Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-06-11 | 277 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим следующую часто встречающуюся ситуацию.
1. Проводится серия n независимых испытаний. независимость испытаний означает, что при выполнении каждого следующего испытания полностью восстанавливается комплекс условий, при которых выполнялось предыдущее испытание.
2. При каждом испытании интересующее нас событие А (успех) наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q = 1 – p. такую ситуацию будем называть схемой с повторением испытаний или схемой бернулли.
Обозначим через x число успехов в серии из n независимых испытаний. Очевидно, x в зависимости от случая принимает значения
0, 1, 2, …, n.
Каковы вероятности этих значений?
Теорема 1. Справедлива формула
, k = 0, 1,…, n. (11)
эта формула называется формулой Бернулли.
Доказательство.
.
Здесь Y (успех) – появление события А, Н (неуспех)– непоявление события А.
Число слагаемых в этой сумме равно числу способов выбрать k мест из n свободных мест, то есть числу сочетаний из n по k:
,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Проводится десять независимых бросаний монеты. Найти вероятность того, что три раза из 10 выпадет герб.
Решение. Здесь успех – выпадение герба, x – число успехов, p = q = , n = 10, k =3. Следовательно, из формулы (11) имеем
.
Пример 2. Проводится 100 независимых бросаний монеты. Найти Р (40≤ x≤ 60), x - число выпадений герба.
Решение.
Р (40≤ x≤ 60) = Р (x = 40) + Р (x = 41) + Р (x = 42) + … +
+ Р (x = 60) = .
Мы видим: если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то подсчет вероятностей вида P (m 1 ≤ x≤ m 2) с помощью формулы Бернулли весьма затруднен.
укажем приближенную формулу для подсчета таких вероятностей, доказанную независимо французскими математиками Муавром и Лапласом.
|
для этого вначале введем функцию, которая называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х):
. (12)
Укажем график и некоторые свойства этой функции.
10. Ф (0) = 0;
20. Ф (– х) = – Ф (х);
30. если | x | ≥ 3, то Ф (х)» ± 0,5 с большой точностью.
Для функции Лапласа имеются таблицы.
Теорема 2. В схеме Бернулли при достаточно большом числе испытаний справедлива приближенная формула:
P (m 1 ≤ x ≤ m 2)» . (13)
эта формула называется интегральной формулой Муавра-Лапласа. Доказательство этой формулы приводится в §3 главы 3. Вычисления показывают, что эта формула является практически точной при n ≥ 30.
Вернемся к решению примера 2.
решение. Здесь n =100, p = q = . По формуле Муавра-Лапласа найдем
Р (40 ≤ x ≤ 60)
Замечание. Интегральная формула Муавра-лапласа указывает правила вычисления вероятности неравенств вида P (m 1 ≤ x ≤ m 2) в схеме Бернулли при большом числе испытаний. Укажем правило вычисления вероятностей P(x=k) в этой ситуации.
Рассмотрим функцию
.
Очевидно, φ(х) связана с функцией Лапласа равенством
.
При большом числе испытаний справедлива приближенная формула
. ()
эта формула называется локальной формулой Муавра-Лапласа. Для функции (13') имеются таблицы.
Глава 2. Случайные величины
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!