Об оптовой закупке при неопределенности розничной продажи

Пример. Торговая фирма на каждый предстоящий день решает вопрос об объемах оптовой закупки скоропортящихся продуктов двух наименований.

По статистике наблюдений за местным рынком этих товаров при холодной и дождливой погоде на каждые 2 ед. товара А в среднем реализуется 3 ед. товара В, а при жаркой солнечной погоде товары реализуются в усредненной пропорции 5 ед. товара А к 1 ед. товара В.

       Оптовая цена товара А равна 40 руб., а оптовая цена товара В − 30 руб. Розничная цена товара А составляет 70 руб., а товара В − 60 руб.

       Товары, закупленные по оптовым ценам в расчете на холодную погоду с учетом известной пропорции на сумму 97750 руб., полностью удовлетворяют спрос на эти товары при холодной погоде. Аналогичное замечание верно для солнечной погоды.

        Ежедневные издержки на розничную реализацию продукции составляют 19000 руб.

        Остающийся в конце дня нереализованный товар фирма сдает на пищевую переработку по ценам на 75 % меньше оптовой.

       Администрацию интересует, в каких объемах следует сделать оптовые закупки этих товаров, чтобы максимизировать гарантированную в среднем прибыль фирмы в условиях полной неопределенности предстоящей погоды.

        Требуется:

1. Составить игровую математическую модель предложенной ситуации, рассчитав соответствующую платежную матрицу.

2. Указать оптимальную стратегию закупок фирмы, наиболее неблагоприятную для фирмы погоду и гарантированный максимум прибыли фирмы, найдя решение полученной матричной игры.

3. Какова будет ожидаемая прибыль фирмы при выборе рассчитанной оптимальной стратегии, если учесть информацию, что вероятность завтрашнего дождя равна 40 %? Какова будет новая оптимальная стратегия и новая ожидаемая прибыль фирмы при учете этой информации?

Составим платежную матрицу игры, описывающей предложенную в задаче ситуацию. Эта задача является примером так называемых «игр с природой». Торговая фирма выступает в качестве первого игрока. У нее есть две чистые стратегии: делать закупки, рассчитывая на холодную и дождливую погоду (первая стратегия) или на жаркую солнечную (вторая стратегия). Вторым игроком является природа. У нее также две чистые стратегии. Первая стратегия − установить холодную и дождливую погоду, вторая стратегия − установить жаркую солнечную погоду. Элементы платежной матрицы − это прибыль, которую будет получать фирма в той или иной ситуации. Прибыль рассчитывается как разница между выручкой фирмы от розничной реализации продукции и ежедневными затратами фирмы. Затраты в свою очередь есть сумма средств, направленных на оптовую закупку товаров, и издержек на розничную реализацию продукции.

Рассмотрим первую чистую стратегию фирмы. Пусть фирма планирует закупить товары А и В в количествах k_A и k_B соответственно. Предполагается, что завтра будет холодная погода. Исходя из статистических данных, на каждые 2 ед. товара А реализуется 3 ед. товара В. Следовательно, фирма должна закупить продукты таким образом, чтобы выполнялось соотношение на их количество. Это значит, что должно выполняться соотношение:

На закупки фирма предполагает тратить 97750 руб. ежедневно. Поэтому, исходя из оптовых цен продуктов, она может купить продукты в количествах, для которых выполнено:

Итак, для нахождения количеств закупаемых в расчете на холодную погоду продуктов, необходимо решить следующую систему уравнений:

Отсюда получаем: k_A = 1150 k_B = 1725, т.е. необходимо закупить 1150 ед. товара А и 1725 ед. товара В.

Пусть фирма применяет свою вторую чистую стратегию, т.е. делает покупки в расчете на солнечную погоду. Это значит, что фирма предполагает на каждые 5 ед. товара А продать 1 ед. товара В. Следовательно, для количеств k_A и k_B закупаемых товаров должно выполняться соотношение:

Учитывая оптовые цены товаров и планируемую сумму трат на их закупку, получаем систему уравнений:

Решение этой системы: k_A = 2125, k_B = 425. Итак, при второй своей чистой стратегии фирма должна закупить 2125 ед. товара А и 425 ед. товара В.

Теперь рассчитаем ожидаемую прибыль фирмы при различных погодных условиях. Может быть четыре ситуации:

1) фирма применяла свою первую чистую стратегию, т.е. делала закупки в расчете на холодную погоду и угадала;

2) фирма делала закупки в расчете на холодную погоду (применяла первую чистую стратегию), а погода была жаркой;

3) фирма применяла свою вторую чистую стратегию, т.е. делала закупки в расчете на жаркую погоду, а погода была холодной;

4) фирма применяла свою вторую чистую стратегию, т.е. делала закупки в расчете на жаркую погоду, и погода была действительно жаркой.

Рассмотрим отдельно каждую из этих ситуаций.

