История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-06-11 | 283 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 1. Пусть с испытанием связаны события А, В. Справедлива формула:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А · В). (5)
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.
Доказательство. Проведем доказательство в рамках схемы геометрической вероятности.
Испытание: берут наугад точку в области D равновозможным образом (рис. 4).
Событие А: попадание в область d 1;
Событие В: попадание в область d 2.
р (А + В) = Р (попадание в заштрихованную область) =
= | благоприятная площадь | = | пл. d 1 + пл. d 2 –пл. d 3 | = | |||||
вся возможная площадь | площадь D | ||||||||
= | пл. d 1 | + | пл. d 2 | – | пл. d 3 | = Р (А) + Р (В) – Р (АВ), | |||
пл. D | пл. D | пл. D | |||||||
что и требовалось доказать.
Замечание 1. События А, В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при данном испытании. Для несовместных событий справедлива формула
Р (А + В) = Р (А) + Р (В). (6)
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
В самом деле, по теореме сложения имеем:
.
Замечание 2. Справедлива формула:
Р (А) = 1 – Р ().
Вероятность наступления события равна единице минус вероятность ненаступления события. В самом деле:
;
.
Откуда имеем:
,
,
следовательно,
Р (А) + Р () = 1, то есть Р (А) = 1 – Р ().
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
Пусть с испытанием связаны события А,В. Запись Р (В / А) означает: вероятность события В при условии, что событие А наступило.
Поясним на примере.
Испытание: берут наугад точку в области D равновозможным образом.
Событие А: попадание в область d 1;
|
Событие В: попадание в область d 2.
Тогда, имеем (рис.5):
Р (В)= , | Р (В / А) = | благоприятная площадь | = | пл. d 3 | |
вся возможная площадь | пл. d 1 | . |
Вероятность Р (В / А) называется условной вероятностью.
Теорема 2. Справедлива формула
. (7)
Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженного на вероятность другого при условии, что первое наступило.
Доказательство. Доказательство проведем в рамках схемы геометрической вероятности (рис. 5).
.
Замечание. 1. Будем говорить, что событие В не зависит от события А, если выполняется равенство Р (В / А) = Р (В), в этом случае
. (8)
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Доказать самостоятельно:
если событие В не зависит от события А, то событие А не зависит от В.
2. .
Пример. В урне содержится 7 белых и 3 черных шара (рис. 6).
Испытание: из урны берут наугад два шара равновозможным образом.
Найти вероятность того, что они:
а) оба белые (Р (бб) –?);
б) оба черные (Р (чч) –?);
в) одного цвета;
г) разного цвета.
Решение.
I способ. По определению вероятности (1) (гл.1§1) и по формуле (2) имеем:
а) Р (бб) ;
б) Р (чч) .
II способ. По формулам (6) и (7) имеем:
а) Р (бб) = Р (1й белый и 2й белый) = Р (1й белый) · Р (2й б/ 1й б) =
.
б) Р (чч) = Р (1й черный и 2й черный) = Р (1й ч) · Р (2й ч/ 1й ч) =
.
в) Р (одного цвета) = Р (1й б и 2й б или 1й ч и 2й ч) = Р (бб + чч) =
= Р (бб) + Р (чч) = = .
г) I способ.
Р (разного цвета) = Р (б·ч + ч·б) = Р (б·ч) + Р (ч·б) =
.
II способ.
Р (разного цвета) = 1 – Р (одного цвета) = 1 – = .
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!