Сложение и умножение двоичных чисел

Таблица сложения

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

+		1	1	1	0
			1	0	1
	1	0	0	1	1

 

Таблица умножения

х	0	1
0	0	0
1	0	1

 

Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

Х				1	1	1	0
					1	0	1
+				1	1	1	0
		1	1	1	0
	1	0	0	0	1	1	0

 

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	0	1
				+32	+16				+1

 

Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.

Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.

Преобразование методом Горнера

Метод Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+ 1 =1 >> 1*2+ 0 =2 >> 2*2+ 1 =5 >> 5*2+ 1 =11 >> 11*2+ 0 =22 >> 22*2+ 1 =45 >> 45*2+ 1 =91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+ 1 =1 >> 1*2+ 0 =2 >> 2*2+ 1 =5 >> 5*2+ 1 =11 >> 11*2+ 1 =23 >> 23*2+ 1 =47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:

19 /2 = 9 с остатком 1

9 /2 = 4 c остатком 1

4 /2 = 2 с остатком 0

2 /2 = 1 с остатком 0

1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в делимом не будет 0. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010.101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

·         Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;

·         Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;

·         В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;

·         Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

.116 • 2 = 0.232

.232 • 2 = 0.464

.464 • 2 = 0.928

.928 • 2 = 1.856

.856 • 2 = 1.712

.712 • 2 = 1.424

.424 • 2 = 0.848

.848 • 2 = 1.696

.696 • 2 = 1.392

.392 • 2 = 0.784

И т. д.

Получим: 206,116₁₀=11001110,0001110110₂

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

·         Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.

·         Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.

·         Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения \— основных действий над числами.

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7¹⁵/₁₆″, 3¹¹/₃₂″ и т. д.

 

Логические вентили.

Любой, самый примитивный компьютер – сложнейшее техническое устройство. Но даже такое сложное устройство, как и все в природе и в технике, состоит их простейших элементов. Любой компьютер, точнее, любой его электронный логический блок состоит из десятков и сотен тысяч так называемых вентилей (логических устройств, базовых логических схем), объединяемых по правилам и законам (аксиомам) алгебры вентилей в схемы, модули.

Логический вентиль (далее – просто вентиль) – это своего рода атом, из которого состоят электронные узлы ЭВМ. Он работает по принципу крана (отсюда и название), открывая или закрывая путь сигналам.

Логические схемы предназначены для реализации различных функций алгебры логики и реализуются с помощью трех базовых логических элементов (вентилей, логических схем или так называемых переключательных схем). Они воспроизводят функции полупроводниковых схем.

Работу вентильных, логических схем мы, как и принято, будем рассматривать в двоичной системе и на математическом, логическом уровне, не затрагивая технические аспекты (аспекты микроэлектроники, системотехники, хотя они и очень важны в технической информатике).

Логические функции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции реализуют, соответственно, логические схемы, называемые инвертором, дизъюнктором и конъюнктором.

Логическая функция "инверсия", или отрицание, реализуется логической схемой (вентилем), называемой инвертор.

Принцип его работы можно условно описать следующим образом: если, например, "0" или "ложь" отождествить с тем, что на вход этого устройства скачкообразно поступило напряжение в 0 вольт, то на выходе получается 1 или "истина", которую можно также отождествить с тем, что на выходе снимается напряжение в 1 вольт.

Аналогично, если предположить, что на входе инвертора будет напряжение в 1 вольт ("истина"), то на выходе инвертора будет сниматься 0 вольт, то есть "ложь" (схемы на рисунках 6.1 а, б).

 

Рис. 6.1. Принцип работы инвертора

Функцию отрицания можно условно отождествить с электрической схемой соединения в цепи с лампочкой (рис. 6.2), в которой замкнутая цепь соответствует 1 ("истина") или х = 1, а размыкание цепи соответствует 0 ("ложь") или х = 0.

 

Рис. 6.2. Электрический аналог схемы инвертора

Дизъюнкцию реализует логическое устройство (вентиль) называемое дизьюнктор (рис. 6.3 а, б, в):

Рис. 6.3a.

Рис. 6.3b.

 

Рис. 6.3c. Принцип работы дизъюнктора

Дизъюнктор условно изображается схематически электрической цепью вида (рис. 6.4)

Рис. 6.4. Электрический аналог схемы дизъюнктора

Конъюнкцию реализует логическая схема (вентиль), называемая конъюнктором (рис. 6.5 а, б, в):

Рис. 6.5a.

