Часть 4. Опять о принципе наименьшего действия

Юдин С. Ю.

[email protected] ( [email protected] )

(первая редакция 03.09.2012)

 

Данная статья является продолжением моего исследования принципа наименьшего действия (ПНД), которое я начал в своей статье «О принципах кратчайшего времени и наименьшего действия» [21] и где я не только рассмотрел историю возникновения этого принципа, но и проверил его на наличие глобального минимума действия в различных формулировках и при движение в различных полях. В результате этого исследования я доказал на конкретных примерах, что ПНД соблюдается только локально и по этому не может претендовать на роль главного закона природы и посчитал, что на этом свое исследование можно закончить. Но после публикации статьи мои аппоненты, стали утверждать, что ПНД все равно самый главный закон природы, т.к. для того, чтобы он соблюдался, не надо никакого минимума действия, а достаточно, чтобы была равна нулю первая вариация, т.е. соблюдалось условие стационарности. На мои возражения о том, что в учебниках по теоретической физике Ландау и у Фейнмана этот принцип сформулирован, как требующий именно минимума действия на истинном пути, мне отвечали, что все равно Ландау и Фейнман имели ввиду только стационарность действия, т.к. для вывода из ПНД уравнений динамики требуется только стационарность. Это заставило меня более подробно ознакомится с текстом Механики у Ландау и интегралов у Фейнмана и продолжить исследование ПНД в том числе и на предмет его использования как принципа стационарного действия. Результатом этого исследования и является эта статья, где особое место отведено разбору Механики у Ландау и интегралам по путям Фейнмана.

 

Итак, в 1744 году Мопертюи выдвинул принцип наименьшего действия исходя из метафизических представлений о Природе, где все должно происходить из каких то разумных соображений как будто бы Природа в своих действиях преследует какие то цели, которые сама перед собою и ставит, т.е. имеется в виду наличие Бога, который осуществляет в Природе только разумные процессы. Кстати, и уже в ХХ веке Планк [9] пишет о сущности этого принципа так «В связи с этим надо вспомнить о Теодице Лейбница, в которой выдвинут тезис о том, что истинным миром среди всех миров, которые могли бы быть сотворены, является тот мир, который наряду с неизбежным злом содержит в себе максимум добра. Этот тезис является не чем иным, как вариационным принципом, выраженным в такой же форме, как возникший позднее принцип наименьшего действия. Неизбежное сцепление добра и зла играет при этом роль предписанных условий, и ясно, что фактически из этого тезиса могли бы быть выведены все особенности действительного мира, если бы удалось математически точно сформулировать, с одной стороны, меру для количества добра, с другой стороны – предписанные условия». Кстати о Теодице Лейбница Планк вспомнил не зря, т.к. многие приписывали открытие этого принципа именно Лейбницу и страсти тогда разгорались не шуточные. Даже Вольтер посвятил одно из своих произведений этому принципу. А самому Мопертюи пришлось подключать даже царствующих особ, чтобы добиться своего приоритета в открытие этого принципа. Но и в начале 21 века есть люди, которые с использованием этого принципа оптимизируют водопровод в Воронеже и работу чиновников в Киеве (читал авторефераты диссертаций), т.е. продолжается обожествление этого принципа.

 

Сам Мопертюи, занимаясь статикой, привел свой принцип примерно в таких расплывчатых формулировках «количество действия, которое допускает произведенное изменение, является наименьшим возможным» и «природа во всех своих проявлениях пользуется наименьшей затратой действия». А самую первую математическую формулировку этого принципа дал его друг Эйлер, который со слов Лагранжа сформулировал его так «при траекториях, описанных под действием центральных сил, интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, всегда является минимумом или максимумом». Лагранж, как вариант, рассмотрел замену в этом интеграле элемента пути ds на произведение V*dt и под интегралом получилось выражение m*V^2 * dt и, естественно, теперь интегрирование надо вести не по пути, а по времени от t1 до t2. Позже Гамильтон предложил другую формулировку этого принципа, где интеграл по времени берется от лагранжиана, т.е. предложил уже совсем другой принцип, который и предложил называть принципом переменного действия, но название для него оставили прежним – ПНД. По этому, сейчас, когда говорят об этом принципе, то указывают в какой формулировке его имеют ввиду и для краткости я буду обозначать разные формулировки как ПНД1 и ПНД2. У принципа в формулировке Эйлера-Лагранжа (ПНД1) действие вычисляется как интеграл по времени от кинетической энергии (Т), а в формулировке Гамильтона-Остроградского (ПНД2) действие вычисляется как интеграл по времени от лагранжиана, т.е. от разности кинетической и потенциальной энергии (T-U). Большой вклад в оба этих принципа внес немецкий математик Якоби, по этому, часто в названиях этого принципа фигурирует и его фамилия.

