Часть 1. Две меры механической формы движения материи

Третья редакция (исправленная и дополненная) 10.08.05 г.

Юдин С. Ю. --------------------------------------------------------------------------------------------ser@t-k.ru

В современном курсе “Теоретическая механика” используются две меры механического движения - количество движения (импульс), выражающееся зависимостью mV и кинетическая энергия, выражающаяся зависимостью mV^2/2, что вносит неопределённость в природу этого движения. Хотя формально в XIX веке Энгельс в своей работе “Диалектика природы” узаконил обе меры движения, но вопросов осталось много. Поэтому я решил опубликовать в интернете эту статью, которая была написана еще в 1989 году и сейчас является одним из разделов моей книги “Моделирование систем и оптимизация их параметров”, вследствие чего нумерация формул и рисунков дана в нумерации, принятой в книге. А после того, как я в марте 2005 г. написано продолжение к этой статье, она вошла в цикл статей под общей рубрикой “Механика для квантовой механики” как первая часть цикла.

Почему этих мер две, для чего они нужны и каким требованиям должна отвечать мера как таковая? При изучении движения механических систем в динамике решаются как прямая задача, когда по заданным силам и начальным координатам и скоростям надо найти, как будет двигаться система в будущем, так и обратная, когда по заданному закону движения надо найти функцию, по которой должны изменятся силы, чтобы система двигалась по этому закону (обычно их называют соответственно второй и первой задачей динамики). При решении обратных задач обычно никаких сложностей не возникает, а вот при решении прямой задачи выясняется, что если мы опишем движение реальной механической системы, а не идеализированной, т.е. учебной, то решить аналитически такие дифференциальные уравнения практически никогда невозможно [7], т.к. они почти всегда будут нелинейными и чаще всего нелинейность будет вызвана силами сухого трения, которые в той или иной мере присутствуют во всех механических системах. Но если сделать некоторые допущения, позволяющие линеаризовать дифференциальные уравнения, т.е. описать движение похожей системы в некоторой окрестности, то тогда такие уравнения можно решить аналитически. Однако и в этом случае решение может быть очень сложным. Но если нам не надо описывать весь процесс движения и нас интересует только положение системы до какого-то события и после него - например, до удара и после, - то решить такие задачи можно, и не используя 2-ой закон Ньютона для детального описания движения этой системы, а используя лишь законы сохранения механического движения, в которых движение как раз и измеряется этими двумя мерами. Правда, некоторые авторы указывают на то, что использовать эти меры надо очень осторожно: например, [3] пишет, что законы сохранения никогда не дают однозначного ответа о том, что произойдет, а [2] пишет, что когда удаётся решить задачу через закон сохранения, то надо обязательно проверить, выполняется ли в этом случае 2-ой закон Ньютона.

Теперь рассмотрим, каким требованиям должна отвечать мера. Под мерой механического движения я понимаю величину, которая объективно, всеобъемлюще и удобно отражает суть этого движения - последнее требование об удобстве вытекает из требования к методикам расчёта механических систем, которые должны быть удобны, иначе они не выживут в социальной форме движения материи. Мы ведь сейчас для нахождения корней квадратного уравнения не пользуемся методикой Аль-Хорезми или с помощью циркуля и линейки, да и основным побудительным мотивом Коперника, как он сам говорил, было именно упрощение методики Птолемея, которая стала неудобной при бурном развитии мореходства. Вот исходя из этих требований и рассмотрим эти две меры механического движения.

О том, какая из этих мер является истинной, т.е. объективно и всеобъемлюще отражает суть движения, спор длится уже более трёх веков, однако в современных учебниках этому вопросу не уделяется практически никакого внимания. А ведь если эти две меры равноправны, то и выводы, вытекающие из свойств этих мер, можно экстраполировать на всю Природу, а выводы для разных мер могут быть разные. Например, при использовании меры mV в системе должно отсутствовать трение и, следовательно, движение происходящее по законам классической механики с применением этой меры всегда обратимо, а чтобы запретить обратимость при рассмотрении вопросов термодинамики, мы вынуждены дополнительно вводить постулат о “стреле времени”. Более того, критики современной физики очень часто используют наличие этих двух мер как аргумент в своей правоте, а некоторые даже ухитряются создать новую физику, где полностью отсутствует такая мера, как энергия (ссылку не даю, чтобы не пропагандировать колдунов от науки).

