Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2022-10-27 | 89 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Решите уравнение
2. Найдите все целые числа , для которых делится на .
3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 15 минут?
4. Пароход прошёл 4 км против течения реки и затем ещё 33 км по течению, затратив на всё 1 час. Скорость течения реки 6,5 км/ час. Найдите скорость парохода в стоячей воде.
5. В кучке 2012 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?
Районная олимпиада 2012 9 класс
1. Может ли число делиться на 25 при каком-нибудь натуральном числе ?
2. На острове живут рыцари, которые говорят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?
3. В школе все учащиеся сидят за партами по двое. У 60% мальчиков сосед по парте тоже мальчик. У 20% девочек сосед по парте тоже девочка. Сколько процентов учащихся в этой школе составляют девочки.
4. Какое число надо вычесть из числителя дроби и прибавить к знаменателю, чтобы получить ?
5. В окружность данного радиуса R впишите трапецию с данным диаметром наибольшей площади.
Класс Районная олимпиада 2012
1. Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями.
2. В теннисном турнире принимают участие 12 участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными 6 игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.
|
3. На сторонах и треугольника взяты точки , , соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники , и , равны между собой. Докажите, что периметры треугольников и равны.
4. Может ли сумма 2012 последовательных натуральных чисел быть 2012-ой степенью натурального числа?
5. Решите систему
Класс Районная олимпиада 2012
1. Если простое число, где натуральное число, то существует неотрицательное целое число такое, что
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
3. Выпуклый четырёхугольник , у которого , вписан в окружность. Зная длину и угол , вычислите его площадь.
4. У фальшивомонетчика в кошельке 40 внешне одинаковых монет, среди которых две фальшивые. Он знает, что фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих. Одинаково весят и все настоящие монеты. Фальшивомонетчик должен вернуть долг своему другу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь ему отобрать 20 настоящих монет?
5. Решите систему
Решения
8.1. Решите уравнение
♦ Так как то Ответ. 1.
8.2. Найдите все целые числа , для которых делится на
♦ Так как то если делится на то 2 делится на . Приравнивая к делителям числа 2, получим, что в целых числах имеет корни только одно уравнение Ответ. 0; 1.
8.3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 15 минут?
♦ Запустим оба песочных часов. Через 7 минут начинаем отсчёт времени. Через 4 минуты перевернём вторые часы. Через 11 минут песок в них перетечёт вниз. 4 +11 = 15.
8.4. Пароход прошёл 4 км против течения реки и затем ещё 33 км по течению, затратив на всё 1 час. Скорость течения реки 6,5 км/ час. Найдите скорость парохода в стоячей воде.
♦ Если скорость парохода, то Ответ. км/ час.
8.5. 8.5. В кучке 2014 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?
|
♦ Ответ. Выигрывает начинающий. Тактика основана на том, что число 2012 делится на 4. Начинающий первым ходом берёт 2 камешка. Если второй взял один камешек, то он берёт 3. Если второй взял 2 камешка, то он берёт 2. Если второй взял 3 камешка, то он берёт 1. Настанет момент, когда второму камешек не достанется, а значит он проиграл.
9.1. Может ли число делиться на 25 при каком-нибудь натуральном числе ?
♦ Если , то не делится на 5 и тем более на 25.
Если , то делится на 5, но не делится на 25.
Если , то не делится на 5 и тем более на 25.
Если , то не делится на 5 и тем более на 25.
Если , то не делится на 5 и тем более на 25.
Ответ. При любом натуральном числе число не делится на 25.
9.2. На острове живут рыцари, которые говорят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?
♦ Ответ. Один. Если встретились 3 лжеца, то оба ответа: «Ни одного». Если встретились 3 рыцаря, то оба ответа: «Два». Если встретились рыцарь и 2 лжеца, то оба ответа: «Ни одного». Если встретились 2 рыцаря и лжец, то оба ответа соответствуют факту.
9.3. В школе все учащиеся сидят за партами по двое. У 60% мальчиков сосед по парте тоже мальчик. У 20% девочек сосед по парте тоже девочка. Сколько процентов учащихся в этой школе составляют девочки.
♦ Ответ. Мальчиков сидят с девочками 100% – 89% = 40% от числа мальчиков Девочек с мальчиками 100% – 20% = 80% от числа девочек Числа и равны, отсюда Мальчиков в 2 раза больше. Девочки составляют одну треть от общего числа учащихся.
