 15
Связь между f (x) и F (x)
Пусть с испытанием связана непрерывная случайная величина x с плотностью вероятности f (x) и функцией распределения F (x). Справедливы равенства
10. ;
20. .
доказательство.
1. по свойству плотности вероятности.
2. Это свойство было доказано выше (см. доказательство свойства 20 плотности).
Пример. Берут наугад точку x на оси так, что значения на [0, 1] равновозможны, а остальные невозможны. Найти: а) функцию распределения F (x); б) плотность вероятности f (x).
Решение. а) F (x) –? [ ]
Пусть
1. х ≤ 0: F (x) = P (x < x) = 0.
2. 0 < x≤ 1: F (x) = P (x < x) = P (– ¥ < x≤ 0 или 0 < x < x) =
|
= P (– ¥ < x ≤ 0) + P (0 < x < x) = 0 + = x.
3. x > 1: F (x) = P (x < x) = P (x≤ 0 или 0 < x ≤ 1 или 1 <x < x) =
|
Окончательно имеем
б) f (x) –? , отсюда
Замечание. Если график плотности вероятности имеет вид, изображенный на рис. 16, то говорят, что случайная величина x равномерно распределена на [ a, b ].
График функции распределения для такой случайной величины имеет вид, изображенный на рис. 17.
Числовые характеристики
Напомним, что для дискретной случайной величины числовые характеристики определяются формулами:
m x = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … xnpn = ;
D x = M [(x – m x)2] = ;
.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины определяются формулами
; ; .
Эти величины имеют такой же смысл, как в дискретном случае: математическое ожидание характеризует центральное значение случайной величины, дисперсия и СКО – разброс относительно центра. Сохраняют, как можно доказать, все свойства математического ожидания и дисперсии, доказанные в дискретном случае.
|
Решение. Имеем из замечания (рис.16)
Тогда
Следовательно,
, , . (14)
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!