Современные математико-физики, в отличие от физико-математиков прошлого, которые всегда были немного философами, да и сама физика называлась "натуральной философией", таким мелочам, как две меры механического движения, в своих учебниках внимания не уделяют. Да что там какие-то меры - некоторые авторы учебников, например, Ландау и Лифшиц, не уделяют никакого внимания и физическому смыслу основных аксиом механики, а уже на 10 странице учебника [6] вводят принцип наименьшего действия и из него, как из рога изобилия, чисто математитчески высыпаются все законы механики. Кстати, один из них гласит, что если механическая система не описывается функцией Лагранжа, то это не механика (правда, авторы употребляют термин «не классическая механика»). Здесь авторы уподобляют себя Митрофанушке из комедии Фонвизина "Недоросль", который на вопрос "дверь - это существительна или прилагательна?" отвечал в подобном же ключе: "та, что лежит в чулане - существительна, а та, что прилажена к петлям - прилагательна". Но ведь система попросту не может описываться функцией Лагранжа, например, в тех случаях, когда будет присутствовать сухое трение - т.е. практически никогда (!), но авторы продолжают в том же духе и пишут, что если трение в системе оказывается слабым и при этом можно пренебречь и массами элементов, соединяющих систему в единый механизм, то в данном случае можно пользоваться функцией Лагранжа и, следовательно, система у них сразу становится механической.

Справедливости ради, следует отметить, что учебник издания 1965 г., когда в число соавторов входил и Ахнезер, был похож на большинство учебников по Теоретической механике, но уже через четыре года авторы резко поменяли свои взгляды. И это особенно странно, если учесть, что на конференции в Киеве в 1959 г. Л.Д. Ландау заявил, что лагранжиан мёртв и должен быть похоронен со всеми подобающими ему почестями. Кстати, именно этот учебник так усердно пропагандируется власть предержащими в науке, что он даже получил народное название "учебник Ландившица" (после смерти и Лифшица, начиная с 4-го издания, он редактируется только Питаевским Л.П.). Более подробно к очень ограниченным возможностям уравнений Лагранжа мы ещё вернемся в разделе 2.1.2, а сейчас давайте вернёмся к вопросу о двух мерах.

Первыми, кто задумался о мере количества движения, были Леонардо да Винчи и Галилей. Затем уже в XVII веке разгорелся спор между сторонниками Декарта, который утверждал, что это mV, и сторонниками Гюйгенса и Лейбница, которые утверждали, что это mV^2. Галилей только высказывает предположение, что движение какого-нибудь тела (он назвал его импульсом или моментом) пропорционально как массе, так и скорости этого тела, Декарт же принимает вообще произведение массы движущегося тела на его скорость единственной мерой его движения. Вот с этого момента и начинается спор о мере механического движения, так как Гюйгенс обнаружил, что в случае упругого удара сумма произведений масс двух тел на квадраты их скоростей также остаётся неизменной до удара и после него. Но две различные формулы не могут отражать одну и ту же величину! Поэтому Лейбниц в конце ХVII века принимает за меру действительного движения mV^2 и называет эту величину “живой силой” (термином “мёртвые силы” он назвал давления или тяги покоящихся тел, которые измеряются произведением массы на скорость, с которой двигалось бы тело, если бы из состояния покоя оно перешло в состояние движения или, наоборот, остановилось как в случае абсолютно неупругого удара). Этот взгляд на вещи не устраивал сторонников Декарта, поэтому ожесточённый словесный спор о двух мерах движения продолжался.

В середине ХVIII века Даламберу удалось сместить этот спор в более реальную плоскость: он утверждал, что под силой движущихся тел нужно понимать только их способность преодолевать препятствия или сопротивляться им, поэтому сила не должна измеряться ни через mV, ни через mV^2. Далее Даламбер пытается увязать между собой обе этих меры движения, рассуждая следующим образом. Масса 1, обладающая скоростью 1, сжимает в единицу времени одну пружину. Масса 1, обладающая скоростью 2, сжимает четыре пружины, употребляя для этого две единицы времени, т.е. сжимает в единицу времени только две пружины - значит, если мы разделим действие на потребное для него время, то мы вернёмся от mV^2 обратно к mV. Из приведённых рассуждений напрашивается вывод, что под mV^2 Даламбер понимает кинетическую энергию или работу, которую тело с этой энергией вообще может совершить, а под mV - работу в единицу времени, т.е. мощность. Таким образом, логика рассуждений Даламбера верна, но используемые им математические выражения для кинетической энергии и мощности не соответствуют современным выражениям для этих величин, а его принцип получения дифференциальных уравнений движения тел, который сформулирован Даламбером в следующей форме “потерянные за элемент времени количества движения образуют систему векторов, уравновешивающихся посредством связей системы“, сейчас можно было бы назвать уравнением мощностей. А поскольку под потерянным за элемент времени dt количеством движения Даламбер понимает величину dmV, то в то время это означало, что окончательный приговор Даламбер выносит в пользу mV.

Здесь надо заметить, что в то время, когда развивались эти события, не существовало таких общепринятых понятий, как работа, мощность, сила, т.к. они ещё только формировались. Тогда все неизвестные явления объясняли действием своей силы (сила пищеварения, сила трения, сила любви, сила разума и т.д.), а то, что “живая сила” и кинетическая энергия - это одно и то же, станет известно только во второй половине ХIХ века, и “живая сила” будет не только называться кинетической энергией, но и измеряться не как mV^2, а как mV^2/ 2. Поэтому при рассмотрении этого вопроса каждый из учёных оперировал параметрами в его индивидуальной кодировке, которая не совпадала с кодировкой других учёных, а отсюда и продолжение спора, т.к. один не совсем точно понимал, о чём говорит другой. Т.е. мы опять сталкиваемся с рассмотренной нами ранее проблемой кодирования и масштабирования параметров, которая в своё время не позволила Архимеду описать работу изобретенного им винта в терминах, существовавших в то время.

Энгельс как философ, в отличие от современных математико-физиков, понимает, что ”Задача состоит в том, чтобы выяснить, почему движение обладает двоякого рода мерой, что так же недопустимо в науке, как и в торговле”. Поэтому он, уже знакомый с законом сохранения энергии и такими терминами, как работа и мощность, рассматривая известные в то время из практики случаи, когда движение передаётся согласно формулам mV и mV^2, делает следующий вывод: “Таким образом, мы находим, что механическое движение действительно обладает двоякой мерой, но убеждаемся также, что каждая из этих мер имеет силу для весьма определённого ограниченного круга явлений. Если уже имеющееся механическое движение переносится таким образом, что оно сохраняется в качестве механического движения, то оно передаётся согласно формуле о произведении массы на скорость. Если же оно передаётся таким образом, что исчезает в качестве механического движения, воскресая снова в форме потенциальной энергии теплоты, электричества и т.д., одним словом, если оно превращается в какую-нибудь другую форму движения, то количество этой новой формы движения пропорционально произведению первоначально двигавшейся массы на квадрат скорости”. Как видим, вопрос действительно очень сложный, если даже такой просвещенный философ, как Энгельс, не смог тогда его решить. Ведь при ударе упругих тел механическое движение сначала трансформируется в потенциальную энергию двух пружин (упругих шаров), а затем опять в кинетическую, т.е. мера mV справедлива и в тех случаях, когда одна форма движения переходит в другую. А тремя страницами ранее он сам доказывает, что во всех известных случаях, когда справедливо выражение mV (это рычаг и удар двух упругих тел), точно также справедливо и выражение mV^2, но в выводе он почему-то делает заключение, что когда механическое движение трансформируется в механическое, то справедлива только формула mV! Кстати, пример с рычагами является просто некорректным, т.к. никакой передачи здесь движения не осуществляется: рычаг с двумя грузами на концах необходимо рассматривать не отдельно как движение одного груза, передающего движение другому грузу, а как замкнутую единую систему, движущуюся равномерно согласно 1-му закону Ньютона применительно для вращательного движения, о чём мы поговорим далее.

