Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2022-09-11 | 34 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
После получения всех многомасштабных базисных функций (локальных на каждом макроэлементе) согласно алгоритму многомасштабного метода [10] необходимо построить общую вариационную формулировку и вычислить элементы матрицы жесткости.
С учетом перепишем глобальную постановку в виде системы линейных алгебраических уравнений:
Если записать СЛАУ в матричном виде, то получим аналогично -:
Компоненты матрицы и правая часть могут быть определены следующим образом:
,
,
где - узлы грубой сетки, в которых заданы первые краевые условия. Под будем понимать значение искомой функции на границе области моделирования, где задано первое краевой условие.
Рассмотрим более подробно , когда .
С учетом конечноэлементного разбиения
Введем матрицу как локальную матрицу, соответствующую конечному элементу . Для того, чтобы определить локальные функции на элементе введем локальную нумерацию, представленную на рисунке 7
Рисунок 7 – Локальная нумерация узлов в конечном элементе.
Очевидно, что на элементе ненулевыми будут только четыре функции и четыре . Обозначим их как и , причем функция с номером i равна единице в i-ом узле и нулю во всех остальных. Запишем соотношение для одного конечного элемента, причем, будем считать, что на элементе электропроводность равна некоторому среднему значению :
Вычисление элементов матрицы A будем проводить в идеологии двухуровневых методов [25, 27]. Каждая локальная функция , определенная на элементе мелкого разбиения текущего макроэлемента может быть представлена в виде:
|
.
Тогда и локальная многомасштабная функция может быть определена как
Введем обозначения, представленные на рисунке 8:
Рисунок 8 – Обозначения координат элемента мелкого разбиения .
Заштрихованный прямоугольник соответствует элементу мелкого разбиения .
Для нахождения из необходимо решить СЛАУ вида:
Матрица и вектор правой части в системе определены следующим образом:
Для нахождения из подставим представление:
С учетом мелкого разбиения на макроэлементе:
где - количество элементов в разбиении .
Так как на каждом элементе ненулевые только четыре базисные функции, то перепишем соотношение.
Учитывая представление:
Таким образом получаем соотношение для нахождения из:
Как уже говорилось ранее, в качестве выбираются стандартные билинейные базисные функции, которые с учетом введенных обозначений на рисунках 7 и 8 имеют вид:
Так как получили, что матрица состоит из сумм интегралов от произведения градиентов стандартных базисных функций, то удобно воспользоваться уже известными соотношениями для матрицы жесткости [28]:
С учетом получаем выражение для вычисления матрицы :
После вычисления локальных матриц используется стандартная процедура сборки глобальной матрицы для СЛАУ, но в отличие от Галеркинской постановки получаем несимметричную матрицу. После учета краевых условий необходимо решить систему. Для этого в данной работе использовался метод BSGStab с LU предобуславливанием [17, 32].
|
Вывод решения.
Решив систему, получаем вектор , компоненты которого являются значениями скалярного потенциала в узлах грубой сетки . Однако чаще всего необходимо знать решение не только в узлах сетки, но и в каждой точке области моделирования.
Для того чтобы определить значение скалярного потенциала в точке апрапрапаапра, можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1. Определить к какому элементу принадлежит точка
2. Определить к какому элементу принадлежит точка
3. Для каждой многомасштабной функции найти:
4. Вычислить значение потенциала по формуле:
Еще бывает необходимо знать значения векторных величин, например, плотности тока: . Найдем плотность тока в точке
1. Определить к какому элементу принадлежит точка
2. Определить к какому элементу принадлежит точка
3. Для каждой многомасштабной функции найти:
4.
5. Отсюда получаем плотность тока:
Эффективное сопротивление.
При исследовании гетерогенных сред было обнаружено, что в объемах превышающих объем одного включения проявляются устойчивые физические характеристики (например, теплопроводность электропроводность), в общем случае отличающимися от характеристик отдельных компонент. Такие характеристики среды называют эффективными [23,10,15].
Определение эффективного удельного электрического сопротивления гетерогенной среды осуществляется следующим образом [33]:
,
где S – площадь сечения, перпендикулярного течению тока исследуемого образца, U – разность потенциалов, I – полный ток в образце, определяемый по формуле
где – плотность тока.
Верификация
Верификацию программного комплекса будем производить в области с небольшим количеством включений.
|
Сформулируем задачу:
В качестве расчетной области возьмем прямоугольную область вапрапрапрапренгап(рисунок 9).
Рисунок 9 – Область моделирования с грубой сеткой
На границах заданы краевые условия (рисунок 3):
Электропроводность определяется следующим образом:
СЛАУ решается с фиксированной точность 10-8.
Относительную погрешность будем оценивать по формуле:
,
где – количество рассматриваемых точек, – полученное решение, – точное решение.
Пусть , тогда задача с краевыми условиями имеет аналитическое решение
В таблице 1 приведены относительные погрешности решения, полученного МКЭ [28] и многомасштабным МКЭ.
Таблица 1 – Сравнение полученных решений и точного решения
| ||
По прямой при | 1.4200E-08 | 1.0443E-08 |
Если , то задача с краевыми условиями не имеет аналитического решения и результаты, полученные многомасштабным МКЭ будем сравнивать с результатами классического МКЭ на подробной сетке. Пусть , т.е. включения непроводящие. Результаты моделирования приведены на рисунке 10 и в таблице 2
Рисунок 10 – Значения скалярного потенциала на прямой при арварарр(проходит через центры включений)
Таблица 2 – Числовые характеристики решения на вложенных сетках
| ||
В узлах грубой сетки | 2.51E-08 | 1.72E-08 |
На прямой x=0.375 | 8.51E-04 | 2.61E-04 |
На прямой y=0.375 | 4.98E-04 | 5.05E-04 |
На рисунке 11 изображено распределение скалярного потенциала. На рисунке 12 - векторное поле плотности тока.
Рисунок 11– Распределение скалярного потенциала апрапр
Рисунок 12 – Векторное поле плотности тока
|
Рассмотрим задачу - в области (рисунок 13)
Рисунок 13 – Область моделирования с грубой сеткой
В данной области включения пересекают границы грубых элементов, поэтому необходимо использовать осциллирующие краевые условия. Вид базисной функции для данной области на рисунке 6. Причем в тех макроэлементах, где нет включений, можно многомасштабные базисные функции не строить.
Результаты моделирования приведены на рисунках 14 и 15.
Рисунок 14 – Распределение скалярного потенциала
Рисунок 15 – Векторное поле плотности тока
Результаты моделирования
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!