 

Надо сказать, что в то время, когда создавался ПНД, ученые старались найти какую то универсальную меру механического движения (закон сохранения энергии не был открыт и даже не было понятия кинетической энергии, не говоря уже о потенциальной). О том, какие тогда разгорелись споры о мере механической формы движения материи я подробно рассмотрел в своей статье [22]. По этому, с самого начала ПНД с его мерой движения «действие» создавался его основателями (Эйлер и Лагранж), чтобы доказать, что он является общим принципом Природы, в которой все процессы происходят разумно, т.е. с минимумом такой величины как действие и звучал так, что все движения в Природе из множества возможных траекторий происходят по истинным траекториям, где действие минимально. Смысла получившегося ПНД никто не понимал (не понимает и сейчас), но всем нужен был какой то общий принцип механики и по этому ПНД и стали таковым считать, а когда появился закон сохранения энергии, то было уже поздно – джина выпустили из бутылки и загнать его туда обратно стало очень трудно, т.к. за это время в механике столько нагородили, что без ПНД ее уже и не представляли.

 

Однако, как было показано в работе [34] все не так безнадежно и истинный смысл ПНД2, который он рассматривает повторяя выкладки Фейнмана, состоит только в соблюдении 2-го закона Ньютона

«Несомненно, что основной из этих принципов – принцип наименьшего действия “подгонялся” под второй закон Ньютона и обосновывался, исходя из этого, как некоторая вариация, которая почему-то всегда равна нулю, а не самом деле находилась такая функция, минимум которой определялся вторым законом Ньютона. Однако, как нами было показано, эта функция в результате математических операций преобразуется в другую функцию, которая не имеет ни максимума, ни минимума, поскольку является постоянной величиной и представляет собой закон сохранения энергии.»

Кстати, в этой работе говорится и о том, что «В связи со всем изложенным можно утверждать, что принцип наименьшего действия Гамильтона является чисто математическим приемом по исследованию некоторой специально подобранной функции (в данном случае разности T-U)». В общем, очень интересный и замечательный параграф в книге (чего не могу сказать о всей книге), и я всем рекомендую с ним ознакомится, т.к. формат моей статьи не позволяет привести всех математических выкладок из этого параграфа.

 

А после изобретения ПНД, когда вариационное исчисление, опираясь на принцип минимума времени у Ферма и Бернулли и на ПНД, окончательно перебралось из геометрии в механику и стало оформляться в отдельную дисциплину в механике (основы аналитической механики Лагранжа), ПНД стали иногда называть принципом экстремального действия (ПЭД), т.к. уже и Эйлер и Лагранж заметили, что с математической точки зрения более корректно говорить о ПЭД. Но физический смысл в этот принцип все равно продолжали вкладывать как в ПНД, т.к. таких процессов, где бы действие было максимально на истинном пути я, например, не видел и по этому, когда я буду говорить о ПНД, то буду иметь ввиду и ПЭД.