Попробуем разобраться с этим вопросом самостоятельно и обратимся к формулам и экспериментам. Пусть в инерциальной системе отсчета на абсолютно жёсткое тело массы m действует постоянная сила F вдоль одной из координатных осей, например, x. Тогда, согласно закону сохранения энергии, приобретённая телом кинетическая энергия будет равна работе, совершённой силой F на пути x, что выразится зависимостью:

m * V^2/ 2 = F * x (2.1.1)

Продифференцируем обе части этого уравнения по времени t и получим уравнение мощностей для механического движения:

m * a *Vm = F *Vf (2.1.2)

Так как тело у нас абсолютно жёсткое, то скорость перемещения центра масс тела Vm равна скорости приложения силы Vf, тогда обе части уравнения можно разделить на скорость. Таким образом, от уравнения мощностей мы пришли ко второму закону Ньютона в формулировке Эйлера:

m * a = F (2.1.3)

Если теперь в этом уравнении выразить ускорение a как dV/dt , а затем умножить обе части на dt и проинтегрировать левую часть по V и правую по t, то мы придём к уравнению, где используется мера mV и появляется ещё одна интересная величина F * t , т.е. “импульс силы” за промежуток времени от нуля до t.

m*V - m*V0 = F * t (2.1.4),

где V0 - скорость тела в начальный момент времени t = 0.

Резонно поставить вопрос: если все выражения (2.1.1)-(2.1.4) являются математически зависимыми, тогда почему только первая и последняя формулы претендуют на роль меры движения? Что касается меры mV^2, то закон сохранения энергии так многократно доказывал свою справедливость, что просто не может подвергаться никаким сомнениям при рассмотрении задач классической механики. А вот почему мера mV претендует на такую же роль меры механического движения? Ведь точно с таким же успехом мы можем объявить, что формулы (2.1.2) и (2.1.3) тоже являются законами сохранения, соответственно, мощности и сил, да ещё и в векторной форме. Объяснений тут будет несколько: во-первых, это чисто исторический аспект; во-вторых, невозможность органично сочетать её с остальными формулами вследствие “неудобной” размерности; в-третьих, в “теории” удара выражение mV не только используется для вычислений, но и формулы имеют некий физический смысл; и в-четвёртых, при движении по инерции величина mV также сохраняется, как и mV^2, в отличие от сил и мощностей, которые должны быть в этом случае равны нулю (правда, возможен частный случай движения по инерции, когда вектор силы постоянно перпендикулярен вектору скорости - движение по окружности). Что касается исторического аспекта, то его уже не устранить, а вот остальные мы постараемся исправить, чтобы выражение mV не претендовало на роль такой же меры движения, как mV^2, и в то же время выражение (2.1.4) нашло органичную связь с существующими физическими понятиями, характеризующими движение тела.

На первый взгляд, выражения (2.1.1)-(2.1.4), так как все они математически связаны между собой, описывают движение тела одинаково объективно. Однако в выражении (2.1.4) появилась одна особенность: сила должна являться постоянной или быть функцией времени, т.к. только в этом случае мы сможем взять интеграл от F*dt. Это требование противоречит законам Природы, т.к. все силы в Природе, действующие на тела (не считая сил инерции), зависят или от координат (силы гравитационного или кулоновского притяжения и силы упругости), или от скорости (силы Лоренца, Кориолиса, реактивная и жидкостного трения), или от градиента скорости (силы сухого трения). На это обстоятельство указывают многие авторы учебников [2, 3], а в классической механике, как пишут [4], силы вообще зависят только от координат, как функции потнциальной энергии. Но тогда почему опять-таки во многих учебниках - например, в [1] - как само собой разумеющееся указывается, что сила может зависеть и от времени? Причём в качестве примера здесь приводится центробежная сила при вращении несбалансированного ротора в электродвигателе (этот пример мы разбирали в разделе 1.1), хотя в этом примере закон изменения центробежной силы от времени можно считать допустимым только приблизительно для решения практических задач (а других примеров я просто не видел). Ведь, даже если принять, что нагрузка электрической сети от нашего электродвигателя будет постоянной и, следовательно, частота вращения ротора турбины на электростанции и, следовательно, магнитного поля в статоре нашего электродвигателя будет стабильной, то его характеристика при изменении нагрузки от дисбаланса всё равно не позволит вращаться ротору равномерно! Пусть закон изменения этой силы будет лишь незначительно отличается от строгой синусоидальной зависимости в функции времени, всё равно это не позволяет считать, что силы в Природе могут зависеть в явном виде от времени! Хотя в различных системах управления мы, конечно же, можем программно задавать любой вид зависимости силы от времени.

