Деление круглого числа на круглое

Какие свойства арифметических действий лежат в основе устных приемов внетабличного умножения и деления. Найдите в учебниках математики страницы, на которых рассматриваются эти свойства, и сравните их между собой. Опишите методику работы с ними.

Кроме табличных случаев умножения и деления учащихся знакомят с внетабличными случаями, т. е. такими которые не входят в таблицу умножения и деления. В их основе лежит распределительное свойство умножения относительно сложения и правило деления суммы на число.

Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Его изучают в виде двух правил:

П.1.умножение суммы на число (3 кл.)
     П.2.умножение числа на сумму (4 кл.)

П.1.: теоретическая основа - внетабличное умножение вида 14*3.

Правило 1 звучит так: при умножении суммы на число, можно сначала каждое слагаемое умножить на это число, а результаты сложить.
Таким образом, это свойство помогает в некоторых случаях области вычисления, мы распределяем сумму на два слагаемых и каждое слагаемое умножаем отдельно. Например, 17*4=(10+7)*4=(10*4)+(7*4).

Общий вид этого правила будет выглядеть следующим образом:

П.2.: теоретическая основа приёма – письменное умножение на двух- и трёхзначное число.

Правило 2 звучит так: при умножении числа на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить.

 

Общий вид этого правила будет выглядеть следующим образом:

Например, 7* (2+5)= (7*2)+(7*5)= 14+35= 49

Правило деления суммы на число звучит так: чтобы поделить сумму на число, можно каждое слагаемое поделить на это число и полученные частные сложить.

Общий вид этого правила будет выглядеть следующим образом:

Например: (64+32):8= 64:8 + 32:8= 8 + 4= 12

 

Рассмотрим страницы учебников по различным программам, где вводятся эти свойства и правила:

Программа Моро:

М3Мч.2 стр.6

М3Мч.2 стр.13

М4Мч.2 стр.42

по программе Моро детей сначала знакомят с правилом умножения суммы на число, в 3 же классе, спустя несколько уроков вводят правило деления суммы на число, и только в 4 классе вводится правило умножения числа на сумму. При знакомстве со всеми этими приёмами автор учебника использует рисунки с кругами и выделяет 2 способа нахождения выражения.

 

 

Программа Аргинской:

М3Ач.1 стр.104                                         
М3А ч.1 стр.122

  по программе Аргинской правила умножения и деления суммы на число вводятся в 3 классе. При введении 1-го правила, детям предлагается самостоятельно прийти к выводу, разобрав несколько выражений, и только потом автор дает правило. Также Аргинская даёт буквенную запись данного правила. 2-ое правило, опирающееся на распределительное свойство умножения относительно сложения, в учебнике не выводится, но задания на него присутствуют.
Правило деления суммы на число детям также предлагается вывести самостоятельно и сравнить его с предложенной формулировкой, данной автором. Буквенную запись правила дети должны вывести сами.

 

Программа Истоминой:

М3И ч.2 стр.12

 
М3И ч.2 стр.26

 

М4И ч.1 стр.58

 

по программе Истоминой правила умножения и деления суммы на число вводятся в 3 классе. Для 1-го правила Истомина использует рисунки с квадратами и кругами. Оба правила вводятся через решение упражнений.
Правило умножения числа на сумму представлено в 4 классе, сначала учащимся также предлагается выполнить задание на это правило, а затем объяснение дается через слова Маши и Миши.

 

Программа Чекина:

  

М3Ч ч.1 стр.77                                     М3Ч ч.2 стр.16                                        

М3Ч ч.2 стр.44                          

по программе Чекина оба правила на распределительное свойство умножения относительно сложения даются в 3 классе. Автор сначала предлагает детям задание, где подробно разбираются данные правила, а затем выводит сами формулировки правил. После этого учащимся предлагаются задания на эту тему.
Правило деления суммы на число выводится по тому же принципу, Чекин сразу дает установку на его запоминание.