Со временем многие ученые поняли, что ПНД в глобальном смысле в Природе не соблюдается и тогда стали говорить о нем как о принципе стационарного действия (ПСД), а пожалуй первым, кто употребил этот термин был Гамильтон. Таким образом, теперь даже ни о каком экстремуме не может быть и речи, т.е. на действительной траектории выполняется условие только равенства нулю первой вариации действия. Но равенство первой вариации нулю есть необходимое, но не достаточное условие экстремума [33]. Таким образом, если действие минимально или максимально на некотором пути, то вариация действия ноль, но если вариация ноль, то действие не обязательно максимально (минимально) даже локально, а для ПНД экстремум к тому же должен быть глобальный. Т.е. ни о каких конкретных значениях действия в ПСД не может быть и речи, т.е. никаких ни минимумов ни экстремумов. Однако, как писал Остроградский [13] «На самом деле вариация интеграла может обращаться в ноль и в том случае, когда интеграл не допускает ни наибольшего, ни наименьшего значения, но геометры обычно говорят и в этом случае о минимуме и максимуме, без сомнения, для простоты изложения, и мы будем в этом следовать их примеру». А вслед за геометрами, т.е. математиками, и физики почти всегда стали представлять этот принцип как ПЭД, но чаще всего формулировали его именно как ПНД. И я, например, видел формулировки ПНД, именно как ПСД, т.е. чтобы было написано, что «на действительном пути из точки 1 в точку 2 действие имеет стационарное значение» только в строгих академических изданиях по аналитической механике, а физики или математико-физики так и продолжают писать о минимуме или максимуме.

 

Например, вот формулировка Луи де Бройля [14], который называет этот принцип уже ПСД, но из изложения понятно, что говорит он о ПЭД, т.е. о том же ПНД, но в более широкой формулировке. «Уравнения динамики материальной точки в поле сил, обладающих потенциалом, можно получить, исходя из принципа, который в общем виде носит название принципа Гамильтона, или принципа стационарного действия. Согласно этому принципу, из всех движений материальной точки, которые она может совершить между теми же начальной и конечной точками за тот же самый промежуток времени t₂...t₁ в действительности осуществляется то движение, для которого интеграл по времени от t₁ до t₂ от разности кинетической и потенциальной энергий этой материальной точки принимает экстремальное, т.е. минимальное или максимальное значение. Особенно простую форму принимает принцип стационарного действия в частном, но важном случае статических силовых полей. В этом случае он совпадает с принципом наименьшего действия Мопертюи, согласно которому для действительного пути материальной точки в консервативном (т.е. не зависящем явно от времени) силовом поле интеграл от импульса частицы, взятый по отрезку траектории между какими-либо двумя ее точками A и B, минимален по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных через точки A и B».

 

И в учебнике по механике Ландау и Лифшица [3] мы видим то же самое: «Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона).....Пусть в моменты времени t=t1 и t=t2 система занимала определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q(1) и q(2). Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл (2.1) имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) действием».

И у Фейнмана [26] формулировка ПНД в классической механике та же самая

«Одним из наиболее изящных способов выразить условия, выделяющие из всех возможных траекторий определенную траекторию x̃(t), является принцип наименьшего действия. Допустим, что существует некоторая величина S, которую можно вычислить для каждой траектории. Классическая траектория x̃ – это та, для которой S принимает минимальное значение. Фактически используют только условие экстремальности действия ; иными словами, значение S в первом приближении не изменится, если незначительно отступить от траектории x̃(t).»

 

Кроме того, идёт ли речь о ПНД или о ПЭД, авторы приведенных выше формулировок, говоря о том, что действие при этом будет экстремально или минимально забывают еще уточнить, что, даже в тех случаях, когда мы имеем именно минимум или максимум, этот принцип не является глобальным, т.е. справедлив только для некоторой части пути и по этому является локальным. А чтобы применить его на этом локальном участке пути, надо знать границы его применимости, т.е. найти кинетические фокусы, т.к. за пределами этих границ ПНД не соблюдается. Почти все авторы учебников по аналитической механике, например, [5, 6] рассматривают вопрос о том будет ли действие на этом пути минимальным с привлечением кинетических фокусов. Вот только поиск этих кинетических фокусов оказался не таким простым делом и я нашел более менее полное описание правил, по которым их определять, только у Лурье [7]. Хотя уже у Лагранжа было немного по этому вопросу, а Якоби почти сформулировал общие правила их нахождения. При этом не надо забывать, что применять ПНД (даже локально) можно только при отсутствие диссипации энергии и желательно при отсутствии неголономных связей. Но даже соблюдение всех этих условий, когда ПНД действительно соблюдается, не позволяет нам решить ни одной конкретной задачи с использованием ПНД. Можно только из него получить классические дифференциальные уравнения, описывающие движение тела. Впрочем, точно также и из дифференциальных уравнений можно получить ПНД.