По этому вопросу я нашёл небольшое упоминание только в учебнике [2] о том, что у силы, оказывается, есть две характеристики, но при этом её временная характеристика как бы ставится на первый план (хотя там же пишется, что силы могут быть только функцией координат и скоростей!) - автор пишет: "Наряду с временной характеристикой действия силы - её импульсом - в механике столь же важную роль играет и пространственная характеристика действия силы, называемая механической работой". Вот только не говорится, что это будут уже совершенно разные силы, о чём мы поговорим более подробно позже на конкретном примере. А сейчас просто напомню, что в механике наряду с другими постулатами принято, что работа (энергия) - это произведение силы на путь ее действия, и если на пути сила непостоянна, то для расчёта надо взять интеграл от F(x)*dx или произведение средней силы по пути (не по времени!) на путь. А если учесть, что сила может быть только функцией координат или скоростей, то этот постулат напрямую приобретает теоретическое обоснование! Таким образом, зависимость (2.1.4) является частично искусственной, т.е. созданной для решения учебных задач и, следовательно, мера mV не может претендовать на ту же всеобщность в Природе, как мера mV^2 . Но в то же время, с помощью этого выражения можно решать многие простейшие реальные задачи, даже когда одна форма движения переходит в другую - например, при движении тела по наклонной плоскости, когда потенциальная энергия переходит в кинетическую, а кинетическая за счёт трения в тепловую, т.к. здесь сила трения о поверхность и касательная составляющая силы притяжения не зависят ни от перемещения, ни от скорости, т.е. являются постоянными:

m*V - m*V0 = ( m*g*sin(alfa) - m*g*cos(alfa)*f )*(t - t0) (2.1.5),

где alfa - угол наклона плоскости к горизонту, f - коэффициент трения тела о плоскость, g - ускорение свободного падения.

Разделим обе части выражения (2.1.4) на m и перенесем V0 в правую часть, тогда получим V = V0 + F*t /m, а т.к. при постоянной силе F/m - это постоянное ускорение a, то мы можем записать окончательно V = V0 + a*t. Таким образом, выражение (2.1.4) эквивалентно ктнематической (!) формуле для определения скорости при ускоренном движении и при этом имеет вполне определённый смысл и сохраняет все свои свойства в этой записи не только, когда F = const , но и в тех случаях, когда она является функцией времени: например, если F = F0*sin (w*t) , то V = V0 - F0*w*(cos (w*t ) - 1) / m. Единственным требованием к применению меры mv является наличие сил, зависящих от времени или постоянных, но незаввисимых от координат! Таким образом, мера mv отвечает только одному требованию, предъявляемому к мере движения – объективности, и то в частном случае, поэтому она может являться таковой только для решения учебных задач, если не считать простейшего случая, когда все силы действующие на систему - постоянные. Правда, некоторые оппоненты могут мне возразить, что величина mV является векторной величиной (хотя первоначально у Декарта mV было скалярной величиной), а mV^2 является скалярной и поэтому mV^2 ни в коей мере не может заменить mv - например, при определении скоростей разлёта шаров после удара. На это я могу ответить, что, как будет показано ниже, никакие векторные достоинства этой меры не помогут ей определить ни направления разлёта шаров, ни величины их скоростей. Единственным её векторным достоинством следует признать то, что направление и величина скорости центра масс замкнутой системы останутся неизменными при любых перемещениях отдельных частей системы между собой за счёт внутренней энергии системы - а это, как Вы сами понимаете, формулировка 1-го закона Ньютона для замкнутой системы, т.е. для движения её центра масс. На то, что закон сохранения количества движения эквивалентен 1-му закону Ньютона, прямо указывают авторы [5, 8]. Если Вам нравится называть 1-ый закон Ньютона - законом сохранения количества движения, то у меня возражений нет, вот только непонятно, зачем всё усложнять и любителям изобретать велосипед? Хотелось бы напомнить мысль Ломоносова о простоте природы и о необходимости отказываться от усложнений при её описании, если можно описать её просто. А используя меру mV^2, можно с успехом применять не только формулу (2.1.1), но и формулы (2.1.2) и (2.1.3), где сила также является функцией перемещения и, следовательно, в этих формулах используется мера mV^2. Причём, что очень важно для обработки экспериментальных данных с осциллограмм, которые всегда записываются с развёрткой во времени, как будет показано далее, здесь можно использовать мгновенные значения мощностей не только в функции перемещения, но и в функции времени. И хотя в эргодических процессах отступление от требования рассчитывать средние значения параметров по пути, а не по времени приводит к ошибке всего около одного процента, это не погрешность эксперимента, а систематическая ошибка, что для теоретических выводов недопустимо, а в неэргодических процессах ошибка может достигать и десятков процентов.