9.4. Какое число надо вычесть из числителя дроби и прибавить к знаменателю, чтобы получить ?
♦ Ответ. 437. По условию сумма 1000 числителя и знаменателя не изменится. Чтобы получить надо отнять от числителя 437 и соответственно прибавить к знаменателю.
9.5. В окружность данного радиуса R впишите трапецию с данным диаметром наибольшей площади.
♦ А н а л и з. Пусть трапеция удовлетворяет условию задачи, На прямой за точкой возьмём точку для которой Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобокая; и треугольник равнобедренный и площади треугольника и трапеции равны. Нетрудно доказать, что площадь треугольника наибольшая, если угол прямой. Поэтому
|
П о с т р о е н и е. Строим хорду На окружности берём точку для которой На окружности берём точку для которой и параллельны. Четырёхугольник искомая трапеция.
10.1. Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями.
♦ Если прямая при этом проходит и через вершины, то площадь каждой из частей составляет половину площади шестиугольника. Если прямая не проходит через вершины, то вместе с диагональю она отсекает от обеих частей равные треугольники. Следовательно, обе части разрезаются на соответственно равные фигуры, а значит площади частей равны.
10.2. В теннисном турнире принимают участие 12 участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными 6 игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.
♦ Ответ. . Перенумеруем игроков. Количество способов выбрать пару для первого игрока 11. Если пара с участием первого игрока выбрана, скажем, первый и второй, то для третьего игрока выбрать пару уже существует 9 способов и т. д. Надо разобраться теперь с тем, что числа 11, 9, 7, 5, 3 надо перемножать.
10.3. На сторонах и треугольника взяты точки , , соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники , и , равны между собой. Докажите, что периметры треугольников и равны.
♦ Обозначим через и – точки касания первых двух окружностей с , через – точки касания этих окружностей с и соответственно, через и периметры треугольников и . Тогда , т. е. Сложив эти равенства, получим
10.4. Может ли сумма 2012 последовательных натуральных чисел быть 2012-ой степенью натурального числа?
♦ Ответ. Нет. Если то Отсюда, В равенстве левая часть делится на небольшую степень 2, а правая на существенно большую. Противоречие.
10.5. Решите систему
♦ Преобразуем систему
|
После перемножения уравнений системы получим , откуда Ответ.
11.1. Если простое число, где натуральное число, то существует неотрицательное целое число такое, что
♦ Предположим, что это не так. Если не является степенью двойки, то у этого числа есть нечётные делители, отличные от 1. В общем виде такое число представимо в виде Тогда Оба сомножителя отличны от 1, что означает, что число составное, а по условию оно простое. Противоречие. Наше предположение неверно. У числа нет нечётных делителей, отличных от 1. А таким свойством обладают только натуральные степени двойки.
Замечание. Задача входит в базу ЕГЭ. Для решения этой и некоторых других задач ЕГЭ надо заметить, что и увидеть продолжение этого ряда формул для нечётных показателей.
11.2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
♦ Можно применить метод введения дополнительного угла. Если то Из неравенств следует, что
Ответ. наименьшее значение, наибольшее.
11.3. Выпуклый четырёхугольник , у которого , вписан в окружность. Зная длину и угол , вычислите
♦ На прямой за точкой сделаем засечку , для которой Тогда по двум сторонам и углу между ними Другими словами. получается поворотом треугольника вокруг точки по часовой стрелке на угол . Поэтому площади четырёхугольника и треугольника равны. Ответ.
11.4. У фальшивомонетчика в кошельке 40 внешне одинаковых монет, среди которых две фальшивые. Он знает, что фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих. Одинаково весят и все настоящие монеты. Фальшивомонетчик должен вернуть долг своему другу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь ему отобрать 20 настоящих монет?
♦ Образуем 4 кучки по 10 монет. Положим на чаши монеты первой и второй кучек. Если чаши уравновесятся, то либо все взятые монеты настоящие, либо в каждой из первой и второй чаш по одной фальшивой монете. Во втором взвешивании положим на чаши весов монеты второй и третьей кучек. Если чаши уравновесятся, то в них все монеты настоящие и он нашёл 20 настоящих монет. Если нет, то в третьей и четвёртой кучках все монеты настоящие, а в первой и второй чаше по одной фальшивой.
11.5. Решите систему
♦ Сложив уравнения, получим Откуда, или Осталось решить две системы
и
Ответ.
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!