Какую совокупность значений примет система случайных величин?

Пусть имеется система случайных величин: Х₁, Х₂, …Х_n с совместной плотностью распределения f(х₁,х₂,…,х_n. Если случайные величины независимы, то f(х₁,х₂,…,х_n)=f₁(x₁)f₂(x₂) …f_n(x_n) и розыгрыш совокупности значений системы х₁, х₂,…,х_n сводится к тому, чтобы разыграть каждую из них в отдельности, т.е. организовать n единичных жребиев типа, описанного в п.3. Если случайные величины зависимы, то f(х₁,х₂,…,х_n)=f₁(x₁)f(x₂/x₁)f(x₃/x₁x₂) …, где каждая последующая плотность распределения берется условная, при условии, что предыдущие случайные величины приняли определенные значения. При розыгрыше последовательности значений случайных величин получается сначала значение х₁ случайной величины Х₁; это значение берется в качестве аргумента в условной плотности f(x₂/x₁); разыгрывается значение х₂ случайной величины Х₂, оба значения х₁, х₂ берутся в качестве аргументов в условной плотности f(x₃/x₁x₂) и т.д.

8.3. Современное содержание терминов «имитация», «имитационная модель».

До сих пор термины «имитация», «имитационное моделирование», «имитационная модель», «имитационный эксперимент» охарактеризовывались с разных точек зрения. Соберем воедино все эти характеризации и постараемся выработать целостное представление о содержании этих терминов. Итак, термины «имитация» и «имитационный эксперимент» появились сначала в теории вероятностей и математической статистике как способ вычисления статистических характеристик интересующих нас случайных величин посредством воспроизведения реализаций соответствующего случайного процесса с помощью его математической модели. Воспроизведение реализаций случайного процесса и есть то, что естественно называть имитационным экспериментом, поскольку реальные эксперименты с измерением интересующих нас случайных величин как бы заменяются их имитацией с помощью математической модели данного процесса.

Вскоре после начала использования методов прикладной математики в управлении экономикой, планировании, исследовании операций, проектировании термины «имитация», «имитационный эксперимент» приобрели в этих областях смысл, не совпадающий с их первоначальной трактовкой. Этими терминами стали обозначать способ выбора рационального управления сложным процессом (рационального плана, рациональной конструкции проектируемого изделия), состоящий в следующем. Некоторым образом разрабатываются варианты управлений (планов, конструкций). Затем эти варианты сравниваются. Для этого при каждом таком варианте процесс (функционирование проектируемого изделия) воспроизводится с помощью его математической модели. Сравнение может происходить по некоторым формальным критериям, а может носить неформальный характер, причем чем сложнее используемая модель, чем больше она содержит реальных факторов, влияющих на принятие решений, тем более естественна неформальная оценка сравниваемых результатов. Математические модели, ориентированные на такое их использование, получили название имитационных, процесс их составления стал называться имитационным моделированием, а каждая акция воспроизведения процесса (функционирования проектируемого изделия) - имитационным экспериментом.

Если изучаемый процесс является случайным (если процесс достаточно сложен, то почти неизбежно он случаен), для сравнения, о котором шла речь выше, необходимо выполнять то, что в теории вероятностей и математической статистике называется имитацией, т. е. вычислять статистические характеристики этого случайного процесса путем набора необходимого для этого количества реализаций (предполагается, что аналитическими средствами вычислить статистические характеристики нельзя) и именно эти статистические характеристики и сравнивать. Даже если дело обстоит именно таким образом, специалисты в области управления, планирования, проектирования, исследования операций, произнося слово «имитация», будут иметь в виду не способ вычисления характеристик случайных процессов путем набора статистики (для них это некоторая необходимая техническая деталь), а то, что альтернативные варианты управлений (планов, конструкций проектируемого объекта) являются внешними по отношению к модели процесса, задаются «извне» ее, а не являются ее продуктом. Они будут называть воспроизведения процесса имитацией и тогда, когда процесс детерминирован. Для них термин «имитация» несет смысловую нагрузку противопоставления термину «оптимизация», в то время как для специалистов в области теории вероятностей и математической статистики термин «имитация» несет оттенок противопоставления аналитическим методам расчета статистических характеристик случайного процесса.