Но, может быть, есть такие задачи, которые нельзя решить, не прибегая к помощи mV, или здесь теория основанная на mV даёт лучше результаты, чем другие теории? В таком случае, естественно, мера движения mV будет иметь право на существование, хотя бы только для этого частного случая движения. Единственной областью динамики (не считая квантовой механики, где нет никакой динамики, как будет показано далее), базирующейся на мере движения mV, является "теория" удара. Каковы возможности этой "теории"? Считается, что мы можем определить величину и направление скоростей тел после удара, а также величину максимальной силы при ударе. Но эта "теория" имеет и существенные недостатки: мы не можем определить ни величину, ни направление скоростей движения тел и действующих на них сил во время удара, а также время взаимодействия двух тел. Кроме того, при неабсолютно упругом ударе мы вынуждены пользоваться коэффициентом восстановления скорости, который необходимо получить экспериментально и который вдобавок неинвариантен к величине относительной скорости соударяющихся тел и к их форме. Для определения максимальной силы при ударе используется лишь приблизительная зависимость изменения силы при ударе, а также экспериментально полученное значение времени удара, т.к. ни то, ни другое не вытекают из "теории". Таким образом, от так называемой "теории" практически ничего не остаётся, и мы видим просто набор эмпирических зависимостей. Хотя если у нас нет других средств, чтобы описать движение тел при ударе, то и эта полутеория и мера mV всё же имеют право (хотя бы временное) на существование.

Для тех, кто незнаком с моей книгой, необходимо сообщить, что при моделировании механических систем для составления уравнений их движения я пользуюсь уравнением мощностей как общим принципом, т.е. применяю энергетический метод и, следовательно, мерой движения признаю только mV^2. При этом в уравнениях у меня нет активных сил и сил реакций -все силы равнозначны, и запись уравнений я произвожу не в векторной форме, а по осям декартовой системы координат, что считаю более естественным для Природы. При этом никаких уравнений связей у нас не будет, т.к. не будет и самих связей, а знаки у величин сил и скоростей я принимаю в соответствии с направлением осей: если мощность получается со знаком плюс, то она увеличивает кинетическую энергию системы, а если минус – соответственно, уменьшает. В тех случаях, когда тела имеют моменты инерции и вращаются, я дополнительно записываю ещё три уравнения вращения тел вокруг осей декартовой системы координат в соответствии с уравнением мощностей при вращательном движении. При этом три закона Ньютона для вращательного движения будут выглядеть следующим образом:

1-ый J1*w1= J2*w2

2-ой dw /dt= M /J

3-ий M1 = - M2

где w - угловая скорость, J - момент инерции, M - крутящий момент.

В подавляющем большинстве случаев уравнение мощностей, т.е. принцип Даламбера в моей современной трактовке, упрощается до его классической трактовки данной в учебниках, т.е. до принципа кинетостатики, но это не означает, что так надо поступать всегда. Так, при моделировании процессов, где у нас происходит кинематическое проскальзывание (как упругое, так и неупругое), т.е. нет жёсткой взаимосвязи между поступательной и угловой скоростями частей системы - например, в клиноремённых передачах или при движении колеса автомобиля, - тогда использование уравнения мощностей приводит к принципиально другим решениям. В частности, мне это помогло значительно улучшить современную теорию качения колеса и избавится от присутствующей в ней мифической силы сопротивления движению колеса при его движении по несминаемому основанию, т.е. стало меньше ещё одной «волшебной» силой из прошлого. Кого интересует данный вопрос, могут найти на него ответ по адресу ser.t-k.ru.