 

Так почему же столько шума вокруг этого принципа? Дело в том, что на ПНД возлагали большие надежды как на философский камень науки, который позволит получить с его применением все законы Природы, т.е. он создавался как закон для всех остальных законов Природы, по тому, что считалось, что по этому закону Бог управляет миром. Эта теологическая направленность ПНД нравилась не всем ученым и они постоянно высказывали недоумение по поводу применения этого принципа. Например, Герц писал [37]: «…немыслимо, чтобы принцип Гамильтона или другой принцип аналогичного характера представлял собой фактически основной закон природы;…принцип Гамильтона, если его детально проанализировать, представляет собой чрезвычайно сложное высказывание. Он не только ставит происходящее в настоящий момент движение в зависимость от последствий, которые могут выявиться в будущем, предполагая существование у неживой природы намерений, но что еще хуже, он предполагает существование у природы бессмысленных намерений. Ибо интеграл, минимум которого требует принцип Гамильтона, не имеет простого физического значения; кроме того, представляется непонятной целью природы приведение математического выражения к минимуму или его вариации к нулю».

А Зоммерфельд, наоборот, хотя вроде бы и предполагает некую теологическую основу этого принципа, но все равно протаскивает его в науку, т.к. считает, что его телеологичность нам только кажется [38]: “Принцип Гамильтона, так же как и остальные принципы наименьшего действия, кажущимся образом противоречат нашему представлению о причинности, поскольку, согласно этому принципу, протекание процесса во времени определяется не состоянием системы в настоящий момент, а выводится с учетом в равной мере прошедшего и будущего системы. Интегральные принципы являются, казалось бы, не каузальными, а телеологическими”. И далее разъясняет нам, что “телеологический” это всего-навсего значит “целесообразный” или просто “целенаправленный”.

 

Но наиболее здравомыслящие ученые всегда относились к этому принципу как к неполноценному, потому что никто не понимал его физического смысла и, следовательно, плохо представлял когда, где и зачем его можно использовать. Например, когда Эйлер увидел, что на другой стороне шара, т.е. как сейчас говорят за кинетическим фокусом, ПНД не соблюдается, он прекратил им заниматься, а позже Пуассон вообще назвал его «лишь бесполезным правилом». А еще один из создателей этого принципа, а конкретно М.В.Остроградский в своей статье [13] об этом принципе сказал следующее

«Формула (21) содержит как частный случай динамический принцип наименьшего действия, но, с нашей точки зрения, его нельзя рассматривать не только как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым следствием, очевидным результатом применения метода вариаций к теории maxima и minima».

Само собой возникает вопрос – а зачем он вообще этот ПНД нужен, если с ним столько непонятного и туманного. Аналогичным вопросом о назначении ПНД задается и автор лекции [29], который, кстати, очень нахваливает этот принцип

«В общем-то на этом следовало бы и закончить эту лекцию, но один вопрос, наверное, многим не дает покоя. Для чего все это делалось? Только ли для того, чтобы показать, что ньютоновская механика может быть сформулирована на основе совсем другого математического аппарата — вариационного исчисления? Но ведь все равно потом приходится решать все то же дифференциальное уравнение, выражающее собой II закона Ньютона, для определения траектории частицы. Тогда зачем все так усложнять? Имеет ли действие S, введенное нами выше, какой-то самостоятельный физический смысл?». И с радостью отвечает: да, имеет, но не в классической механике, а в квантовой.

