Класс   Городская олимпиада 2012

1. Может ли число  делиться на 49 при каком-нибудь натуральном числе ?

2. Двое играют в следующую игру. Имеются две кучки спичек. Один игрок выбрасывает какую-нибудь кучку, а оставшуюся разбивает на две. Следующий игрок поступает аналогично. И т. д. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход из-за того, что в каждой кучке останется по одной спичке. Кто проиграет при правильной игре: начинающий игру или его партнёр, если вначале в кучках было 100 и 111 спичек?

3. Из 40 т руды выплавлено 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Какой процент примесей в руде?

4. Освободитесь от радикалов в знаменателе дроби

5. В окружность радиуса R впишите трапецию наибольшей площади с углом  при основании

Класс  Городская олимпиада 2012

1. Дан правильный шестиугольник и точка в его плоскости. Проведите прямую линию через данную точку, которая разделит данный шестиугольник на две части равной площади.

2. В теннисном турнире принимают участие  участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными  игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.

3. На сторонах  и  треугольника  взяты точки , ,  соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники ,  и , равны между собой. Докажите, что площади треугольников  и  равны.

4. Может ли сумма 2014 последовательных натуральных чисел быть 2014-ой степенью натурального числа?

5. Решите систему

 

Класс  Городская олимпиада 17 ноября 2012

Збань и Евсюков по 35 баллов – победители

Дьякова из 23 сш 31 балл, Шунтов из технического 30 баллов, Ключиков из 23 сш 28 баллов – призёры

1. Для простого числа  докажите, что  делится на 72.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

3. Выпуклый четырёхугольник , у которого , вписан в окружность. Зная длину  и угол , вычислите

4. Монеты равного диаметра расположены по всему очень большому столу (бесконечная плоскость) так, что каждая монета касается шести других монет и прямые линии, соединяющие центры соприкасающихся монет, разбивают плоскость на равные равносторонние треугольники. Вычислите процент плоскости, покрытый монетами (кругами).

5. Решите систему

                                                     

 

Решения

8.1. Решите неравенство

♦ Так как корень из отрицательного числа не существует, то  Если  то неравенство выполняется. Пусть  Исходное неравенство равносильно такому  Но всегда число положительное, поэтому

Ответ.

8.2. Можно ли расставить по кругу натуральные числа от 1 до 10 так, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, делилась на 3?

♦ Ответ. Нет. Допустим, что удалось расставить. Пусть  располагается через одно число от 3 по часовой стрелке. Так как  делится на 3, то  делится на 3. Сдвигаясь по кругу мы получим 4 числа, делящихся на 3. В среди чисел от 1 до 10 на 3 делится только 3 числа. Противоречие.

8.3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 19 минут?

♦ Запустим оба песочных часов. Через 7 минут начинаем отсчёт времени. Первые часы переворачиваем. Через 4 минуты перевернём вторые часы, а первые положим горизонтально, чтобы они не отсчитывали время, т. е. чтобы они стояли. В низ в одно отсеке песка на 4 минуты, а в другом на 3. Через 11 минут песок вторых часов перетечёт вниз. 4 +11 = 15. Теперь включаем первые часы на 4 минуты. 4 +11 + 4 = 19

 

8.4. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку улитка сможет лишь через целое число шагов.

♦ Назовём движение на первом шаге горизонтальным. Тогда движение в перпендикулярном направлении логично назвать вертикальным. Для того, чтобы улитка вернулась в исходную точку, надо чтобы число горизонтальных перемещений слева направо было равно числу горизонтальных перемещений справа налево. Следовательно, общее число горизонтальных перемещений чётно. Аналогично доказывается, что общее число вертикальных перемещений чётно. Так как за каждым горизонтальным перемещением следует вертикальное, и наоборот, то общее число всех горизонтальных перемещений равно общему числу всех вертикальных перемещений. Таким образом, общее число всех перемещений равно сумме двух чётных чисел, а такая сумма делится на 4. А это означает, что в исходную точку улитка вернётся через целое число часов.

 

8.5. В кучке 2012 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?

♦ Ответ. Выигрывает партнёр начинающего. Тактика основана на том, что число 2012 делится на 4. Если начинающий взял один камешек, то второй игрок берёт 3. Если начинающий взял 2 камешка, то второй игрок берёт 2. Если начинающий взял 3 камешка, то второй берёт 1.  Если начинающий сделал ход, то у его партнёра всегда существует ответный. Настанет момент, когда после хода второго игрока камешки закончатся.

 

9.1. Может ли число  делиться на 49 при каком-нибудь натуральном числе ?

♦ Пусть делится на 49, тогда  и  должны делиться на 7 одновременно. Их разность  тоже должна делиться на 7. А это не так. Полученное противоречие говорит о том, что наше предположение неверно.

