Неопределённый интеграл и его свойства

Цель:

- сформировать навыки интегрирования функций по табличным формулам и свойствам неопределённых интегралов;

        - развить умение  интегрировать методом замены переменной;

        - закрепить знания о свойствах интегралов;

   Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы, стенды «Таблица интегралов»;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

Интегрирование – это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция. Например, если , то , т.к.

Дифференцируемая функция ,   называется первообразной  для функции  на интервале , если  для каждого .

Так, для функции  первообразной служит функция , поскольку .

Совокупность всех первообразных функций  на интервале , называют неопределенным интегралом  от функции  на этом интервале и пишут . Здесь  - подынтегральное выражение;  - подынтегральная функция;  - переменная интегрирования; C - произвольная постоянная 

Например,   т.к.

Основные свойства  неопределенного интеграла.

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:                             

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:                               

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

 

 

 Основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

1. .

  2. .

  3. .

  4.

  5.

  6.  

  7.

  8. .

  9.

    10.

11.

Пример 1. Вычислить интеграл:

Решение. Используя свойства и формулы табличных интегралов: ,  получим:

Если интеграл трудно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Пример 2. Найти   

Решение. Произведем постановку   Далее, получаем:

Пример 3. Найти  

Решение. Сначала положим Далее, получаем:                                             

Пример 4. Вычислить интеграл:

Решение. Данный интеграл содержит сложную степенную функцию, приведём его к табличному виду. Воспользуемся подстановкой  Дифференцируя, имеем  откуда  Подставив в данный интеграл эти выражения, получим:

.

Заменив u его выражением через х, находим:

Пример 5. Вычислить интеграл:

Решение. Используем также метод замены переменной: положим  откуда:  Подставив эти выражения в данный интеграл, получим:

Заменив t его выражением через х, находим:

.

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Так, при нахождении  можно использовать формулу

 где  Тогда

Задания для самостоятельного выполнения:

I. Найти интеграл непосредственным интегрированием.

II. Найти интеграл методом замены переменной.

Вариант 1.

1.                  2. а)                б)    

Вариант 2.

1.                   2. а)                 б)    

Вариант 3.

1. а)           2. а)                   б)   

Вариант 4.

1. а)           2.  а)              б)

Вариант 5.

1. а)            2.   а)                б)

Вариант 6.

1. а)                        2. а)                б)

Вариант 7.

1. а)         2. а)                б)

Вариант 8.

1. а)            2. а)            б)

Вариант 9.

1. а)           2. а)             б)

Вариант 10.

1. а)            2.   а)             б)

Вариант 11.

1. а)             2. а)              б)

Вариант 12.

1. а)               2.  а)                       б)

Вариант 13.

1. а)             2. а)                б)

Вариант 14.

1. а)                          2. а)                б)

Вариант 15.

1. а)               2. а)             б)

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называют неопределённым интегралом?

2. Сформулируйте свойства  неопределенного интеграла.

3. Запишите табличные интегралы.

4. Перечислите основные методы интегрирования.

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 15