Алмазный путь к фибрации Хопфа

Если в свежем российском обзоре, посвященном 3-мерным топологическим изоляторам (см. предыдущий эпизод), особая роль фибрации Хопфа по неведомым причинам оказалась полностью опущена, то в новейшей работе китайских исследователей именно эта тема занимает центральное место.

Опубликованная в мае 2017 на сайте arXiv.org [yh], статья подготовлена более чем десятком ученых, экспериментаторов и теоретиков, работающих в пекинском университете Цинхуа (этот факт имеет смысл отметить), а также в двух университетах США, Мичиганском и Мэрилендском. Название публикации на русский язык дословно переводится так: «Наблюдение топологических зацеплений, связываемых с изоляторами Хопфа, в твердотельном квантовом симуляторе». И рассказывает статья, в популярном пересказе, вот о чем.

Как известно, чудо-материалы XXI века под названием топологические изоляторы были сначала предсказаны теоретически, а вскоре за этим стали быстро обнаруживаться экспериментально в результате целенаправленных опытов с веществами особой атомно-молекулярной структуры. И хотя наука наша по сию пору так и не понимает, что представляет собой время, это совершенно не мешает теоретикам «объяснять», что топологические изоляторы – это такие весьма специфические материалы, которые вообще говоря ток не пропускают, однако на своей поверхности имеют особые проводящие состояния, топологически защищенные симметриями обращения времени.

Формальная суть этой симметрии, поясняя попроще, заключается в том, что если в уравнениях, описывающих систему, поменять ход времени на противоположный, то никакой принципиальной разницы в системе не появится. Практически все уравнения физики, как классической, так и квантовой, обладают такой симметрией. Из-за чего очень многие ученые, привыкшие доверять формулам, склонны считать «иллюзией» строго однонаправленный ход времени, который очевидно нарушает симметрию, однако наблюдается всеми в повседневной жизни…

Особая же роль топологических изоляторов в этой странной ситуации проявилась вот каким образом. Сначала физики с триумфом продемонстрировали на примере ТИ мощь своих квантовых теорий, быстро подтвержденных экспериментальными поисками. Но вскоре, в 2008 году, теоретики обнаружили тут и нечто весьма необычное – возможность существования таких 3D топологических изоляторов, где есть проводящие каналы, нарушающие симметрию обращения времени… [mw]

Условие трехмерной объемности материала оказалось критично важным, потому что именно в этом случае пространство состояний системы может порождать фибрацию Хопфа с нетривиальной топологией. Главная особенность этой структуры в том, что она сформирована из множества вложенных друг в друга торов, каждый из которых образован зацепленными друг за друга кольцами окружностей.

В математике эта конфигурация хорошо известна как нетривиальный способ порождать 3D-пространство – с помощью отображения Хопфа, переводящего каждую из точек 2D-сферы в замкнутое кольцо окружности. При таком отображении точки на линии «широты» сферы-прообраза становятся тором из зацепленных колец в 3D-пространстве образа. Переводя всю эту математику на язык физики, Мур и Вен в 2008 году показали, что 2D-сфера прообраза описывает пространство состояний фермионов, а фибрация Хопфа, соответственно, показывает структуру проводящих каналов в таком необычном топологическом изоляторе. Важнейшим вопросом оставалось лишь то, удастся ли сконструировать подобный материал в физике экспериментальной.

Нынешняя статья из мая 2017 именно об этом успехе и рассказывает – про моделирование и наблюдение «топологического изолятора Хопфа» в условиях квантового симулятора на основе кристалла алмаза с азотным замещением вакансии в центре. Такого рода модифицированные на атомном уровне алмазные кристаллы – diamond nitrogen-vacancy (NV) center – с недавних пор активно применяют для непосредственных экспериментов с квантовыми феноменами материи. Важнейшее преимущество нового подхода – возможность проводить опыты не при сверхнизких, а при комнатных температурах.

Общая структура этого «алмазного симулятора» показана на иллюстрации в центральной части сверху. Для целей следствия Sci-Myst, однако, особый интерес представляет соседняя картинка – по центру снизу. Ибо благодаря ей можно не только нагляднее пояснить взаимосвязи этой темы с моделью SYK, но и в общих чертах обрисовать, что понимается под 5-мерной структурой типа фибрации Хопфа.