 

По всем программам, за исключением Чекина, правила умножения и деления суммы на число вводятся в 3 классе. А правило умножения числа на сумму в 4. Такой разрыв во времени объясняется тем, что эти правила являются теоретической основой различных вычислительных приёмов. 

 

С какими вычислительными приемами знакомятся учащиеся в теме «Внетабличное умножение и деление». Какова их теоретическая основа. Сравните различные методические подходы к изучению данной темы, предложенные в различных учебниках математики для начальных классов.

Кроме табличных случаев умножения и деления учащихся знакомят с внетабличными случаями, т. е. такими которые не входят в таблицу умножения и деления. Рассмотрим каким образом их изучают по программе М.И.Моро и др.:

1. Умножение и деление круглого числа на однозначное          

М3М, ч.2, стр. 4

 

20∙3 =
2дес∙3 = 6 дес

20∙3=60

Теоретическая основа:

1) Соотношение между разрядными единицами (1дес. = 10 ед);

2) Таблица умножения.

 

3∙20=         

3.20=20.3

20∙3=60

3∙20=60

Теоретическая основа:

1) Переместительное свойство умножения;

2) Приём умножения круглого числа на однозначное.        

  60:3=        

6дес.: 3 = 2 дес.

60:3=20

Теоретическая основа:

1) Соотношение между разрядными единицами;

2) Таблица умножения и соответствующие случаи деления.

 

М3М, ч.2, стр. 8

15*3= (10+5)*3=10*3+5*3=45              

Теоретическая основа:

1) Разрядный состав числа;

2) Распределительное свойство умножения (правило умножения суммы на число М3М, 2ч стр. 6, см. предыдущую лекцию);

3) Приём умножения круглого числа на однозначное;

4) Таблица умножения; 

5) Сложение в пределах 100.

 

М3М, ч.2, стр. 8

       4 ∙ 23=

       4 ∙ 23= 23 ∙ 4

       23 ∙ 4 = 92

 

Теоретическая основа:

1) Переместительное свойство умножения;

2) Приём умножения двузначного числа на однозначное.

 

М3М, ч.2, стр.15

 

- Рассматривают 3 случая

А) 69: 3 =

(60 +9): 3= 60:3 +9:3 = 20+3=23

Теоретическая основа:

1) Разрядный состав числа;

2) Правило деления суммы на число (М3М ч.2 с.13- изучение рассмотреть самостоятельно);

3) Случаи деления круглого числа на однозначное;

4) Табличные случаи деления;

5) Сложение в пределах 100.

6. Деление двузначного числа на двузначное способом подбора частного.

М3М, ч.2, стр.18

Теоретическая основа:

1) Правило взаимосвязи между делимым, делителем и частным (если частное умножить на делитель, то получим делимое)

 

 87: 29 =        подбираем частное (берем 2,3…)

29 ∙ 2= 58,   58 меньше,чем 87 значит 2 не подходит

 

29∙ 3= 87,      87=87, т.е. 3 подходит.

Программа Н. Б. Истоминой

М3И, ч.2, стр.11

Позднее дано правило

 М3И, ч.2, стр. 18

 

М3И, ч.2, стр.36-37

 

Вывод:

В данной программе четко сформулированы правила № 3,5,6. Но, так как, на примере правила «Умножение однозначного числа на двузначное» мы увидели, что правило вводится через упражнение. Думаю, возможно и то, что остальные правила вводятся также. Если же этого е происходит, учитель самостоятельно в ходе урока вводит правило(а).

 

Программа И. И. Аргинской

М3А, ч.1, стр. 118

Деление круглого числа на однозначное.

Сначала находят значения произведений, а потом, опираясь на полученные равенства, находят значения частных. При решении предлагают опираться на знание таблицы умножения.  

М3А, ч.1, стр.112

М3А, ч.1, стр. 114

М3А. ч.1, стр.121

 

Вывод:

В данной программе четко сформулированы правила № 1,3. Я думаю, что остальные правила автор предлагает вывести с помощью упражнений. Т.е. учащиеся выполняют упражнения, и приходят к формулировке нового правила.