Рис. 6.5b.

Рис. 6.5c. Принцип работы конъюнктора

Конъюнктор можно условно изобразить схематически электрической цепью вида (рис. 6.6)

Рис. 6.6. Электрический аналог схемы конъюнктора

Схематически инвертор, дизъюнктор и конъюнктор на логических схемах различных устройств можно изображать условно следующим образом (рис. 6.7 а, б, в). Есть и другие общепринятые формы условных обозначений.

Рис. 6.7. а, б, в. Условные обозначения вентилей (вариант)

Пример. Транзисторные схемы, соответствующие логическим схемам (инвертор), (дизъюнктор), (конъюнктор) имеют, например, следующий вид (рис. 6.8 а, б, в):

Рис. 6.8a. Инвертор

Рис. 6.8b. Дизъюнктор

Рис. 6.8c. Конъюнктор

Из указанных простейших базовых логических элементов собирают, конструируют сложные логические схемы ЭВМ, например, сумматоры, шифраторы, дешифраторы и др. Большие (БИС) и сверхбольшие (СБИС) интегральные схемы содержат в своем составе (на кристалле кремния площадью в несколько квадратных сантиметров) десятки тысяч вентилей. Это возможно еще и потому, что базовый набор логических схем (инвертор, конъюнктор, дизъюнктор) является функционально полным (любую логическую функцию можно представить через эти базовые вентили), представление логических констант в них одинаково (одинаковы электрические сигналы, представляющие 1 и 0) и различные схемы можно "соединять" и "вкладывать" друг в друга (осуществлять композицию и суперпозицию схем).

Таким способом конструируются более сложные узлы ЭВМ – ячейки памяти, регистры, шифраторы, дешифраторы, а также сложнейшие интегральные схемы.

Пример. В двоичной системе таблицу суммирования цифры x и цифры y и получения цифры z с учетом переноса p в некотором разряде чисел x и y можно изобразить таблицей вида

xyzp

0000

0110

1010

1101

Эту таблицу можно интерпретировать как совместно изображаемую таблицу логических функций (предикатов) вида

 

Логический элемент, соответствующий этим функциям, называется одноразрядным сумматором и имеет следующую схему (обозначим ее как или – если мы хотим акцентировать именно выбранный, текущий i-й разряд) (рис. 6.9):

Рис. 6.9. Схема одноразрядного сумматора

Пример. "Черным ящиком" называется некоторое закрытое устройство (логическая, электрическая или иная схема), содержимое которого неизвестно и может быть определено (идентифицировано) только по отдельным проявлениям входа/выхода ящика (значениям входных и выходных сигналов). В "черном ящике" находится некоторая логическая схема, которая в ответ на некоторую последовательность входных (для ящика) логических констант выдает последовательность логических констант, получаемых после выполнения логической схемы внутри "черного ящика". Определим логическую функцию внутри "черного ящика" (рис. 6.10), если операции выполняются с логическими константами для входных последовательностей (поразрядно). Например, х = 00011101 соответствует последовательности поступающих значений: "ложь", "ложь", "ложь", "истина", "истина", "истина", "ложь", "истина".

 

Рис. 6.10. Схема "черного ящика 1"

Из анализа входных значений (входных сигналов) х, у и поразрядного сравнения логических констант в этих сообщениях с константами в значении z – результате выполнения функции в "черном ящике", видно, что подходит, например, функция вида

Действительно, в результате "поразрядного" сравнения сигналов (последовательностей значений "истина", "ложь") получаем следующие выражения (последовательности логических констант):

 

Пример. Попробуйте самостоятельно выписать функцию для "черного ящика"? указанного на рис. 6.11:

Рис. 6.11. Схема "черного ящика 2"

Важной задачей (технической информатики) является минимизация числа вентилей для реализации той или иной схемы (устройства), что необходимо для более рационального, эффективного воплощения этих схем, для большей производительности и меньшей стоимости ЭВМ.

Эту задачу решают с помощью методов теоретической информатики (методов булевой алгебры).

Пример. Построим схему для логической функции

Схема, построенная для этой логической функции, приведена на рис. 6.12.

Рис. 6.12.Схема для функции 1

Пример. Определим логическую функцию

, реализуемую логической схемой вида (рис. 6.13)

Рис. 6.13. Схема для функции 2

Искомая логическая функция, если выписать ее последовательно, заполняя "верх" каждой стрелки, будет иметь следующий вид: