Класс  Городская олимпиада 2012

Класс  Городская олимпиада 2012

1. Решите неравенство

2. Можно ли расставить по кругу натуральные числа от 1 до 10 так, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, делилась на 3?

3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 19 минут?

4. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку улитка сможет лишь через целое число шагов.

5. В кучке 2012 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Класс   Городская олимпиада 2012

1. Может ли число  делиться на 49 при каком-нибудь натуральном числе ?

2. Двое играют в следующую игру. Имеются две кучки спичек. Один игрок выбрасывает какую-нибудь кучку, а оставшуюся разбивает на две. Следующий игрок поступает аналогично. И т. д. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход из-за того, что в каждой кучке останется по одной спичке. Кто проиграет при правильной игре: начинающий игру или его партнёр, если вначале в кучках было 100 и 111 спичек?

3. Из 40 т руды выплавлено 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Какой процент примесей в руде?

4. Освободитесь от радикалов в знаменателе дроби

5. В окружность радиуса R впишите трапецию наибольшей площади с углом  при основании

Класс  Городская олимпиада 2012

1. Дан правильный шестиугольник и точка в его плоскости. Проведите прямую линию через данную точку, которая разделит данный шестиугольник на две части равной площади.

2. В теннисном турнире принимают участие  участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными  игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.

3. На сторонах  и  треугольника  взяты точки , ,  соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники ,  и , равны между собой. Докажите, что площади треугольников  и  равны.

4. Может ли сумма 2014 последовательных натуральных чисел быть 2014-ой степенью натурального числа?

5. Решите систему

 

Решения

8.1. Решите неравенство

♦ Так как корень из отрицательного числа не существует, то  Если  то неравенство выполняется. Пусть  Исходное неравенство равносильно такому  Но всегда число положительное, поэтому

Ответ.

8.2. Можно ли расставить по кругу натуральные числа от 1 до 10 так, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, делилась на 3?

♦ Ответ. Нет. Допустим, что удалось расставить. Пусть  располагается через одно число от 3 по часовой стрелке. Так как  делится на 3, то  делится на 3. Сдвигаясь по кругу мы получим 4 числа, делящихся на 3. В среди чисел от 1 до 10 на 3 делится только 3 числа. Противоречие.

8.3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 19 минут?

♦ Запустим оба песочных часов. Через 7 минут начинаем отсчёт времени. Первые часы переворачиваем. Через 4 минуты перевернём вторые часы, а первые положим горизонтально, чтобы они не отсчитывали время, т. е. чтобы они стояли. В низ в одно отсеке песка на 4 минуты, а в другом на 3. Через 11 минут песок вторых часов перетечёт вниз. 4 +11 = 15. Теперь включаем первые часы на 4 минуты. 4 +11 + 4 = 19

 

8.4. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку улитка сможет лишь через целое число шагов.

♦ Назовём движение на первом шаге горизонтальным. Тогда движение в перпендикулярном направлении логично назвать вертикальным. Для того, чтобы улитка вернулась в исходную точку, надо чтобы число горизонтальных перемещений слева направо было равно числу горизонтальных перемещений справа налево. Следовательно, общее число горизонтальных перемещений чётно. Аналогично доказывается, что общее число вертикальных перемещений чётно. Так как за каждым горизонтальным перемещением следует вертикальное, и наоборот, то общее число всех горизонтальных перемещений равно общему числу всех вертикальных перемещений. Таким образом, общее число всех перемещений равно сумме двух чётных чисел, а такая сумма делится на 4. А это означает, что в исходную точку улитка вернётся через целое число часов.

 

8.5. В кучке 2012 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?

♦ Ответ. Выигрывает партнёр начинающего. Тактика основана на том, что число 2012 делится на 4. Если начинающий взял один камешек, то второй игрок берёт 3. Если начинающий взял 2 камешка, то второй игрок берёт 2. Если начинающий взял 3 камешка, то второй берёт 1.  Если начинающий сделал ход, то у его партнёра всегда существует ответный. Настанет момент, когда после хода второго игрока камешки закончатся.

 

9.1. Может ли число  делиться на 49 при каком-нибудь натуральном числе ?

♦ Пусть делится на 49, тогда  и  должны делиться на 7 одновременно. Их разность  тоже должна делиться на 7. А это не так. Полученное противоречие говорит о том, что наше предположение неверно.

Ответ. При любом натуральном числе  число  не делится на 49.

9.2. Двое играют в следующую игру. Имеются две кучки спичек. Один игрок выбрасывает какую-нибудь кучку, а оставшуюся разбивает на две. Следующий игрок поступает аналогично. И т. д. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход из-за того, что в каждой кучке останется по одной спичке. Кто проиграет при правильной игре: начинающий игру или его партнёр, если вначале в кучках было 100 и 111 спичек?

♦ Ответ. Начинающий.Для выигрыша он на каждом его ходе выбрасывает кучку с нечётным числом спичек, а кучку, содержащую чётное число спичек делит на две кучки, каждая из которых содержит нечётное число спичек.

9.3. Из 40 т руды выплавлено 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Какой процент примесей в руде?

♦ Если примеси в руде составляют  частей, то вес чистого металла в 40 тоннах руды   Ответ. 53 %.

 

9.4. Освободитесь от радикалов в знаменателе дроби

 

 

♦ Воспользуемся формулами

9.5. В окружность радиуса R впишите трапецию наибольшей площади с углом  при основании.

♦ А н а л и з. Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобокая. Так как величина угла  задана, то диагонали трапеции имеют длину, не зависящую от выбора трапеции. Можно считать, что нам дана длина хорды . Пусть трапеция  удовлетворяет условию задачи,  На прямой  за точкой  возьмём точку  для которой ; тогда  треугольник  равнобедренный и площади треугольника  и трапеции  равны. Нетрудно доказать, что площадь треугольника  наибольшая, если угол  прямой. Поэтому

П о с т р о е н и е. Строим хорду  На окружности берём точку  для которой   На окружности берём точку  для которой  и  параллельны. Четырёхугольник  искомая трапеция.

10.1. Дан правильный шестиугольник и точка в его плоскости. Проведите прямую линию через данную точку, которая разделит данный шестиугольник на две части равной площади.

♦ Если прямая проходит через центр шестиугольника и через вершины, то площадь каждой из частей составляет половину площади шестиугольника. Если прямая проходит через центр, но не проходит через вершины, то вместе с диагональю она отсекает от обеих частей равные треугольники. Следовательно, обе части разрезаются на соответственно равные фигуры, а, значит, площади частей равны. Если прямая не проходит через центр, то площади частей не равны. Ответ. Надо провести прямую через данную точку и центр шестиугольника.

10.2. В теннисном турнире принимают участие  участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными  игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.

♦ Ответ. . Перенумеруем игроков. Количество способов выбрать пару для первого игрока . Если пара с участием первого игрока выбрана, скажем, первый и второй, то для третьего игрока выбрать пару уже существует  способов и т. д. Надо разобраться теперь с тем, что числа , , …, 7, 5, 3 перемножаем.

10.3. На сторонах  и  треугольника  взяты точки , ,  соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники ,  и , равны между собой. Докажите, что площади треугольников  и  равны.

♦ Обозначим через  и  – точки касания первых двух окружностей с , через  – точки касания этих окружностей с  и  соответственно, через  и  периметры треугольников  и . Тогда , т. е.  Сложив эти равенства, получим  Периметры треугольников  и  равны.

Пусть радиусы окружностей равны . Рассмотрим сумму площадей треугольников

Рассмотрим сумму площадей трапеций

Тогда

10.4. Может ли сумма 2014 последовательных натуральных чисел быть 2014-ой степенью натурального числа?

♦ Ответ. Может. Предположим, что  Тогда  Отсюда,  При  получим

10.5. Решите систему

♦ Сложив уравнения, получим  Откуда,  или

Ответ.

11.1. Для простого числа  докажите, что  делится на 72.

♦ Воспользуемся тем, что любое простое число  имеет вид

 делится на 72, так как делится на 12 в явном виде, большая скобка делится на 3, а одно из чисел  или  чётно.