Сопоставление оптимизационных задач с реальным содержанием задач планирования, управления, проектирования приводило к попыткам улучшить модели, лежащие в основе оптимизационных задач, что влекло за собой их усложнение, появление вместо одного критерия оптимальности нескольких или же вообще отказ от оптимизации в рамках усложнившихся моделей и использование их в режиме вариантных расчетов с задаваемыми извне модели вариантами планов (управлений, конструкций проектируемого изделия). Поскольку в этих усложненных моделях присутствовали, как правило, случайные факторы, то получение обоснованных результатов требовало вычисления статистических характеристик, т. е. имитации в том смысле, в котором ее понимают в теории вероятностей и математической статистике. Очень скоро специалисты в области использования математических методов в планировании, управлении, исследовании операций, проектировании присвоили новое содержание терминам «имитация», «имитационная модель», «имитационный эксперимент» — то, о котором говорилось выше. Конечно, содержание этих гуманитарных терминов нельзя очертить достаточно четко: каждый специалист имеет право понимать под ними то, что ему заблагорассудится. Тем не менее, суммируя все то, о чем говорилось, сопоставляя различные трактовки этих терминов, даваемые специалистами в разных сферах, можно сказать то, что уже говорилось ранее. Именно, имитационная модель — это модель, обладающая качествами из следующего набора: «сложность» модели, наличие в ней случайных факторов, описание процесса, развивающегося во времени, невозможность получения результатов без ЭВМ, предназначенность модели для использования ее в режиме вариантных расчетов, т. е. для сравнения путем выполнения имитационных экспериментов, заданных заранее, «извне модели» вариантов планов, управлений, конструкций. Ни одно из перечисленных качеств не является обязательным для того, чтобы именовать модель имитационной. Например, специалист по оптимизации назовет даже очень простую детерминированную модель имитационной, если в ее рамках никакая оптимизационная задача не решается, а она используется в режиме вариантных расчетов для сравнения заранее сформированных альтернативных вариантов управлений. Тем не менее, перечисленные качества в совокупности дают целостное представление о том, какой смысл имеет понятие «имитационная модель» в современной русскоязычной научной литературе.

В англоязычной литературе терминам «имитация», «имитационная модель», «имитационный эксперимент» приблизительно соответствует термин «simulation». Наиболее известна трактовка термина «имитация», которую дал Р.Шеннон, определив ее как «процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью понять поведение системы либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы».

Аналогичное определение этому термину дает Т. Нейлор: «численный метод проведения на цифровых вычислительных машинах экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени». Обе приведенные трактовки термина «simulation» укладываются в то содержание терминов «имитация», «имитационная модель», «имитационный эксперимент», которое было очерчено выше.

Первым результатом «столкновения» оптимизационных задач с реальным содержанием задач планирования, управления, проектирования в реальных производственных структурах стало, как указывалось выше, усложнение моделей. В рамках усложненных моделей происходил отказ от «жесткой» оптимизации и появление в работе с моделью режима, который получил название имитационного. Именно, вместе с оптимальными управлениями (планами) определялись и близкие к ним, предоставлялась возможность выбрать критерий оптимизации из некоторого множества, изменить параметры, ограничения, назначить часть позиций плана (часть управлений), а оптимизацию провести по остальным и т. д. Описанные возможности потребовали интерактивного режима работы с ЭВМ и соответствующего программного обеспечения. Таким образом возникли интерактивные проблемно-ориентированные оптимизационные системы.

Часто усложнение модели приводило к отказу от оптимизации в ее рамках потому, что на оптимизацию уже не хватало вычислительных ресурсов, а еще чаще потому, что включение в модель большого количества факторов, которые необходимо учитывать при реальном управлении, приводило к невозможности постановки в ее рамках оптимизационных задач на выбор управлений (планов). Такие модели стали использовать в режиме вариантных расчетов, как об этом говорилось выше. Это использование также потребовало интерактивного режима работы с ЭВМ, применения средств визуализации информации и вообще разнообразных средств манипулирования информацией. Так возникли проблемно-ориентированные имитационные системы. Очень скоро выяснилось, что «чистый» режим имитации при работе с имитационной моделью во многих случаях почти столь же непрактичен, как и «чистая» оптимизация, о чем много говорилось выше. Например, среди многочисленных позиций плана лишь несколько являются предметом особого интереса для эксперта, занимающегося составлением данного плана. Назначение всех остальных - рутинная работа. Если это назначение выполняется «вручную», то от использования ЭВМ для эксперта мало толку по сравнению с обычной технологией составления плана. Существенный выигрыш получается тогда, когда рутинная работа по назначению позиций плана, мало интересующих эксперта, автоматизируется на основе оптимизации. Позиции же плана действительно существенные «доверять» оптимизации нельзя. Очень полезно получить оптимальные значения этих позиций, однако лишь для анализа ситуации, как «информацию для размышления».

Таким образом, в проблемно-ориентированных имитационных системах возникает оптимизационный режим работы. Он обеспечивается совокупностью упрощенных моделей изучаемого процесса вместе с алгоритмами, вычисляющими в рамках этих моделей оптимальные управления.