Ответ. При любом натуральном числе  число  не делится на 49.

9.2. Двое играют в следующую игру. Имеются две кучки спичек. Один игрок выбрасывает какую-нибудь кучку, а оставшуюся разбивает на две. Следующий игрок поступает аналогично. И т. д. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход из-за того, что в каждой кучке останется по одной спичке. Кто проиграет при правильной игре: начинающий игру или его партнёр, если вначале в кучках было 100 и 111 спичек?

♦ Ответ. Начинающий.Для выигрыша он на каждом его ходе выбрасывает кучку с нечётным числом спичек, а кучку, содержащую чётное число спичек делит на две кучки, каждая из которых содержит нечётное число спичек.

9.3. Из 40 т руды выплавлено 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Какой процент примесей в руде?

♦ Если примеси в руде составляют  частей, то вес чистого металла в 40 тоннах руды   Ответ. 53 %.

 

9.4. Освободитесь от радикалов в знаменателе дроби

 

 

♦ Воспользуемся формулами

9.5. В окружность радиуса R впишите трапецию наибольшей площади с углом  при основании.

♦ А н а л и з. Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобокая. Так как величина угла  задана, то диагонали трапеции имеют длину, не зависящую от выбора трапеции. Можно считать, что нам дана длина хорды . Пусть трапеция  удовлетворяет условию задачи,  На прямой  за точкой  возьмём точку  для которой ; тогда  треугольник  равнобедренный и площади треугольника  и трапеции  равны. Нетрудно доказать, что площадь треугольника  наибольшая, если угол  прямой. Поэтому

П о с т р о е н и е. Строим хорду  На окружности берём точку  для которой   На окружности берём точку  для которой  и  параллельны. Четырёхугольник  искомая трапеция.

10.1. Дан правильный шестиугольник и точка в его плоскости. Проведите прямую линию через данную точку, которая разделит данный шестиугольник на две части равной площади.

♦ Если прямая проходит через центр шестиугольника и через вершины, то площадь каждой из частей составляет половину площади шестиугольника. Если прямая проходит через центр, но не проходит через вершины, то вместе с диагональю она отсекает от обеих частей равные треугольники. Следовательно, обе части разрезаются на соответственно равные фигуры, а, значит, площади частей равны. Если прямая не проходит через центр, то площади частей не равны. Ответ. Надо провести прямую через данную точку и центр шестиугольника.

10.2. В теннисном турнире принимают участие  участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными  игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.

♦ Ответ. . Перенумеруем игроков. Количество способов выбрать пару для первого игрока . Если пара с участием первого игрока выбрана, скажем, первый и второй, то для третьего игрока выбрать пару уже существует  способов и т. д. Надо разобраться теперь с тем, что числа , , …, 7, 5, 3 перемножаем.

10.3. На сторонах  и  треугольника  взяты точки , ,  соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники ,  и , равны между собой. Докажите, что площади треугольников  и  равны.

♦ Обозначим через  и  – точки касания первых двух окружностей с , через  – точки касания этих окружностей с  и  соответственно, через  и  периметры треугольников  и . Тогда , т. е.  Сложив эти равенства, получим  Периметры треугольников  и  равны.

Пусть радиусы окружностей равны . Рассмотрим сумму площадей треугольников

Рассмотрим сумму площадей трапеций

Тогда

10.4. Может ли сумма 2014 последовательных натуральных чисел быть 2014-ой степенью натурального числа?

♦ Ответ. Может. Предположим, что  Тогда  Отсюда,  При  получим

10.5. Решите систему

♦ Сложив уравнения, получим  Откуда,  или

Ответ.

11.1. Для простого числа  докажите, что  делится на 72.

♦ Воспользуемся тем, что любое простое число  имеет вид

 делится на 72, так как делится на 12 в явном виде, большая скобка делится на 3, а одно из чисел  или  чётно.

11.2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

♦

 А теперь можно применить метод введения дополнительного угла. Ответ. наименьшее значение;

наибольшее значение;

11.3. Выпуклый четырёхугольник , у которого , вписан в окружность. Зная длину  и угол , вычислите

♦ На прямой  за точкой  сделаем засечку , для которой  Тогда  по двум сторонам и углу между ними   другими словами.  получается поворотом треугольника  вокруг точки  по часовой стрелке на угол . Отсюда, ,  С другой стороны,   Ответ.

11.4. Монеты равного диаметра расположены по всему очень большому столу (бесконечная плоскость) так, что каждая монета касается шести других монет и прямые линии, соединяющие центры соприкасающихся монет, разбивают плоскость на равные равносторонние треугольники. Вычислите процент плоскости, покрытый монетами (кругами).

♦ Ответ.

11.5. Решите систему

                                                     

♦ Ответ.