Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-06-11 | 501 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Такие несобственные интегралы называют несобственными интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: . Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит разрыв второго рода:
1) в точке , 2) или в точке ,
3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования.
Определение 2. Пусть определена на , причем неограниченна в окрестности особой точки , но она ограничена и интегрируема на любом отрезке . Тогда если существует предел , то он называется несобственным интегралом и обозначается .
Если предела нет или он равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяется интеграл от функции, неограниченной на верхнем пределе интегрирования: . Наконец, если неограниченна в окрестности особой точки , то
.
Свойства несобственных интегралов.
Если сходятся интегралы и , где и могут принимать значения , то
1. , где .
Несобственные интегралы в левых частях сходятся, и их значения равны выражениям в правых частях.
Рассмотрим . Пусть непрерывна на любом отрезке вида , где . Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Аналогичное утверждение можно сформулировать и для несобственных интегралов от неограниченных функций и конечного отрезка интегрирования.
23. необходимые условия сходимости несобственных интегралов. Критерий Коши. Абсолютно и не абсолютно сходящейся несобственные интегралы. Главное значение расходящегося несобственного интеграла.
Формулировки приводятся для интегралов вида , но легко распространяются и на несобственные интегралы других типов.
Определение 3. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Определение 4. Если интеграл сходится, а интеграл – расходится, то интеграл называется условно сходящимся.
Теорема. Если сходится абсолютно, то он сходится.
Признак Дирихле. Несобственный интеграл сходится, если выполняются следующие условия:
1) функция дифференцируема и монотонно стремится к нулю с ростом ;
2) функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную.
Примеры функций с ограниченной первообразной: , , .
Признак Абеля. Несобственный интеграл сходится, если выполняются следующие условия:
1) функция непрерывна на и сходится;
2) функция ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на .
Утверждение. Если сходится интеграл , то абсолютно сходятся интегралы и .
Пример 7. Интеграл Френеля сходится, так как
.
Пример 8. Интеграл Дирихле сходится условно.
– расходится, так как . Первый интеграл суммы сходится. Рассмотрим второй интеграл:
,
.
Интеграл – сходится по признаку Дирихле:
.
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!