1) Фирма совершает покупки в расчете на холодную погоду, т.е. закупает 1150 ед. товара А и 1725 ед. товара В. При холодной погоде (т.е. первой чистой стратегии природы) продукты продаются в выбранном фирмой соотношении,

т. е. фирма продаст все продукты, которые закупила (т.е. товар А в количестве 1150 ед., а товар В в количестве 1725 ед.). Учитывая издержки, связанные с розничной продажей, прибыль П фирмы в данном случае равна:

П = 1150*70 + 1725*60 – 1150*40 – 1725*30 – 19000 = 67250 (руб.).

2) Фирма по-прежнему закупает 1150 ед. товара А и 1725 ед. товара В, рассчитывая на холодную погоду. При жаркой погоде товара А можно было бы продать 2125 ед., но фирма купила только 1150. Товара В фирма купила 1725 ед., но при жаркой погоде можно продать только 425 ед. Излишек товара В в количестве 1725 – 425 = 1300 ед. можно сдать на пищевую переработку по цене на 75 % меньше оптовой, т.е. по 0,25*30 = 7,5 (руб.). Итого, прибыль фирмы в данной ситуации равна

П = 1150*70 + 425*60 – 1150*40 – 1725*30 + 1300*7,5 – 19000 = – 1000 (руб.).

Заметим, что отрицательная прибыль фирмы означает, что фирма несет убытки, если не угадала погоду на завтра.

3) Фирма применяет свою вторую чистую стратегию, т.е. закупает 2125 ед. товара А и 425 ед. товара В, рассчитывая на жаркую погоду. Если в действительности погода оказалась холодной, то фирма сможет продать только 1150 ед. товара А. Остаток в 2125 – 1150 = 975 ед. можно будет сдать на пищевую переработку по цене на 75% меньше оптовой, т.е. по 0,25* 40 = 10 руб.

Товара В фирма сможет продать только 425 ед. вместо возможных 1725 ед. Итак, если фирма применит свою вторую чистую стратегию против первой стратегии природы, то прибыль ожидается равной

П = 1150*70 + 425*60 – 2125*40 – 425*30 + 975*10 – 19000 = – 1000 (руб.).

4) Фирма совершает покупки в расчете на жаркую погоду, т.е. закупает 2125 ед. товара А и 425 ед. товара В. Если погода угадана, то фирма продаст все продукты, которые закупила (т.е. товар А в количестве 2125 ед., а товар В в количестве 425 ед.). Данная ситуация соответствует второй чистой стратегии природы. Учитывая издержки, связанные с розничной продажей, прибыль П фирмы в данном случае равна:

П = 2125*70 + 425*60 – 2125*40 – 425*30 – 19000 = 57500 (руб.).

Таким образом, платежная матрица игры имеет вид:

Найдем решение полученной матричной игры графическим способом. Пусть вектор  − вектор смешанных стратегий фирмы, а  − вектор смешанных стратегий природы. Тогда платежная функция игры имеет вид:

                                 

Оптимальной смешанной стратегии фирмы на рисунке 8.2 соответствует точка K.

Применим к данной игре утверждение 1. Обе чистые стратегии природы являются активными. Обозначим оптимальную смешанную стратегию фирмы . Итак, пусть , . Тогда . Пусть , . Тогда . Приравняем эти значения к цене игры  и добавим уравнение , получим систему уравнений:

Решением этой системы будет .

Итак, оптимальная стратегия фирмы состоит в том, чтобы делать закупки, рассчитывая на завтрашний дождь в 46% случаев, а в 54% случаев − на солнечную погоду. Средняя ожидаемая выручка фирмы при этом должна составить 30500 руб. ежедневно.

       Снова применяя утверждение 1, составим систему для нахождения оптимальной смешанной стратегии природы.

Отсюда

Предположим, что вероятность завтрашнего дождя известна и составляет 40%. Тогда смешанная стратегия природы оказывается равной . Найдем ожидаемую прибыль фирмы с учетом этой информации, если применяется оптимальная смешанная стратегия фирмы. Подставим оптимальную смешанную стратегию фирмы и  в выражение для платежной функции игры:

 (руб.).

Заметим, что согласно теореме, ожидаемая прибыль фирмы должна была оказаться равной цене игры, т.е. 30500 руб. Отклонение рассчитанной величины от данного значения вызвано погрешностью вычисления оптимальной смешанной стратегии фирмы.

Найдем оптимальную стратегию фирмы на завтрашний день, если администрации известна вероятность завтрашнего дождя, равная 40%. Возможные стратегии фирмы на завтрашний день − это делать закупки в расчете либо на дождливую, либо на солнечную погоду. Смешанная стратегия природы равна .

Если фирма будет делать закупки в расчете на дождливую погоду, т.е. применять свою первую чистую стратегию , то ее ожидаемая выручка, составит:

(руб.).

Если фирма будет делать закупки в расчете на жаркую погоду, т.е. применять свою вторую чистую стратегию , то ее ожидаемая выручка составит:

(руб.).

Итак, поскольку , то оптимальной стратегией фирмы на следующий день является ее вторая чистая стратегия, т.е. выполнение закупок в количествах 2125 ед. товара А и 425 ед. товара В соответственно. При этом на следующий день ожидается прибыль, равная 34100 руб.

Исходную задачу можно представить еще одним способом в виде задачи линейного программирования. Разберем этот подход вначале в общем виде.

Пусть смешанная стратегия для первого игрока . Введем в рассмотрение новую переменную −нижняя цена игры. Тогда прямая задача линейного программирования имеет вид:

Пусть смешанная стратегия для второго игрока . Введем в рассмотрение новую переменную −верхняя цена игры. Тогда двойственная задача линейного программирования имеет вид:

Решение задачи линейного программирования даст цену игры

В примере платежная матрица игры имела вид:

Тогда соответствующая задача линейного программирования запишется

     

 

Возможным недостатком этого представления является тот факт, что большая размерность обеих переменных задачи не позволяет применить графический метод решения. Если же для решения применять приложение «поиск решения» из Microsoft Excel, то это представление наоборот более просто для понимания и в результате решения мы сразу получаем решение окончательной задачи.

 

Задания для самостоятельного решения:

1. Фирма располагает сетью из   магазинов. В инспекцию поступили сведения о том, что в этих магазинах продается бракованный товар, причем его объем в магазине  равен . Инспектирующий орган намерен провести инспекцию с целью обнаружения брака, так как эти магазины территориально разбросаны, инспекции может быть подвергнут только один из них. Фирма узнает о готовящейся инспекции и для того, чтобы обезопасить себя, решает изъять бракованный товар. По техническим причинам такое изъятие может быть проведено только в одном магазине. Какие действия инспектора и фирмы будут оптимальными?

2. Руководство универмага заказывает товар определенного вида. Известно, что спрос на товар данного вида лежит в пределах от 6 до 9 единиц. В случае, если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то имеется возможность срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше наличного количества товара, то нереализованный товар придется хранить на складе универмага. Требуется определить такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом были бы минимальными. Расходы на хранение единицы товара составляют 1 тыс. условных денежных единиц, а по срочному заказу и завозу – 2 тыс. условных единиц. Составьте платежную матрицу. Найдите оптимальные решения игроков.

3. Решить матричную игру с платежной матрицей .

4. Решить матричную игру с платежной матрицей .

5. Решить матричную игру с платежной матрицей .

6. Решить матричную игру с платежной матрицей .

7. Решить матричную игру с платежной матрицей .

8. Задана матричная игра платежной матрицей . Определить нижнюю и верхнюю цену игры. Сформулировать соответствующую задачу линейного программирования. Упростить матрицу игры и найти решение в смешанных стратегиях.

9. Задана матричная игра платежной матрицей . Определить нижнюю и верхнюю цену игры. Сформулировать соответствующую задачу линейного программирования. Упростить матрицу игры и найти решение в смешанных стратегиях.

10. Задана матричная игра платежной матрицей . Определить нижнюю и верхнюю цену игры. Сформулировать соответствующую задачу линейного программирования. Упростить матрицу игры и найти решение в смешанных стратегиях.

11. Две фирмы производят два конкурирующих товара, контролируя по 50% рынка. Если одна из фирм будет рекламировать свои товары, то другая потеряет определенный процент клиентов. Известно, что 50% получают информацию через телевидение, 30% - через газеты, остальные 20% - по радио. Какие средства рекламы следует выбрать фирмам? Задачу решить методами теории игр.

12. Прибыль сельскохозяйственного предприятия (млн руб.) от выращивания двух культур K и L в зависимости от состояний погоды представлены в таблице

	Засушливое лето	Нормальное лето	Дождливое лето
K	8	5	3
L	2	3	6

Определите оптимальный план посева культур.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение матричной игры.

2. Что такое смешанная стратегия?

3. Какие матричные игры можно решать графическим способом?

4. Какие игры называются играми с природой?

5. Какие стратегии называются чистыми, активными и оптимальными?

 

Список основной литературы

1. Шикин, Е.В., Чхартишвили, А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. Пособие.−2-е изд., испр.−М.: Дело, 2002.−440 с., с.65-79.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 575 с., с.412-497.

3. Осипов, А.Л. Математика: учеб. пособие для дистанц. обучения и самост. работы / А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич; СибАГС. - Новосибирск, 2005. - 276 с.- То же [Электронный ресурс]. – Доступ из Б-ки электрон. изданий / Сиб. ин-т упр. – филиал РАНХиГС. – Режим доступа: http://www.sapanet.ru, требуется авторизация (дата обращения: 19.03.2013). - Загл. c экрана.

4. Осипов, А.Л. Экономико-математические методы в управлении: учебно-методический комплекс для дистанционного обучения / А.Л. Осипов, Е.А. Рапоцевич. – Новосибирск: СибАГС, 2006. – 144 с.