Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2022-10-29 | 37 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть, в общем случае, лагранжиан зависит от переменных т.е. является функцией
(1.8)
где
Функция действия определяется через следующим образом:
(1.9)
При варьировании функции S (1.9) будем использовать граничные условия
(1.10)
(1.11)
В этом случае вариацию функции действия можно привести к следующему виду
(1.12)
Таким образом, приравняв нулю (1.12) согласно принципу наименьшего действия, получим уравнение Лагранжа-Эйлера для непрерывной системы.
(1.13)
Например, используя лагранжиан (1.7) в уравнении (1.13) нетрудно убедиться, что
,
В результате получим уравнение
(1.14)
где (1.15)
- скорость распространения продольных колебаний.
Уравнение (1.14) описывает распространение продольных возмущений вдоль одномерной струны со скоростью v.
В случае, когда лагранжиан зависит от как функции 3-х переменных x,y,z и времени t
повторяя выше приведенное варьирование функции действия, а также, используя граничные условия и принцип наименьшего действия, получим
(1.16)
|
где
Если обобщенная координата непрерывной системы задается в виде компонент , то уравнение Лагранжа-Эйлера (1.16) записывается для каждой компоненты :
(1.17)
Тема 2. ЛАГРАНЖЕВ РЕЛЯТИВИСТСКИ-КОВАРИАНТНЫЙ ФОРМАЛИЗМ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ.
1. Пространство Минковского и релятивистское обобщение метода Лагранжа.
2. Требования, предъявляемые к лагранжиану поля.
3. Тензор энергии-импульса непрерывной системы.
4. Плотность тока вероятности непрерывной системы.
Пространство Минковского и релятивистское обобщение метода Лагранжа.
Как следует из общих принципов специальной теории относительности и преобразований Лоренца при построении ковариантного описания непрерывной системы удобно объединить пространственные координаты и время в одно четырехмерное многообразие. Четырехмерный вектор определяется компонентами
В этом случае квадрат 4-х- вектора будет определяться следующим образом
(2.1)
где µ пробегает значения 1, 2, 3, 4.
Согласно принципам теории относительности квадрат длинны четырех- мерного вектора (2.1) является инвариантом относительно преобразований Лоренца
(2.2)
Из требования инвариантности (2.2) следует условие ортогональности преобразований Лоренца, т.е. если
(2.3)
то матричные элемент удовлетворяют условию
(2.4)
где - символ Кронекера.
Частные преобразования Лоренца, когда выполняется переход в инерциальную систему отсчета, двигающуюся вдоль оси ОХ, имеют вид:
(2.5)
где ,
ν-скорость движения инерциальной системы отсчёта.
|
Нетрудно убедиться, что матрица вида (2.5) удовлетворяет условию ортогональности (2.4)
(2.6)
где - транспонированная матрица.
Требования, предъявляемые к лагранжиану поля.
В релятивистской теории поля уравнения движения должны иметь ковариантную форму относительно координат и времени . Лагранжев формализм является наиболее подходящим для релятивистского описания полей, соответствующих определенным элементарным частицам. Для этого будем считать, что функции непрерывных систем определяются в точке четырёхмерного пространства – времени Лагранжиан непрерывной системы, который зависит от полевой функции и четырёхмерных производных от этой функции, должен удовлетворять определённым требованиям. Эти требования следуют из основных принципов релятивистской теории и квантовой механики.
Во-первых, Лагранжиан должен быть релятивистки инвариантной величиной, следовательно, полевые функции должны реализовать представление преобразований Лоренца.
Во-вторых, Лагранжиан должен быть вещественной величиной, поскольку, как известно из формализма Лагранжа, физически измеряемые величины выражаются через Лагранжиан.
В зависимости от типа релятивистских уравнений непрерывных систем вводятся дополнительные ограничения, например, такие как требование линейности, локальности, требование, чтобы Лагранжиан зависел от производных не выше второго порядка и т.д.
Учитывая эти требования, уравнения Лагранжа-Эйлера в релятивистской формулировке можно получить, используя принцип наименьшего действия в четырёхмерном пространстве – времени. Уравнения, которые следуют из вариационного принципа в релятивистской формулировке, совпадают с уравнениями (1.17), если в (1.17) перейти к четырехмерной форме.
(2.7)
где
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!