11.2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

♦

 А теперь можно применить метод введения дополнительного угла. Ответ. наименьшее значение;

наибольшее значение;

11.3. Выпуклый четырёхугольник , у которого , вписан в окружность. Зная длину  и угол , вычислите

♦ На прямой  за точкой  сделаем засечку , для которой  Тогда  по двум сторонам и углу между ними   другими словами.  получается поворотом треугольника  вокруг точки  по часовой стрелке на угол . Отсюда, ,  С другой стороны,   Ответ.

11.4. Монеты равного диаметра расположены по всему очень большому столу (бесконечная плоскость) так, что каждая монета касается шести других монет и прямые линии, соединяющие центры соприкасающихся монет, разбивают плоскость на равные равносторонние треугольники. Вычислите процент плоскости, покрытый монетами (кругами).

♦ Ответ.

11.5. Решите систему

                                                     

♦ Ответ.

 

Решения

 

8.1. Решите уравнение

♦  Так как  то   Ответ. 1.

8.2. Найдите все целые числа , для которых  делится на

♦ Так как  то если  делится на  то 2 делится на . Приравнивая  к делителям числа 2, получим, что в целых числах имеет корни только одно уравнение   Ответ. 0; 1.

8.3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 15 минут?

♦ Запустим оба песочных часов. Через 7 минут начинаем отсчёт времени. Через 4 минуты перевернём вторые часы. Через 11 минут песок в них перетечёт вниз. 4 +11 = 15.

 

8.4. Пароход прошёл 4 км против течения реки и затем ещё 33 км по течению, затратив на всё 1 час. Скорость течения реки 6,5 км/ час. Найдите скорость парохода в стоячей воде.

♦ Если скорость парохода, то   Ответ.  км/ час.

 

8.5. 8.5. В кучке 2014 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?

♦ Ответ. Выигрывает начинающий. Тактика основана на том, что число 2012 делится на 4. Начинающий первым ходом берёт 2 камешка. Если второй взял один камешек, то он берёт 3. Если второй взял 2 камешка, то он берёт 2. Если второй взял 3 камешка, то он берёт 1. Настанет момент, когда второму камешек не достанется, а значит он проиграл.

9.1. Может ли число  делиться на 25 при каком-нибудь натуральном числе ?

♦ Если , то  не делится на 5 и тем более на 25.

Если , то  делится на 5, но не делится на 25.

Если , то  не делится на 5 и тем более на 25.

Если , то  не делится на 5 и тем более на 25.

Если , то  не делится на 5 и тем более на 25.

Ответ. При любом натуральном числе  число  не делится на 25.

 

9.2. На острове живут рыцари, которые говорят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?

♦ Ответ. Один. Если встретились 3 лжеца, то оба ответа: «Ни одного». Если встретились 3 рыцаря, то оба ответа: «Два». Если встретились рыцарь и 2 лжеца, то оба ответа: «Ни одного». Если встретились 2 рыцаря и лжец, то оба ответа соответствуют факту.

 

 

9.3. В школе все учащиеся сидят за партами по двое. У 60% мальчиков сосед по парте тоже мальчик. У 20% девочек сосед по парте тоже девочка. Сколько процентов учащихся в этой школе составляют девочки.

♦ Ответ.  Мальчиков сидят с девочками 100% – 89% = 40% от числа мальчиков  Девочек с мальчиками 100% – 20% = 80% от числа девочек  Числа  и  равны, отсюда  Мальчиков в 2 раза больше. Девочки составляют одну треть от общего числа учащихся.

9.4. Какое число надо вычесть из числителя дроби  и прибавить к знаменателю, чтобы получить ?

♦ Ответ. 437. По условию сумма 1000 числителя и знаменателя не изменится. Чтобы получить  надо отнять от числителя 437 и соответственно прибавить к знаменателю.

 

9.5. В окружность данного радиуса R впишите трапецию с данным диаметром  наибольшей площади.

♦ А н а л и з. Пусть трапеция  удовлетворяет условию задачи,  На прямой  за точкой  возьмём точку  для которой  Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобокая;  и  треугольник  равнобедренный и площади треугольника  и трапеции  равны. Нетрудно доказать, что площадь треугольника  наибольшая, если угол  прямой. Поэтому

П о с т р о е н и е. Строим хорду  На окружности берём точку  для которой   На окружности берём точку  для которой  и  параллельны. Четырёхугольник  искомая трапеция.

10.1. Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями.

♦ Если прямая при этом проходит и через вершины, то площадь каждой из частей составляет половину площади шестиугольника. Если прямая не проходит через вершины, то вместе с диагональю она отсекает от обеих частей равные треугольники. Следовательно, обе части разрезаются на соответственно равные фигуры, а значит площади частей равны.

10.2. В теннисном турнире принимают участие 12 участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными 6 игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.

♦ Ответ. . Перенумеруем игроков. Количество способов выбрать пару для первого игрока 11. Если пара с участием первого игрока выбрана, скажем, первый и второй, то для третьего игрока выбрать пару уже существует 9 способов и т. д. Надо разобраться теперь с тем, что числа 11, 9, 7, 5, 3 надо перемножать.

 

10.3. На сторонах  и  треугольника  взяты точки , ,  соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники ,  и , равны между собой. Докажите, что периметры треугольников  и  равны.

♦ Обозначим через  и  – точки касания первых двух окружностей с , через  – точки касания этих окружностей с  и  соответственно, через  и  периметры треугольников  и . Тогда , т. е.  Сложив эти равенства, получим   

10.4. Может ли сумма 2012 последовательных натуральных чисел быть 2012-ой степенью натурального числа?

♦ Ответ. Нет. Если  то  Отсюда,   В равенстве  левая часть делится на небольшую степень 2, а правая на существенно большую. Противоречие.  

10.5. Решите систему

♦ Преобразуем систему

После перемножения уравнений системы получим , откуда   Ответ.

11.1. Если  простое число, где  натуральное число, то существует неотрицательное целое число  такое, что

♦ Предположим, что это не так. Если  не является степенью двойки, то у этого числа есть нечётные делители, отличные от 1. В общем виде такое число представимо в виде  Тогда  Оба сомножителя отличны от 1, что означает, что число  составное, а по условию оно простое. Противоречие. Наше предположение неверно. У числа нет нечётных делителей, отличных от 1. А таким свойством обладают только натуральные степени двойки.

       Замечание. Задача входит в базу ЕГЭ. Для решения этой и некоторых других задач ЕГЭ надо заметить, что  и увидеть продолжение этого ряда формул для нечётных показателей.

 

11.2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

♦ Можно применить метод введения дополнительного угла. Если  то  Из неравенств  следует, что

Ответ. наименьшее значение, наибольшее.

 

 

11.3. Выпуклый четырёхугольник , у которого , вписан в окружность. Зная длину  и угол , вычислите

♦ На прямой  за точкой  сделаем засечку , для которой  Тогда  по двум сторонам и углу между ними   Другими словами.  получается поворотом треугольника  вокруг точки  по часовой стрелке на угол . Поэтому площади четырёхугольника  и треугольника  равны. Ответ.

11.4. У фальшивомонетчика в кошельке 40 внешне одинаковых монет, среди которых две фальшивые. Он знает, что фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих. Одинаково весят и все настоящие монеты. Фальшивомонетчик должен вернуть долг своему другу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь ему отобрать 20 настоящих монет?

♦ Образуем 4 кучки по 10 монет. Положим на чаши монеты первой и второй кучек. Если чаши уравновесятся, то либо все взятые монеты настоящие, либо в каждой из первой и второй чаш по одной фальшивой монете. Во втором взвешивании положим на чаши весов монеты второй и третьей кучек. Если чаши уравновесятся, то в них все монеты настоящие и он нашёл 20 настоящих монет. Если нет, то в третьей и четвёртой кучках все монеты настоящие, а в первой и второй чаше по одной фальшивой.

11.5. Решите систему

                                         

♦ Сложив уравнения, получим  Откуда,  или  Осталось решить две системы

и

Ответ.

 

 

класс  Городская олимпиада 2012

1. Решите неравенство

2. Можно ли расставить по кругу натуральные числа от 1 до 10 так, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, делилась на 3?

3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 19 минут?

4. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку улитка сможет лишь через целое число шагов.

5. В кучке 2012 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?