Программа Л. Г. Петерсон

 

Умножение круглого числа на однозначное.

Во 2 классе учатся умножать круглые числа на однозначные и наоборот. Учитель предлагает детям выполнить упражнение. Затем дают правило умножения круглых чисел: предлагают отбросить нули на конце множителей, а к произведению приписать их.

 

М2П, ч.3, стр.52

Деления круглого числа на однозначное и круглого на круглое.

 

М2П, ч.3, стр.56

 

Умножение двузначного числа на однозначное.

Его рассматривают после изучения распределительного свойства умножения

Дан алгоритм выполнения действия. В упражнениях рассматривают также прием умножения однозначного числа на двузначное.

 

 

М2П, ч.3, стр.60-61

Деления двузначного числа на однозначное.

(Есть алгоритм выполнения действий)

М2П, ч.3, стр.68

М2П, ч.3, стр. 72

Вывод:

Программа аналогичная программе И. И. Аргинской, автор использует приём вывода правила через упражнения.

3. Составьте фрагмент урока ознакомления учащихся с приемом умножения двузначного числа на однозначное, включающий следующие этапы: а) подготовка; б) изучение нового; в) первичное закрепление.

Фрагмент урока

Тема: ” Умножения двузначного числа на однозначное”

1 этап-подготовка:

- Ребята, для открытия нового обязательно нужно повторить ранее изученное.

Арифметический диктант.

Устный счет.

 

3 · 7     20 · 3   9 · 8   10 · 7  13 · 7

-Что вызвало затруднение? Почему?(Выражение 13*7. Мы не умеем умножать двузначное число на однозначное.)

-Кто догадался, какая задача стоит сегодня перед вами?

(Научиться умножать двузначное число на однозначное.)

-Верно! Тема нашего сегодняшнего урока «Умножение двузначного числа на однозначное»

 

2 этап-изучение нового материала:

- Сейчас поработаем в группах.

- Каждая группа получит карточку с выражением 13 · 7.

- Ваша задача попытаться выдвинуть свое решение этого выражения.

- Какой вариант решения наиболее удобный? (Сравниваем).

-Какие выражения, встретившиеся в устном счёте, помогли бы найти значение выражения 13 · 7?

 

(13=10 ·3   10·7=70  и   3·7=21 и 70+21=91)

  13 ·7=(10+3)·7=10·7+3·7=70+21=91

- Опираясь на наши наблюдения, я предлагаю составить алгоритм умножения двузначного числа на однозначное.

Алгоритм.

1. Двузначное число разложить на сумму разрядных слагаемых или удобных слагаемых.

2. Применить распределительное свойство.

3. Каждое слагаемое умножить на число и полученные результаты сложить.

 

 

3 этап-первичное закрепление:

1. Замените суммой разрядных слагаемых следующие числа:

54=

72=

82=

39=

15=

2. Найди пару каждому выражению. (Самопроверка.)

 

13·8       23·6           21·4        62·7

104         138              84             43

 

3. Реши задачу.

Ученики школы решили посадить в парке 3 ряда берез по 19 штук в каждом и 5 рядов елей по 14 штук.

Каких деревьев ученики посадили больше и на сколько?

- Молодцы! Самостоятельно решаем задачу.

 

1)19 · 3=

2)14 · 5=

3)57 +70=

4. Допиши равенство чтобы оно стало верным.

19·7= (+)·7       13·5=(+)·5         18·4= (+)·4       14·8=(+)·8

 

5 .Найди значение выражений

  15· 6                      38 · 5                          45 · 3                63 · 2

 

4.Какую подготовительную работу надо провести с учащимися перед введением приема деления двузначного числа на однозначное? В чем заключается сложность использования данного приема? Какие частные случаи деления двузначного числа на однозначное представлены в учебниках математики? Приведите рассуждения учащихся при нахождении значений следующих выражений: 48:4, 36:2, 70:2, 96:4.