 

Что касается квантовой механике, то я ещё вернусь к этому вопросу, а сейчас продолжим рассмотрение ПНД как общего принципа Природы, потому что многие и сейчас пытаются придать этому принципу роль философского камня в науке и получить с его использованием все остальные законы Природы, а заодно и протаскивают Бога в науку, доказывая, что все процессы в Природе протекают разумно. Например, для нас будет особенно интересно то, что Ландау почти всю физику выводит из ПНД, а механику уж точно всю, получая из него уравнения Лагранжа. А связан наш интерес к этому учебнику тем, что сейчас его Курс теоретической физики является официальным учебником России. Хотя, например, Уиттекер в своей аналитической механике [6] наоборот из уравнений Лагранжа выводит ПНД и то только в 9-ой главе. Но здесь сторонники выводить что то из ПНД забывают об одной его особенности, а именно о том, что из ПНД можно получить только заранее известные и нужные именно тебе уравнения, о чем писал уже Эйлер, когда только формулировал этот принцип, т.к. при рассмотрение различных проблем в механике он убедился, что любая из них может быть решена без ПНД, а применение для этого ПНД требует предварительного знания их решений.

 

И здесь очень поучительна история борьбы в физике в конце 19-го века с энергетическим течением в ней, когда и энергетики и их противники использовали ПНД для обоснования своих позиций. По этому поводу Полак в своей редакционной статье к сборнику статей по ПНД [10] пишет

«Тот факт, что и энергетики, и их противники пользовались принципом Гамильтона, показывает, что один и тот же математический аппарат может служить для оформления различных физических картин. Физическая картина мира может строиться при помощи принципа Гамильтона, но не может быть из него выводима (если не знать заранее, что требуется получить)».

Интересен также и тот факт, что типичным афоризмом Ландау было выражение «Как Вы можете решать задачу, ответа на которую Вы не знаете заранее». По этому, конечно же, прекрасно зная, какие уравнения динамики надо получить, Ландау их легко и получает из этого принципа.

 

Впрочем, здесь надо ещё и сделать некоторое уточнение о том, что не все уравнения можно получить из этого принципа. Так в Википедии говорится о том, что «Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей — магнитных зарядов — в электромагнитном поле. Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа». К этому, конечно же, надо добавить и то, что из ПНД нельзя получить уравнения движения, если в системе имеется трение, т.к. во-первых, в этом случае ПНД просто неприменим, а во-вторых, в ПНД2 в лагранжиане, а в ПНД1 - в формуле кинетической энергии для энергии рассеянной на трение просто нет места.

 

Так зачем же Ландау потребовалось обожествлять этот принцип в своем курсе теоретической физики? Ведь как писал Гамильтон [15]: «Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариационного исчисления получить дифференциальные уравнения движения второго порядка, которые всегда можно получить другим путем. Поэтому Лагранж, Лаплас и Пуассон, по-видимому, не без оснований пренебрежительно отзывались о полезности этого принципа при тогдашнем состоянии динамики». И даже уже в ХХ веке Планк писал, что ПНД не оказал никакого влияния на науку, а у Ландау (кстати, еще до получения Фейнманом его интегралов по путям в 1942 году) в первом издание Механики этот принцип опять возрождается как господствующий над всеми законами Природы. И из этого принципа у него более сложным методом получаются уравнения движения, которые в учебниках других авторов получаются более простым и понятным способом из основных аксиом механики. Ответить на вопрос «зачем делать именно так» не просто, но я попробую объяснить почему «нормальные герои всегда идут в обход».

 

Для этого нам надо немного погрузиться в ту атмосферу, когда создавался его курс теоретической физики (смотрите статью Карла Холла [30]). Ведь как сказал Сталин «написание учебников – непростое дело». К тому же искались и новые методы обучения студентов, например, попытка ввести в 1931 году «бригадный» метод образования. По этому и новые советские учебники должны были отличаться от старых буржуазных учебников и быть монументальными изданиями, отражающими какую то великую идею. И вот тут, как я думаю Ландау и пришла мысль объединить все разделы физики одной идеей, а именно принципом наименьшего действия, тем более, что она прекрасно подходила для теории поля (закончена была в 1939 году) и в частности для ОТО Эйнштейна, т.к. только ПНД с его действием удовлетворял требованиям лоренц-инвариантности. Здесь, наверное, уместно напомнить и то, что в 1938 году вышел Краткий курс Истории Всесоюзной Коммунистической Партии (большевиков), который весь был пронизан великой идеей построения коммунистического общества и изложен он был в манере не допускающих никаких сомнений или предположений. Так вот, и Курс Ландау написан им так, что тоже не допускает никаких сомнений в написанном в нем, т.к. все написанное вытекает из великой идеи ПНД, а посему должно быть единственно верным учением.

 

Вот только не все ученые должным образом оценили его революционные порывы объявить советскую науку о Природе единственно верной и, например, В.А.Фок в своей рецензии на первое издание Механики (в редакции Ландау и Пятигорского 1940 года) [16] написал, что

«Переходя к оценке книги в целом, мы должны признать, что она авторам не удалась. ... Мы вправе требовать от них гораздо большего. А в более тонких и трудных вопросах механики – вариационный принцип, классификация типов движений механических систем – авторы оказываются решительно не на высоте: мы находим в соответствующих главах ошибки и путаницу.»

Я не буду здесь писать обо всех методологических и математических ошибках, которые обнаружил Фок и кому это интересно отсылаю к тексту рецензии, которая опубликована в УФН, 1946, т.28, вып.2-3. Скажу только, что ПНД в формулировке Ландау сильно досталось.

 

После этого, как мы знаем, следующее издание своей Механики 1958 года он писал уже с другим своим учеником Лифшицем, но практически расстался с Пятигорским Ландау не из-за разгромной рецензии на учебник, а гораздо раньше (в 1938 году), т.к. считал, что он причастен к его аресту в 1938 году. Позже он узнал, что это не так и снял с Пятигорского в 1956 году запрет на защиту им диссертации. Кстати он все тома своего курса (даже после смерти) писал с кем ни будь, т.к. сам ничего не писал, а только правил уже написанный текст. Так вот именно в этом издание 1958 года, которое отличалось от издания 1940 года процентов на 30%, и появилось множество ссылок к тексту 1940 года касающихся ПНД. После этого, по словам А.А. Рухадзе, "Механика" стала "самым отточенным" произведением Курса. Сейчас мы убедимся, что это не так. Сравнивать я буду издание 1940 года [1] и издание 1958 года [2], но при этом буду также использовать и издание 2004 года [3]. А для начала я воспроизведу замечания сделанные в рецензии Фоком по ПНД.

 

«В основу построения механики полагается принцип наименьшего действия (начало Гамильтона). Авторы исходят здесь из ошибочного представления, будто ”при заданных внешних условиях движение вполне определяется координатами начала и конца движения” (стр. 152). Что это представление не верно, особенно ясно видно на примере свободного движения материальной точки на поверхности шара. Если взять в качестве начальной и конечной точек два полюса, меридиан, по которому она движется, остается неопределенным до тех пор, пока не будет указано направление ее начальной скорости. На самом деле, когда даны уравнения Лагранжа, движение определяется начальными координатами и начальными скоростями. А поскольку задание этих последних не эквивалентно заданию конечных координат, нельзя говорить и об эквивалентности между началом Гамильтона, с одной стороны, и уравнениями Лагранжа с начальными условиями, с другой стороны. По этой причине полагать в основу механики принцип наименьшего действия едва ли правильно, даже и независимо от того, что этот принцип применим не ко всем системам. Мы уже не говорим о том, что принцип наименьшего действия труднее уравнений движения и что, по нашему мнению, нужно начинать с более легкого: в вопросах методики возможны разные мнения.

 

Говоря о принципе наименьшего действия, мы имели в виду известное экстремальное свойство интеграла действия: исчезновение его первой вариации. Авторы же понимают это наименование буквально: они считают, что всегда интеграл действия ”для действительного движения имеет минимальное значение” (стр. 13). Что это не верно показывает тот же пример движения точки на шаре. Если начальное и конечное положения не являются полюсами, то возможно “прямое” движение и “кругосветное”. Для прямого движения интеграл имеет минимум, а для кругосветного - нет. В общем случае можно утверждать только то, что интеграл имеет стационарное значение в смысле равенства нулю его первой вариации.

 

Следует осудить тенденцию авторов выводить все, даже очевидные вещи из далеко неочевидных общих принципов, притом не строгим образом. Характерным является следующий пример. Авторы не дают физического определения массы, из которого бы вытекало, что она всегда положительна. Масса определяется авторами, как множитель пропорциональности в функции Лагранжа свободной материальной точки. Ясно, что из такого определения ровно ничего не может следовать, так как на этот множитель попросту можно сократить. Между тем, авторы считают, что на основании такого определения можно из принципа наименьшего действия доказать положительность массы. При этом авторы понимают принцип наименьшего действия буквально, т.е. неверно, и это понимание является для них существенным. Мы охотно верим, что масса положительна, но никак не можем согласиться, что это вытекает из их рассуждений.»

 

Как видим, все эти замечания в той или иной форме повторяют те замечания, которые я неоднократно высказывал ранее к Механике Ландау (не будучи знаком с этой рецензией). Давайте я еще раз кратко сформулирую свои замечания:

 

1. ПНД в формулировке Ландау является глобальным, т.е. является общим принципом, когда действие на всем пути является минимальным, а на самом деле он является частным принципом для частных задач, где условия его применимости как минимального действия для каждой задачи определяются дополнительным расчетом кинетических фокусов, т.е. границ действительного пути, где действие остается минимальным.

 

2. ПНД неприменим к любым системам, а только к идеальным и желательно с голономными связями, а если в системе имеется диссипация энергии, то этот принцип неприменим вовсе, но все реальные системы функционируют с диссипацией энергии, т.е. практически он не применим никогда.

 

3. Условия экстремальности действия на действительном пути Ландау даны не верно, т.к. равенство нулю первой вариации является только необходимым, но не достаточным условием экстремума (не говоря уже о минимуме как у Ландау, который, естественно, тоже не доказан).

 

Ну, и что же сделал Ландау, чтобы устранить эти явные ляпы в своем учебнике? Да практически ничего. Давайте посмотрим, как он отреагировал на рецензию по сформулированным мною 3-м пунктам. Сразу скажу, что все замечания не остались не замеченными.

 

1-е замечание было отмечено в новой редакции учебника с одной стороны фразой на стр. 11 «Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определение минимума интеграла (2.1)», которая подтверждает именно минимальность действия, а с другой стороны была сделана на стр. 10 сноска «Следует, однако, указать, что в такой формулировке ПНД не всегда справедлив для всей траектории в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей траектории может оказаться, что интеграл 2.1 имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.»

 

Здесь мы, во-первых, видим, что Ландау настаивает на том, что ему для вывода уравнений движения из ПНД нужна именно экстремальность этого принципа, а не стационарность, а, во-вторых, видим, что эта сноска не только не устранила недостаток ПНД связанный с его локальностью, а только запутала вопрос, т.к. совершенно не понятно как действие, обладая аддитивностью, может стать максимальным, если на всех локальных участках пути оно минимально. А следовало всего навсего написать, что «действие всегда имеет минимальное значение на локальном участке пути, т.е. до кинетического фокуса». Ведь, как пишет Полак в своей редакционной статье

«Еще Якоби показал, что если первая вариация простого определенного интеграла равна нулю, то вторая вариация интеграла может быть приведена к виду, удобному для исследования.

Опираясь на этом результате, Серре в нескольких мемуарах, напечатанных в 1871 – 1879 гг., решил вопрос о минимуме интеграла действия в общем виде, доказав, что вариация второго порядка интеграла действия для действительного движения положительна и минимум этого интеграла имеет место при некоторых ограничениях, наложенных на пределы интегрирования.»

 

А Лурье в своей Аналитической механике [7] пишет уже более конкретно

«1. Если в промежутке времени [t0, t1] определитель (20) не обращается в нуль (т.е. истинный путь не проходит через кинетический фокус), то действие по Гамильтону имеет минимум и существует единственное решение краевой задачи.

