Работа над изучаемым материалом.

Урок

Определение числовой последовательности и способы её задания.

Цель урока: учащиеся должны знать, что такое числовая последовательность; способы задания числовой последовательности; уметь различать различные способы задания числовых последовательностей.

Дидактические материалы: иллюстрационные таблицы, опорные конспекты.

Технические средства обучения: презентация по теме «Числовые последовательности».

Ход урока.

Организационный момент.

Постановка целей урока.

Что такое последовательность?

Какие виды последовательностей вы знаете?

 Как задаётся числовая последовательность?

Работа над изучаемым материалом.

Объяснение нового материала.

Анализируя ответы учащихся, дать определение числовой последовательности и показать способы задания числовых последовательностей.

Определение 1. Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y₁, y₂, y₃,..., y_n,... или (y_n).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Способы задания числовой последовательности.

Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,.....

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39,....

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,....

Аналитический способ.

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n²;

1, 4, 9, 16, 25,..., n²,....

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;

C, C, C,...,C,....

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5,..., 5,....

Пример 4. Последовательность y = 2ⁿ;

2, 2², 2³, 2⁴,..., 2ⁿ,....

Рекуррентный способ.

Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.

Пример 1. Арифметическая прогрессия: a₁=a, a_n+1=a_n+d, где a и d – заданные числа, d - разность арифметической прогрессии. Пусть a₁=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5;.... 

Пример 2. Геометрическая прогрессия: b₁= b, b_n+1= b_nq, где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b₁=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875;....

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y₁=1, y₂=1,y_n-2+y_n-1, если n=3, 4, 5, 6,.... Она будет иметь вид: 

 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,....

Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:

Вариант 1.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=3, y_n=y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,4 и разностью 0,9.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= -150, a₆= -147. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии        22,7; 21,4;....

7. Дана последовательность y_n=12n+8-2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

Вариант 2.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 7, 11, 15, 19, 23,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=0, y₂=1, y_n=2y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,5 и разностью 0,8.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 4,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₆= 160, a₆= 156. Найдите номер первого отрицательного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии           

-15,1; -14,4;....

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

Вариант 3.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: , ,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=1, y_n=2y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2,5 и разностью 0,7.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 7,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₆= 150, a₆= 141. Найдите номер первого отрицательного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии           

 -14,1; -13,4;....

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

В) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

Вариант 4.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 2, 5, 8, 11, 14, 17,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=2, y₂=1, y_n=y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2,5 и разностью 0,7.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 2,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= -145, a₆= -130. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии        17,3; 15,4....

7. Дана последовательность y_n=-2n-3 - n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Домашнее задание:

 

 

Урок

Ход урока.

Организационный момент.

2.Проверка домашнего задания и постановка целей урока.

Устный, фронтальный опрос.

1. Что такое числовая последовательность? (Вывод: это частный случай числовой функции).

2. Какие способы задания числовой последовательности существуют?

3. Что собой представляет словесный способ задания числовой последовательности? Приведите примеры.

4.Что собой представляет аналитический способ задания числовой последовательности? Приведите примеры.

5. Что собой представляет рекуррентный способ задания числовой последовательности? Приведите примеры.

Вывод: числовая функция обладает всеми свойствами функции.

Урок

Ход урока.

Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания и постановка целей урока.

Устный опрос.

1. Что такое числовая последовательность?

2. Какими свойствами обладает числовая последовательность?

3. Когда последовательность бывает ограниченна сверху? когда снизу?

4. Что такое монотонная последовательность?

Урок

Ход урока.

Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания и постановка целей урока.

Устный опрос.

1) Что такое числовая последовательность?

2) Какими свойствами обладает числовая последовательность?

3) Что собой представляют сходящаяся и расходящаяся последовательности?

4) Какая числовая последовательность имеет предел?

5) Какими свойствами обладает сходящаяся последовательность?

6) Пределы каких простейших последовательностей вы знаете?

Решение задач.

В зависимости от уровня подготовки учащимся предлагается выполнить задания. Карточки с заданиями прилагаются.

Вариант 1.

1. Найдите предел последовательности:

а)                                                                        б)

в) ;                                                                      г)

2. Вычислите пределы последовательностей:

а)                                                                       б)

в)                                                                      г)

 

Вариант 2.

Найдите предел последовательности:

а)                                                                        б)

в) ;                                                                      г)

2. Вычислите пределы последовательностей:

а)                                                                       б)

в)                                                                      г)

 

Вариант 3.

1.Найдите предел последовательности:

а)                                                                        б)

в) ;                                                                      г)

2. Вычислите пределы последовательностей:

а)                                                                       б)

в)                                                                      г)

Вариант 4.

1.Найдите предел последовательности:

а)                                                                        б)

в) ;                                                                      г)

2. Вычислите пределы последовательностей:

а)                                                                       б)

в)                                                                      г)

 

Вариант 5.

1Найдите предел последовательности:

а)                                                                        б)

в) ;                                                                      г)

2. Вычислите пределы последовательностей:

а)                                                                       б)

в)                                                                      г)

Вариант 6.

1.Найдите предел последовательности:

а)                                                                        б)

в) ;                                                                      г)

2. Вычислите пределы последовательностей:

а)                                                                       б)

в)                                                                      г)

4.Обсуждение домашнего задания.

Урок

Предел функции.

Цель урока: учащиеся должны знать, что такое предел функции и уметь вычислять пределы некоторых простейших функций.

Дидактический материал: карточки с индивидуальными заданиями.

Технические средства обучения: презентация по теме: «Числовая последовательность»

Ход урока.

Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания и постановка целей урока.

2.1. Устный опрос.

1) Какими свойствами обладает числовая последовательность?

2) Что собой представляют сходящаяся и расходящаяся последовательности?

3) Какая числовая последовательность имеет предел?

4) Какими свойствами обладает сходящаяся последовательность?

5) Что такое числовая функция?

Числовая последовательность – это функция от натурального аргумента. Если сходящаяся числовая последовательность имеет предел, то имеет ли предел функция? Какие условия при этом должны соблюдаться?

Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементамипоследовательности нет.

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,.....

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39,....

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,....

 

Аналитический способ.

Любой n -й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n²;

1, 4, 9, 16, 25,..., n²,....

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;

C, C, C,...,C,....

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5,..., 5,....

Пример 4. Последовательность y = 2ⁿ;

2, 2², 2³, 2⁴,..., 2ⁿ,....

Рекуррентный способ.

Теорема

Если то

предел суммы равен сумме пределов:

предел произведения равен произведению пределов:

предел частного равен частному пределов:

постоянный множитель можно вынести за знак предела:

 

Урок

Определение числовой последовательности и способы её задания.

Цель урока: учащиеся должны знать, что такое числовая последовательность; способы задания числовой последовательности; уметь различать различные способы задания числовых последовательностей.

Дидактические материалы: иллюстрационные таблицы, опорные конспекты.

Технические средства обучения: презентация по теме «Числовые последовательности».

Ход урока.

Организационный момент.

Постановка целей урока.

Что такое последовательность?

Какие виды последовательностей вы знаете?

 Как задаётся числовая последовательность?

Работа над изучаемым материалом.