 

Перед изучением приема деления двузначного числа на однозначное необходимо повторить следующие темы, которые являются теоретической основой приема: разрядный состав числа, правило деления суммы на число, случаи деления круглого числа на однозначное (2 прием), табличные случаи деления, сложение в пределах 100.

Вариант заданий для повторения на уроке:

1) - Замените данные числа суммой разрядных слагаемых: 85, 77, 98, 45, 26 (85 – 8дес. 5 ед.; 77 – 7 дес. 7 ед.; 98 – 9 дес. 8 ед.; 45 – 4 дес. 5 ед.; 26 – 2 дес. 6 ед.).

- Подчеркните в этих выражениях однозначные числа одной чертой, а двузначные – двумя чертами.

2) Реши задачу, используя правило деления суммы на число.

Для начала проговорим его вслух: Для деления суммы на число нужно каждое из чисел разделить на данное число, а результаты действий сложить.

Условие.

Решение.

(9 + 15): 3 = 8 (игр.) Ответ: 8 игроков.

 

3) Деление круглого двузначного числа на однозначное.

М3М, часть 2, стр. 5

80:20=? (Вспоминаем правило: если делитель умножить на частное, то получим делимое).

На какое число нам нужно умножить 20, чтобы получить 80? (2дес*4=8дес.)

Значит, 20*4=80, 80:20=4.

4) табличные случаи деления, умножения, сложение в пределах 100

Игра «Кто быстрее полетит в космос?»

(Каждый ряд получает лист бумаги с изображением ракеты. На ракете записаны примеры на умножение, деление и сложение (в пределах 100) по количеству учеников в ряду. По команде учителя первый ученик с каждого ряда начинает решать пример. Затем передает ракету следующему ученику со своего ряда. После окончания игры учитель открывает ответы на доске. Побеждает ряд, который решит все примеры быстрее других и не допустит ошибок).

 

После подготовительной работы может начать само ознакомление с приемом деления двузначного числа на однозначное.

Вычислительный прием для внетабличных случаев деления двузначного числа на однозначное основан на применении правила деления суммы на число, суть которого детям раскрывается с использованием соответствующих средств обучения.

Данный прием делится на 3 случая. Отличаются они друг от друга дополнительными действиями, разным уровнем сложности.

 

Случай А – самый простой, так как в нем мы действуем также, как при умножении двузначного числа на однозначное.

Двузначное число в этом случае достаточно разложить на разрядные слагаемые,(числа где количество десятков и количество единиц делится на делитель.)

 

 48:4=?

- Замените делимое суммой разрядных слагаемых. Запишите получившееся выражение (40+8):4.

- Как можно вычислить результат? (Можно первое слагаемое разделить на 4, потом второе слагаемое разделить на 4, а полученные результаты сложить (40:2+8:2= 12)).

- Каким вычислительным приемом мы воспользовались, чтобы разделить двузначное число 48 на однозначное 4? (Делением суммы на число).

Случай Б – сложнее первого, так как замена числа суммой разрядных слагаемых не поможет детям разделить. Пример: 36:2= (30+6):2. Дети еще не умеют делить 30:2, поэтому нужно искать другие слагаемые, от этого и сложность.

Нужно подобрать удобные слагаемые, такие, чтобы каждое из них было удобно разделить на однозначное число. Первое слагаемое должно быть круглым, а второе – это оставшиеся единицы делимого. Чтобы облегчить детям поиск удобных слагаемых, можно предложить им взять делитель и приписать к нему 0.

36:2=?

- Замените число 36 суммой удобных слагаемых. Получаем выражение (20+16):2.

- Делим каждое слагаемое на 2, складываем результаты (20:2+16:2 = 18).

Случай В – сложнее предыдущих, так как первое удобное слагаемое найти нельзя просто взяв делитель и приписав к нему 0, а затем найти второе слагаемое, которое будет равно оставшимися единицами делимого.

Пример: 72:2=(20+52):2. Дети не разделяет 52 на 2.

В этом случае мы предлагаем к делителю приписать 0 и умножить на 2,3… так, чтобы получилось круглое число, самое близкое к делимому, но не больше его, а второе удобное слагаемое находят вычитанием, это оставшиеся единицы делимого.

70:2=?

- Заменяем число 70 суммой удобных слагаемых. Для нахождения первого удобного слагаемого к делителю 2 приписываем 0 и умножаем его на 3. У нас получилось 60, второе удобное слагаемое найдем вычитанием, оставшиеся единицы делимого. У нас получилось: (60+10):2.

- Делим каждое слагаемое на 2и складываем результаты (60:2+10:2=35).

96:4=?

- Заменяем число 96 суммой удобных слагаемых. Для нахождения первого удобного слагаемого к делителю 4 приписываем 0 и умножаем его на 2. У нас получилось 80, второе удобное слагаемое найдем вычитанием, оставшиеся единицы делимого. У нас получилось: (80+16):4.

- Делим каждое слагаемое на 2и складываем результаты (80:4+16:4=24).

 

По программе Моро все три случая даются на одном уроке, но учитель сам решает для себя, трудно ли будет его классу усвоить сразу три случая или на один из них нужно отвести еще урок.

 

 

М3М, часть 2, стр.15

По программе Истоминой данный прием в учебнике видимо не разбивается и не рассматривается на 3 случая, как в учебнике Моро. Ко всем случаям дается одно уточнение: «Надо делимое записать в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число, потом каждое слагаемое разделить на это число и полученные результаты сложить». В этом есть трудность для детей.

 М3И, часть 2, стр. 36

 

По программе Аргинской в 3 классе 1 части учебника рассматривают только первый случай деления двузначного числа на однозначное, когда дувзначное число можно спокойно разложить на разрядные слагаемые и поделить их на однозначное число. Второй и третий случай в программе не рассматривается, их нужно дать самостоятельно.

 М3А, часть 1, стр. 124

По программе Чекина прием подробно не рассматривается. Подведение к приему идет через раличные виды упражнений. Сначала автор предлагает вспоминть, что нужно сделать, чтобы из 7 получить 70 и т.д. Далее вспоминают деление круглого двузначного числа на однозначное, затем вспоминают правило деления суммы на число и уже после этого предлагают разделить двузачное на однозначное. Каждые три случая не рассматриваются и не разбираются, как в программе Моро, например.

М3Ч, часть 2, стр. 116-117

 

 

 

 

Какие свойства арифметических действий лежат в основе устных приемов внетабличного умножения и деления. Найдите в учебниках математики страницы, на которых рассматриваются эти свойства, и сравните их между собой. Опишите методику работы с ними.

Кроме табличных случаев умножения и деления учащихся знакомят с внетабличными случаями, т. е. такими которые не входят в таблицу умножения и деления. В их основе лежит распределительное свойство умножения относительно сложения и правило деления суммы на число.

Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Его изучают в виде двух правил:

П.1.умножение суммы на число (3 кл.)
     П.2.умножение числа на сумму (4 кл.)

П.1.: теоретическая основа - внетабличное умножение вида 14*3.

Правило 1 звучит так: при умножении суммы на число, можно сначала каждое слагаемое умножить на это число, а результаты сложить.
Таким образом, это свойство помогает в некоторых случаях области вычисления, мы распределяем сумму на два слагаемых и каждое слагаемое умножаем отдельно. Например, 17*4=(10+7)*4=(10*4)+(7*4).

Общий вид этого правила будет выглядеть следующим образом:

П.2.: теоретическая основа приёма – письменное умножение на двух- и трёхзначное число.

Правило 2 звучит так: при умножении числа на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить.

 

Общий вид этого правила будет выглядеть следующим образом:

Например, 7* (2+5)= (7*2)+(7*5)= 14+35= 49

Правило деления суммы на число звучит так: чтобы поделить сумму на число, можно каждое слагаемое поделить на это число и полученные частные сложить.

Общий вид этого правила будет выглядеть следующим образом:

Например: (64+32):8= 64:8 + 32:8= 8 + 4= 12

 

Рассмотрим страницы учебников по различным программам, где вводятся эти свойства и правила:

Программа Моро:

М3Мч.2 стр.6

М3Мч.2 стр.13

М4Мч.2 стр.42

по программе Моро детей сначала знакомят с правилом умножения суммы на число, в 3 же классе, спустя несколько уроков вводят правило деления суммы на число, и только в 4 классе вводится правило умножения числа на сумму. При знакомстве со всеми этими приёмами автор учебника использует рисунки с кругами и выделяет 2 способа нахождения выражения.

 

 

Программа Аргинской:

М3Ач.1 стр.104                                         
М3А ч.1 стр.122

  по программе Аргинской правила умножения и деления суммы на число вводятся в 3 классе. При введении 1-го правила, детям предлагается самостоятельно прийти к выводу, разобрав несколько выражений, и только потом автор дает правило. Также Аргинская даёт буквенную запись данного правила. 2-ое правило, опирающееся на распределительное свойство умножения относительно сложения, в учебнике не выводится, но задания на него присутствуют.
Правило деления суммы на число детям также предлагается вывести самостоятельно и сравнить его с предложенной формулировкой, данной автором. Буквенную запись правила дети должны вывести сами.

 

Программа Истоминой:

М3И ч.2 стр.12

 
М3И ч.2 стр.26

 

М4И ч.1 стр.58

 

по программе Истоминой правила умножения и деления суммы на число вводятся в 3 классе. Для 1-го правила Истомина использует рисунки с квадратами и кругами. Оба правила вводятся через решение упражнений.
Правило умножения числа на сумму представлено в 4 классе, сначала учащимся также предлагается выполнить задание на это правило, а затем объяснение дается через слова Маши и Миши.

 

Программа Чекина:

  

М3Ч ч.1 стр.77                                     М3Ч ч.2 стр.16                                        

М3Ч ч.2 стр.44                          

по программе Чекина оба правила на распределительное свойство умножения относительно сложения даются в 3 классе. Автор сначала предлагает детям задание, где подробно разбираются данные правила, а затем выводит сами формулировки правил. После этого учащимся предлагаются задания на эту тему.
Правило деления суммы на число выводится по тому же принципу, Чекин сразу дает установку на его запоминание.

 

По всем программам, за исключением Чекина, правила умножения и деления суммы на число вводятся в 3 классе. А правило умножения числа на сумму в 4. Такой разрыв во времени объясняется тем, что эти правила являются теоретической основой различных вычислительных приёмов. 

 

С какими вычислительными приемами знакомятся учащиеся в теме «Внетабличное умножение и деление». Какова их теоретическая основа. Сравните различные методические подходы к изучению данной темы, предложенные в различных учебниках математики для начальных классов.

Кроме табличных случаев умножения и деления учащихся знакомят с внетабличными случаями, т. е. такими которые не входят в таблицу умножения и деления. Рассмотрим каким образом их изучают по программе М.И.Моро и др.:

1. Умножение и деление круглого числа на однозначное          

М3М, ч.2, стр. 4

 

20∙3 =
2дес∙3 = 6 дес

20∙3=60

Теоретическая основа:

1) Соотношение между разрядными единицами (1дес. = 10 ед);

2) Таблица умножения.

 

3∙20=         

3.20=20.3

20∙3=60

3∙20=60

Теоретическая основа:

1) Переместительное свойство умножения;

2) Приём умножения круглого числа на однозначное.        

  60:3=        

6дес.: 3 = 2 дес.

60:3=20

Теоретическая основа:

1) Соотношение между разрядными единицами;

2) Таблица умножения и соответствующие случаи деления.

 

Деление круглого числа на круглое

 

80:20=                 

20∙4=80

80:20=4

Теоретическая основа:

1) Связь между делимым, делителем и частным (если частное умножить на делитель, получим делимое);

2) Приём умножения круглого числа на однозначное .