2. Если ∆(t1, t0) =0, то положения A0 и A1, проходимые в моменты t0 и t1, являются кинетическими фокусами и существуют другие бесконечно близкие пути, реализующие условие стационарности действия ; краевая задача имеет бесчисленное множество решений.

В вариационном исчислении условие (24) называют условием Якоби, а (29) – условием Лежандра. В задачах механики последнее оказывается требованием положительной знакоопределенности кинетической энергии и поэтому всегда соблюдается; условие Якоби выполняется на истинных путях, не проходящих через соответствующий начальному положению кинетический фокус.»

 

Таким образом, 1-е замечание о локальности ПНД Ландау не устранено и, следовательно, по логике вещей дальнейшие издания этого учебника, построенного на глобальности ПНД, должны были быть запрещены, но, как мы видим, все произошло совсем не так. Как такое могло произойти – ума не приложу. Рискну только предположить, что своей великой идеей Ландау заразил и кого то из власть предержащих в науке. Но и в этом случае я не понимаю зачем Ландау лез на рожон именно с минимальностью действия, т.к. эта позиция очень уязвима. Ведь самое главное, что ему нужно было от ПНД это подведение теоретической базы под бессмысленный вывод уравнений движения из лагранжиана, а для этого было достаточно написать только о стационарности действия, т.е. о равенстве нулю первой вариации, которая позволяет обосновать для получения уравнений движения взятия производных от лагранжиана для получения уравнений Лагранжа. Но он упорно кругом пишет именно о минимуме действия на истинном пути. В таком случае рискну еще раз предположить, что именно довод о минимуме действия мог оказать влияние на власть предержащих в науке, а не какая то там стационарность, и, получив одобрение сверху на минимум, он так в наглую кругом и пишет именно о минимуме действия, не опасаясь никакой дальнейшей критики этого утверждения. Впрочем, это только мое предположение, а как оно там было на самом деле мы уже наверное не узнаем никогда. Однако, давайте рассмотрим и остальные замечания Фока-Юдина к учебнику Механики Ландау.

 

2-е замечание учтено, но очень странным образом. Например, по поводу диссипации энергии Ландау на стр. 97 заявил, что «Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом». Т.е. это уже не классическая механика и он за это не отвечает. Но позвольте, мы не знаем ни одной механической системы где бы отсутствовало трение, т.е. получается, что Механика Ландау не имеет никакого отношения к реальной механике. Единственная область, где, как пишет Фейнман, отсутствует трение это механика микромира и, таким образом, получается, что вся Механика Ландау нужна только для квантовой механики. Хотя и здесь не все так однозначно, т.к., например, тормозное излучение электрона, которое по сути является той же диссипацией энергии, никто вроде не отрицает. И получается, что и в квантовой механике Механика Ландау не применима. А тогда вообще не понятно о механике для какой галактики он написал свой учебник.

 

3-е замечание не осталось не замеченным, но реакция была чисто «еврейской».Фраза «Соответствующая задача нахождения функций, дающих экстремальные значения интегралу, решается операцией, носящей название варьирования»

заменена фразой

«Необходимым условием минимальности S является обращение в нуль совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или обычно просто вариацией) интеграла.»

Но ведь это опять ни коим образом не говорит о том, что при этом действие будет экстремально и тем более минимально. И хотя он теперь после фразы

«Это искомые дифференциальные уравнения; они называются в механике уравнениями Лагранжа» добавляет сноску о том, что «В вариационном исчислении, рассматривающем формальную задачу об определение экстремумов интегралов вида (2.1), они называются уравнениями Эйлера», т.е. хочет нам заявить, что не только не претендует на приоритет получения уравнений Лагранжа из ПНД, но и то, что эти уравнения и получаются в вариационном исчисление при нахождение экстремалей, т.е. у него нет никаких противоречий с вариационным исчислением. Но это опять таки ни коим образом не является доказательством экстремальности функционала, когда первая вариация равна нулю, т.е. решение этих уравнений Эйлера служит нахождению экстремалей, но равенство нулю первой вариации так и остается только необходимым, но не доста