 

Давайте посмотрим, используя изложенные принципы моделирования механических систем, можно ли олучить те же результаты при ударе, а по возможности и лучше, не прибегая к помощи меры mV, а просто смоделировав удар? Для примера опишем движение абсолютно упругого тела (шарика), вся масса которого сосредоточена в его центре масс, при его ударе об абсолютно жёсткую стену, воспользовавшись уравнением (2.1.2). Тогда, поскольку Vm = Vf, мы приходим к частному случаю, т.е. уравнению Ньютона (2.1.3):

m*ax= - c*x (2.1.9),

где c - жёсткость тела в продольном направлении, ax= d ² x / dt ² – ускорение по оси x. Решение этого дифференциального уравнения известно:

x = k1*cos (w*t ) + k2*sin (w*t ) (2.1.10),

где k1, k2 – константы, определяемые из начальных условий, w² = c / m - угловая частота собственных колебаний системы. При параметрах тела m = 1 кг , c = 10000 н/м и начальных условиях V0 = 10 м/с, x0 = 0 при t = 0 решение уравнения (2.1.10) примет вид:

x = 0.1 * sin (100* t ) (2.1.11)

Vx = 10 * cos (100* t ) (2.1.12)

Изменение скорости при ударе и силы удара, которая определяется как c*x, в функции времени t и в функции перемещения x изобразим графически на рис.2.1.1.

Рис.2.1.1. Зависимость силы удара F и скорости шара V как функций времени t и деформации x.

Таким образом, мы нашли не только значение скорости шара после отскока, но и получили зависимости для нахождения силы и скорости во время удара, чего нельзя получить, опираясь на меру движения mV. Также необходимо заметить, что вычисление средней силы, равно как и максимальной по формуле, основывающейся на mV, очень неоднозначно, даже если нам известны все остальные параметры удара, если не принимать во внимание, что это за сила. Например, воспользовавшись данными, полученными нами в рассмотренном примере, и подставив их в формулу рекомендуемую “теорией удара” для вычисления средней силы, мы получим:

Fср = m*( V0 - v ) / t = 1 * (10 + 10 ) / 0,0314 = 637 н (2.1.13)

Вот только авторы учебников нигде не пишут, что это не та сила, к которой мы привыкли, т.е. по перемещению, а средняя сила по времени, потому что средняя сила по перемещению будет 500 Н (см. графики). Максимальную силу при ударе, согласно “теории удара” основанной на mV, например, в учебнике [1] рекомендуется определять как удвоенное значение средней силы, т.к. это единственная разумная рекомендация при неизвестной зависимости изменения силы, которую (зависимость) теория базирующаяся на mV просто не может дать. Но у нас такая зависимость есть - согласно рис.2.1.1, максимальная сила при ударе равна 1000 Н, что значительно меньше 637*2 Н = 1274 Н, которые может дать “теории удара”, основанная на mV. Но, как мы сейчас увидим, формула (2.1.13) в принципе верна, но для другой силы - т.е. не пространственной, а временной силы. Работа, совершённая силой при ударе Ax, равна произведению среднего значения силы по перемещению Fxср умноженному на это перемещение x, но не At, равной среднему значению силы по времени Ftср умноженному на перемещение, рассчитанное по средней скорости по времени x = Vtср*t, то есть среднему значению мощности, полученному по средним значениям силы Ftср и скорости Vtср по времени и умноженному на время действия, что легко проверить, сравнив эту работу с величиной кинетической энергии Ak, потерянной шаром до его остановки при максимальной деформации:

Ax = Fxср * x = 500 н * 0.1 м = 50 н*м

At = Ftср * Vtср * t = 637 н * 6.37 м/с * 0.0157 с = 63.7 н*м

Ak = m*V^2 / 2 = 1 кг * 10 м/с * 10 м/с / 2 = 50 н*м

Но если мы возьмём от мгновенной мощности

P(t) = F(t)*V(t) = 1000*sin(100*t) * 10*cos(100*t) = 10000*sin(100*t)*cos(100*t)

интеграл в интервале от нуля до 0.0157 секунд, мы получим опять верный ответ

-50*(cos(100*t))^2 = 50 н*м.

Таким образом, с математической точки зрения обе силы Fxср и Ftср вполне приемлемы для расчётов, и вопрос состоит только в том, для каких расчетов и как их применять, чтобы не потерять физического смысла как в рассмотренном сейчас простейшем примере упругого удара, так и в других более сложных случаях - например, в термодинамике при определении давления газа на стенки сосуда. Аналогичным образом, смоделировав весь процесс, можно получить и зависимости, по которым определятся скорости при абсолютно упругом или абсолютно неупругом лобовом ударе двух шаров. Например, движение при лобовом столкновении двух абсолютно неупругих шаров опишется следующей системой дифференциальных уравнений, решая которую, найдём скорости обоих шаров, которые выразятся зависимостями:

m1*ax1= d1*(Vx3 - Vx1)

m2*ax2= d2*(Vx3 - Vx2)

Vx3 = (d1*Vx1 + d2*Vx2) / (d1 + d2) (2.1.14)

Vx1 = [(V1 - V2)*n1*exp(-(n1+n2)*t) + V1*n2 + V2*n1] / (n1 + n2 ) (2.1.15)

Vx2 = [(V2 - V1)*n2* exp(-(n1+n2)*t) + V1*n2 + V2*n1] / (n1 + n2 ) (2.1.16)

где V1 и V2 - скорости шаров до удара, Vx3 - скорость точки контакта, d1 и d2 - диссипативные параметры шаров, n1 и n2 - постоянные коэффициенты, определяемые по зависимостям:

n1 = d1*d2 / m1 / ( d1 + d2 ) (2.1.17)

n2 = d1*d2 / m2 / ( d1 + d2 ) (2.1.18)

Из формул (2.1.15)-(2.1.16) следует, что при времени стремящемуся к бесконечности, первые члены этих выражений стремятся к нулю и, следовательно, в конце удара скорости обоих шаров выразятся второй частью уравнений (2.1.15)-(2.1.16), которые идентичны. Следовательно, скорости после удара будут равны, и после подстановки значений n1 и n2 в эти выражения определятся известной формулой:

u = Vx1 = Vx2 = ( m1*V1 + m2*V2 ) / ( m1 + m2) (2.1.19)

Движение при лобовом ударе двух абсолютно упругих шаров опишется подобной (2.1.14) системой уравнений, а решения этих уравнений для скорости шаров даются выражениями:

m1*ax1 = ce*( x2 - x1 )

m2*ax2 = ce*( x1 - x2 ) (2.1.20)

Vx1 = [(V1 - V2)*b1*cos(t*(b1+b2)^0.5) + V1*b2 + V2*b1] / (b1 + b2) (2.1.21)

Vx2 = [(V2 - V1)*b2*cos(t*(b1+b2)^0.5) + V1*b2 + V2*b1] / (b1 + b2) (2.1.22)

где V1 и V2 - скорости шаров до удара, ce = c1*c2 / (с1 + с2) - суммарная жёсткость двух шаров, b1 = ce / m1 и b2 = ce / m2 - постоянные коэффициенты. Через время t = pi / (b1+b2)^0.5 шары выйдут из соприкосновения и полетят с постоянными скоростями. Подставив в зависимости (2.1.21)-(2.1.22) это значение времени и значения коэффициентов b1 и b2 , после преобразований получим:

Vx1 = 2*u - V1 (2.1.25)

Vx2 = 2*u - V2 (2.1.26)

где u - скорость шаров после абсолютно неупругого удара, т.е. когда система полностью израсходует свою внутреннюю энергию, определяемая по формуле (2.1.19).

При аналитическом решении этих двух задач, которое было получено мною впервые (по крайней мере, в открытой печати я нигде этих выкладок не видел), были сделаны допущения, что при ударе в пятне контакта будет отсутствовать сухое трение, что, впрочем, будет на самом деле при ударе двух шаров одинакового диаметра и одинаковой жёсткости. Принято, что трение внутри материала шаров при абсолютно неупругом ударе будет жидкостным, т.е. сила трения будет пропорциональна скорости деформации шара. Данные допущения мне потребовались, чтобы дифференциальные уравнения описывающие движения шаров были линейными, т.к. в противном случае мы не смогли бы их решить аналитически. С помощью дифференциальных уравнений, подобным приведённым выше, можно описывать удар любых тел и под люб