Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение

 

Уравнение F(x, y, y ') = 0,

где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b) .

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x₀) = y₀ — начальное условие.

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения.

Пример ДУ 1-го порядка.

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Разделяем переменные:

 

 

Интегрируем уравнение:

 

 

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

 

 

Выражаем общее решение:

 

 

Итак, общее решение:

 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

 

 

Более привычное оформление:

 

 

Подставляем найденное значение константы  в общее решение.

частное решение:

 

 

Теорема существования и единственности.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:

 

 

Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f(x, y), D ⊂ R² .

Функция y = y(x) является решением задачи Коши

 

 

если y = y(x) дифференцируема на [a, b] , (x, y(x)) ∈ D для всех x из [a, b] , y(x₀) = y₀ , x₀∈[a, b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

 

 

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная f_y(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x₀, y₀) принадлежит области D.

Тогда :

— в некоторой окрестности (x₀ − δ, x₀ + δ) точки x₀ существует решение задачи Коши

 

 

— если y = φ₁(x) и y = φ₂(x) два решения задачи Коши, то φ₁(x) = φ₂(x) на (x₀ − δ, x₀ + δ) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀, y₀) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения

 

 

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x₀) — семейство решений задачи Коши

 

 

элементы которого различны для разных значений x₀ . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x₀) .

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x₀ . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.

 

3. Интегрирование некоторых типов ОДУ первого порядка:

a. с разделяющимися переменными

b. однородные

c. линейные

d. Бернулли

e. в полных дифференциалах

а) Уравнения с разделяющимися переменными

Так называются уравнения вида

 

или(11)

f₁(x) g₁(y) dx + f₂(x) g₂(y) dy = 0   (12)

Примеры: 1.

.

При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln|C₁|:

 

Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.

Пример:

 

.

b) Однородные уравнения

 

.(13)

 

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой , или . Подставляя в (13) y = u, , получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.

Пример:

 

-

 

общее решение уравнения. Примеры: 1. (y² - 2xy)dx + x²dy = 0. Здесь коэффициенты при дифференциалах - однородные функции второй степени, т.е. уравнение должно приводиться к виду (13). Решаем уравнение относительно производной: делим числитель и знаменатель правой части на x²: - это уравнении с однородной правой частью.

 

 

Это общий интеграл уравнения.

c) Линейные уравнения

ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:

 

.(14)

 

Здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.

Для решения уравнения (14) представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x) v(x). Тогда

 

,

 

и уравнение приводится к виду

 

, или .

 

Пример:

 

.

 

Решение:

 

.

 

Теперь для u(x) получим: , и общее решение уравнения . Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение . Решение задачи: .

d) Бернулли

 

.(15)

 

где (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными).

Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y^1-m (при m>1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно, , ; после деления уравнения (15) на y^m получим , или - линейное уравнение.

Пример: (уравнение Бернулли, m = 2). Подстановка . Решаем полученное линейное уравнение:

 

.

 

e) В полных дифференциалах

 

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.(16)

 

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений

 

 

Из первого уравнения этой системы находим с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется .

Пример: найти общее решение уравнения

 

.

 

Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь

 

;

,

 

т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функцию u(x, y) такую, что Из первого уравнения

 

.

 

Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы:

 

.

 

Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для должны остаться только члены, зависящие от y. Действительно, представляя как , получим

 

 

Следовательно, , и общее решение уравнения имеет вид .

4. ОДУ высших порядков, допускающих понижение порядка

 

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

1) Уравнение вида  решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:

 

 

 

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y = cos x + C₁x³ + C₂x² + C₃x + C₄.

2) Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y^(k), y^(k+1), y^(k+2), …,y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y^(k)(x). Тогда  z^(n-k) = y⁽ⁿ⁾(x), и относительно z(x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением n - k-го порядка. После нахождения z(x)последовательным интегрированием решается уравнение y^(k) = z(x).

Пример: решить задачу Коши:

 

.

Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции . Тогда , и уравнение примет вид . Это - уравнение Бернулли; пусть

 

z = uv,

 

тогда

 

,

 

 

 

следовательно,

 

.

 

Относительно y(x) - это уравнение

 

.

 

Мы можем последовательно находить

 

 

 

и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия  при x = 1 можно определить и знак частного решения, и значение постоянной C₁: . Теперь . Из условия  при x = 1 находим C₂: ; из условия y = 3 при x = 1 находим C₃:

 

.

Окончательный ответ: .