Важнейший «трюк постижения» заключается в том, чтобы на эту сферу смотреть как на простейшую – игрушечную – модель, описывающую последовательные стадии в эволюции вселенной. Здесь пространством нашего наблюдаемого мира является совокупность точек-частиц на линии широты глобуса. Появившись у южного полюса, эта окружность сначала сдвигается к экватору, все время увеличиваясь в размере, а затем, пройдя максимум, начинает уменьшаться по мере сдвига к полюсу северному.

Теперь, если вспомнить, что каждой точке-фермиону на линии окружности соответствует свое кольцо в 3D-фибрации Хопфа, то – при взгляде на еще одно измерение как на «разум материи» – можно увидеть важные вещи.

Во-первых, «кольца разума» каждой точки в 3D возрастают в размере – как «память» – на протяжении всего пути от южного полюса к северному. Хотя на двумерной поверхности глобуса этот процесс движения выглядит симметричным в обе стороны, переход между торами в 3D оказывается очевидно антисимметричным. То есть здесь сразу понятно, что при изменении хода времени в обратную сторону система ведет себя в корне иначе: в одну сторону только расширяется, в другую – только уменьшается.

Во-вторых, если обратить особое внимание на тот факт, что в игрушечной модели на глобусе пространству «нашего» мира соответствует одномерная линия точек, её смещения во времени дают пространство 2D, а в совокупности с кольцами памяти порождается 3D-конфигурация, именуемая фибрация или расслоение Хопфа, то несложно увидеть и следующую аналогию. Если наш плотный мир в этой схеме представлять не 1D-линией, а более реалистично, объемным 3D-шлангом (тором), то при добавлении измерения времени мы получим 4D-сферу, а в сочетании с «измерением разума материи», аналогично, – 5-мерную слоеную структуру «типа фибрации Хопфа». В ближайшем будущем эта аналогия сильно следствию поможет.

В-третьих, эта же аналогия оказывается очень полезна и для освоения SYK как простой модели квантовой голографии AdS/CFT. Одна из важнейших и по сию пору нерешенных проблем в изучении SYK – это каким именно образом надлежит глобально сконфигурировать друг с другом пространство-балк AdS и пространство-оболочку CFT, чтобы модель начала хотя бы в общих чертах напоминать мир нашей реальности. Погружение в нетривиальные топологические особенности фибраций Хопфа с разным числом измерений у базы расслоения как раз и предоставляет нужный исследователям набор усложняющихся схем для привязки SYK к реальности.

И в-четвертых, наконец, дабы напомнить о мистической роли путеводителя «Там За Облаками» и его занятных предсказаниях, осталось поинтересоваться, какой главе соответствует нынешняя статья китайских ученых в координатах ТЗО. Вычисляя эту координату – как «корень послания» на основе номера публикации в ArXiV – многократно описанным ранее способом «мистического сложения», получаем следующий результат: (1705.00781) → (13.16) → (4.7). Иначе говоря, интерес представляет содержимое главы ТЗО (47).

Данная глава рассказывает о том, как на рубеже XIX-XX столетий, вместе с рождением в физике теории Планка о дискретных квантах энергии, в математике практически одновременно появилась существенно новая – дискретная – система арифметики, получившая название «p- адические числа». А еще через полтора десятка лет, одновременно с рождением гравитационной теории Эйнштейна или ОТО, в теории p- адических чисел была доказана теорема Островского, согласно которой в математике может быть только два возможных варианта для представления непрерывного множества чисел – либо через знакомые всем числа вещественной прямой (действительные), либо через необычные p- адические, имеющие гранулированную структуру и древовидную схему порождения…

На первый взгляд, абсолютно никаких взаимосвязей между абстрактной p- адикой и совершенно конкретным успехом с демонстрацией топологического изолятора Хопфа вроде бы не просматривается. Но это только на первый взгляд. Чуть дальше – уже через несколько разделов – будет показано, что на самом деле взаимосвязи тут имеются не просто глубокие, но и принципиально важные для понимания устройства природы.

Две этих темы плотно переплетены и через квантовую физику, и через гравитацию, и через топологию AdS/CFT, и через квантовую информатику. А более конкретно – через феномен сцепленности топологических нитей-историй. Имеющих, как постепенно выясняется наукой, вид сдвоенных спиралей ДНК…