Общая характеристика курса. Классификация сигналов и цепей.

Общая характеристика курса. Классификация сигналов и цепей.

                

Целью курса является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигнала, их передачи, приемом, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях.

 

Сигналы:

Детерминированные – мгновенное значение можно предсказать с вероятностью =1

Случайный - мгновенное значение заранее неизвестно, вероятность <1

Идеальный сигнал – существует в течение конечного промежутка времени

 

Сигналы

 

                       Детерминированные              радиоимпульсы    случайные

                                                       Видеоимпульсы

                                                                         Полезные       Помехи, шумы

ЦЕПИ

                                                  Линейные                               Нелинейные

                      

                           Const пар-ры Переменные пар-ры

                                                                                                          

 

                                                                                              Цепи с распределенными параметрами

                                

                                         Цепи с сосредоточенными

                                                       Параметрами

Линейные цепи:

1) Цепь линейна, если ее элементы не зависят от внешнего воздействия на цепь

2)Суперпозиция: L-оператор, характеризующий реакцию на сигнал

Нелинейные цепи:

1) Нет суперпозиции

2)Нелинейная цепь преобразует спектр входного сигнала таким образом, что при действии гармонического сигнала на входе, на выходе кроме колебаний основной частоты, возникают гармоники с частотами, кратными основной

 

Характеристика детерминированных сигналов. Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний. Понятие спектра.

Для упрощения анализа реальные сигналы идеализируют:

1) Вместо случайных рассматривают детерминированные

2) Несмотря на то, что на практике сигналы всегда ограничены в точке времени, рассматривают сигналы, заданные на (0; + ) (- ; + )

Все сигналы вещественны, однако для расширения описания используют понятие комплексного сигнала:

, где  - мощность, а  - напряжение или ток

Э= = ;

= = =

Для теории сигналов и их анализа важное значение имеет разложение заданного сигнала

Система ортогональная, если , m n

[a;b] – интервал ортогональности.

Условие ортогональности: =  – норма функции, если =1 – ортонормированная

 

f(x)= – обобщенный ряд Фурье по заданной системе ортогональных функции

=

Спектр – совокупность коэффициентов . Полностью определяет сигнал.

Ряд Фурье при заданной системе  и фиксированном числе слагаемых ряда обеспечивает наилучшую аппроксимацию сигнала

Соотношение между спектром одиночного импульса и периодической последовательностью импульсов.

При периоде Т интервал между любыми двумя соседними гармониками равен 1/Т.

Коэффициент n-й гармоники:

Где w₁= /T;

Спектральная плотность одиночного импульса на той же частоте будет

Огибающая линейчатого спектра:

Комплексная амплитуда n-й гармоники

Таким образом модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

7. Свойства преобразования Фурье.

Сдвиг сигнала во времени

           Пусть сигнал s₁(t) произвольной формы обладает спектральной плотностью S₁(W). При задержке этого сигнала на время t₀ получим новую функцию времени s₂(t)=s₁(t-t₀). Спектральная плотность сигнала s₂(t) будет , где .

           Любому сигналу соответствует своя спектральная плотность. Сдвиг сигнала по оси времени приводит к изменению его фазы, а модуль этого сигнала не зависит от положения сигнала на оси времени.

Изменение масштаба времени

           Пусть сигнал s₁(t) подвергается сжатию во времени. Новый сигнал s₂(t) связан с исходным соотношением .

           Длительность импульса s₂(t) в n раз меньше, чем исходного. Спектральная плотность сжатого импульса. Получим .

           При сжатии сигнала в n раз во столько же раз расширяется его спектр. Модуль спектральной плотности при этом уменьшатся в n раз. При растяжении сигнала во времени имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

Смещение спектра колебаний

           Домножая сигнал s(t) на гармонический сигнал cos(w₀t+q₀). Получаем

Таким образом умножение функции s(t) на гармоническое колебание приводит к расщеплению спектра на 2 части, смещенные на ±w₀.

Сложение сигналов

При сложении сигналов s₁(t) и s₂(t) обладающих спектрами S₁(W) и S₂(W) суммарному сигналу s₁(t)+s₂(t) соответствует спектр S₁(W)+S₂(W) (т. к. преобразование Фурье является линейной операцией).

Произведение двух сигналов

           Пусть . Такому сигналу соответствует спектр

Представим функции в виде интегралов Фурье .

Получим .

Т. е. спектр произведения двух функций времени равен свертке их спектров (с коэффициентом 1/2p).

Если , то спектр сигнала будет .

Прямоугольный импульс

Определяется выражением

 

Экспоненциальный импульс

           Сигнал вида , c>0.

Спектр сигнала находится следующим образом

Запишем сигнал в другой форме .

           Если , то . Это означает, что мы получим единичный скачек. При получаем следующее выражение для спектра сигнала .

 

Отсюда модуль

,

а фаза

1.  Длительность сигнала и ширина спектра. Спектры некоторых неинтегрируемых импульсов.

Чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов. По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную длительность сигнала Тэф можно определить выражением

Где середнина импульса t₀ определяется из условия:

Аналогично эффективная ширина спектра определяется выражением:

Так как модуль спектра S(w) не зависит от смещения s(t) во времени, можно положить

 t₀ = 0. Наконец, сигнал s(t) можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась единице и, следовательно

Нужно иметь в виду, что Тэф и Ωэф являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от t = t₀ и w = 0. Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять 2Tэф, а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) —

величине 2Ωэф.

Произведение ТэфΩэф зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2.

Условие применимости преобразований фурье заключается в абсолютной интегрируемости сигнала  Это условие ограничивает класс сигналов, для которых можно применять преобразование Фурье непосредственно. Пример – гармонические колебания, единичный скачок и другие.

10. Представление сигналов на плоскости комплексной частоты. Преобразование лапласа.

 

Спектр радиоимпульса с ЛЧМ.

Заполнением

, где

, где ,

 — основной параметр линейно-частоно модулированного сигнала (ЛЧМ) или база сигнала ЛЧМ.

. b может быть и положительной и отрицательной.

           Предположим, что b>0

Спектр сигнала представляет собой 2 компоненты:

           1 — всплеск около частоты w_о;

           2 — всплеск около частоты -w_о.

При определении спектральной плотности  в области положительных частот второе слагаемое можно отбросить.

 

           Чем больше m, тем ближе форма спектра к прямоугольной с шириной спектра . Зависимость фазы является квадратичной.

           При m стремящемся к большим значениям форма АЧХ стремится к прямоугольной, а фаза состоит из двух частей:

1). дает параболу

2). стремится к

18. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала. Преобразование Гильберта.

Сигнал называется узкополосным, если его спектральные составляющие сосредоточены в относительно узкой полосе относительно опорной частоты сигнала .

 - огибающая;  - полная фаза.

Чтобы общее описание УПС соответствовало любому частному случаю необходимо ввести дополнительные условия на  и . Таким условием является представление  и  с помощью соотношений:

 - конкретизирующая новая функция, сопряженная с исходным сигналом по Гилберту:

Свойства преобразования:

1) В точках, где  : .

2) В точках, где  и : огибающая и сигнал имеют общие касательные.

3) В точках, где : функция a(t) -> max.

Для гармонического сигнала огибающая - прямая, касательная к точкам максимума исходного сигнала.

Аналитический сигнал

- аналитический сигнал соответствующий реальному сигналу .

 - комплексная огибающая УПС сигнала.

Свойства аналитического сигнала:

1) Имеет спектральную составляющую только при положительных частотах:

2) квадрат огибающей исходного вещественного сигнала.

3)Спектральная плотность комплексной огибающей  совпадает со смещенной влево на величину  спектральной плотностью аналитического сигнала .

4) Корреляционная функция аналитического сигнала.

т.к. корреляционная функция не зависит от фазовой характеристики, а зависит только от модуля спектральной плотности, то:

Учитывая, что

Полученный интеграл - корреляционная функция комплексной огибающей .

При  энергия сигнала

Случайного процесса

           Спектральная плотность сигнала может быть определена только для постоянного процесса. Для случайного процесса это невозможно поэтому используют спектральную плотность мощности.

           Пусть имеется k-ая реализация случайного процесса Х_К(t). Ограничим ее отрезком времени Т. Теперь это усеченная k-ая реализация Х_КТ(t). Найдем спектральную плотность Х_КТ(w) для Х_КТ(t). Отсюда энергия на рассматриваемом участке по равенству Парсеваля:

Получим среднюю мощность реализации на отрезке Т поделив выражение на Т:

При увеличении Т энергия возрастает, но отношение Э_КТ / Т остается постоянным.

Отсюда  –– спектральная плотность мощности. Это предел спектральной плотности усеченной реализации деленной на время Т. Это запись для эргодического процесса.

–– среднее значение квадрата процесса.

Если , то .

 

Теорема Винера – Хинчина

           Это есть соотношение между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса.

Это прямое и обратное преобразование Фурье, соответственно.

При

чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.

Схемы автогенераторов

Трансформаторная обратная связь            Униполярный генератор

 

 

Биполярный генератор: Цель r и C (автосмещение) – позволяет поддерживать рабочую точку на минимальном участке ВАХ                  

 

 

Кондуктивная обратная связь

(индуктивная 3х точка): Трансформатор подключен к 3м точкам контура по высокой частоте

Емкостная обратная связь

 

Возникновение колебаний

I-возникновение(нарастание) колебаний. Усилительный элемент работает в минимальном режиме.Рабочая точка на линейном участке и выходной ток:

II-переходный режим. Сказываются нелинейные свойства активного элемента.Выходной ток аппроксимируется степенным полиномом вида:

III- стационарный режим (установившихся колебаний). Амплитуда, частота и фаза стабилизируются

Уравнение Ван дер Поля описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем

Подробнее (Гоноровский стр. 387 (но там сложна)

 

Общая характеристика курса. Классификация сигналов и цепей.

                

Целью курса является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигнала, их передачи, приемом, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях.

 

Сигналы:

Детерминированные – мгновенное значение можно предсказать с вероятностью =1

Случайный - мгновенное значение заранее неизвестно, вероятность <1

Идеальный сигнал – существует в течение конечного промежутка времени

 

Сигналы

 

                       Детерминированные              радиоимпульсы    случайные

                                                       Видеоимпульсы

                                                                         Полезные       Помехи, шумы

ЦЕПИ

                                                  Линейные                               Нелинейные

                      

                           Const пар-ры Переменные пар-ры

                                                                                                          

 

                                                                                              Цепи с распределенными параметрами

                                

                                         Цепи с сосредоточенными

                                                       Параметрами

Линейные цепи:

1) Цепь линейна, если ее элементы не зависят от внешнего воздействия на цепь

2)Суперпозиция: L-оператор, характеризующий реакцию на сигнал

Нелинейные цепи:

1) Нет суперпозиции

2)Нелинейная цепь преобразует спектр входного сигнала таким образом, что при действии гармонического сигнала на входе, на выходе кроме колебаний основной частоты, возникают гармоники с частотами, кратными основной