3)Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость  от y: . Старшие производные y по x вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции:

 

.

Аналогично,

 

 

Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через k-1 -ую производную p по y. В случае уравнения второго порядка  в результате таких преобразований получим , т.е. уравнение первого порядка (в котором y выступает как аргумент, p(y) - как неизвестная функция). После нахождения решения p = p(y, C₁)этого уравнения решается уравнение , решение которого y = y(x, C₁, C₂) будет общим решением исходного уравнения.

Пример.

 

 

 

Решение:

 

 

.

 

Интеграл от дифференциала в левой части этого равенства вообще не берётся, поэтому проверим, не упростится ли задача, если использовать начальные условия. Так как при x = 0 должно быть , то получим

.

 

Поэтому частное решение должно удовлетворять уравнению

 

.

 

Находим : . Ответ: решение задачи Коши .

4) Применение интегрируемых комбинаций. Иногда удаётся заметить, что в уравнении  правая часть является производной некоторой функции , т.е. уравнение имеет вид . Интегрируя по x, получим уравнение, порядок которого на единицу меньше порядка исходного уравнения (так называемый первый интеграл уравнения): .
Пример: . Если переписать это уравнение в виде  и сообразить, что справа стоит производная функции , то получим , откуда . Это уравнение не содержит явно y, поэтому

 

 

.

 

5. Линейные однородные ОДУ второго порядка

a. линейная зависимость и независимость функций

b. критерий линейной зависимости двух решений линейного однородного ОДУ второго порядка в терминах определителя Вронского

c. теорема о структуре общего решения

ЛДУ 2-го порядка называется ДУ 2-го порядка, линейное относительно у, у', у ", т.е.

 

(21.3)

 

Дифференциальное уравнение

 

(21.4)

 

получающееся из (21.3) при b(х) = О, называется линейным однородным ДУ 2-го порядка (ЛОДУ 2п). Если b(х) О, то уравнение называется линейным неоднородным (ЛНДУ 2п).

Из теоремы Коши следует, что при непрерывности функций  в окрестности т. при уравнение (21.3) имеет в окрестности т. единственное решение.

Определение. Система функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) называется линейно зависимой, если существуют система постоянных c₁, c₂, … , c_n, такая, что , и для которой будет выполнено соотношение . В противном случае система функций будет называться линейно независимой.

Определение. Определитель вида

 

 

называется определителем Вронского.

 

Теорема. Если система функций линейно зависима, то определитель Вронского равен тождественно нулю.
 Доказательство. Пусть система функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) линейно зависима, то есть не для всех одновременно равных нулю c₁, c₂, … , c_n выполняется соотношение

 

c₁ ·f₁(x) + c₂ ·f₂(x) + … + c_n·f_n(x) ≡ 0. (4)

 

Дифференцируя соотношение (4) n - 1 раз, составим систему алгебраических уравнений относительно c₁, c₂, … , c_n

 

(5)

 

Так как однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение, то её главный определитель тождественно равен нулю. Поскольку для системы (5) главный определитель совпадает с определителем Вронского, то отсюда и вытекает справедливость теоремы.

Теорема структуре общего решения: Пусть непрерывны на Если решения уравнения

(21.4) образуют фундаментальную систему решений,  то является общим решением

уравнения (21.4) на Проверим выполнение условий из определения общего решения. По теореме о линейной комбинации решений  является решением уравнения (21.4). Возьмем начальные условия Подставляя их в  для определения и получаем систему

 

(21.5)

 

Ее определитель является определите-

лем Вронского, вычисленным в т. Он не равен нулю по условию теоремы, поэтому система имеет единственное решение  которое может быть записано по формулам Крамера. Таким образом, выполнены оба условия определения общего решения

 

6. Линейные однородные ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

d. характеристическое уравнение, характеристические числа

e. общее решение при  и (вещ.)

f. общее решение при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения, его вещественная форма

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

 

где p, q − постоянные коэффициенты.

А. характеристическое уравнение:

 

 

при помощи замены

 

- через , - через , - через 1

 

составляется характеристическое уравнение, соответствующее данному ЛОДУ; решается характеристическое уравнение, находятся корни: устанавливается характер корней (действительные или комплексные, различные или кратные) и определяется соответствующая этим корням фундаментальная система решений ;составляется общее решение ЛОДУ:

Б. Обшее решение OДУ зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением.След. случаи:

1.Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения r₁ и r₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа

2 . Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

B. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде