Определить:реакции неподвижного цилиндрического шарнира Аи подвижного цилиндрического шарнира В.

Решение

1. Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие балки АВ.

   2. К балке АВ приложены активные силы: F, пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q. Заменим распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной Q, равной по модулю Q = q· 2 a = 30 Н и приложенной в средней точке нагруженного участка.

Введем декартову систему координат Аxy, совместив начало координат  с неподвижным шарниром А и направив осьАx вдоль балки.

На балку наложены две связи: неподвижная шарнирная опора в точке А иподвижная шарнирная опора (каток) в точке В. Отбросим мысленно эти связи, заменив их соответствующими реакциями. Реакция R _A неизвестна по величине и направлению, поэтому разложим её на две неизвестные по величине составляющие X _A, Y _A, направленные по координатным осям. Опора в точке В не препятствует её перемещению вдоль наклонной плоскости и, следовательно, реакцию _B следует направить перпендикулярно наклонной плоскости, то есть эта реакция известна по направлению, но неизвестна по величине (рис.57).

3.Имеем произвольную плоскую систему сил.

 4. В задаче имеется три неизвестных скалярных величины: X_A, Y_A, R_B. Поскольку для произвольной плоской системы сил имеется три независимых уравнения равновесия, данная задача является статически определимой[4].

 

Рис.57

 

Составим уравнения равновесия для полученной эквивалентной силовой схемы.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемом примере следующим образом:

 

∑ X = 0, X _a – R _b sin 30 ° = 0; (1)

∑ Y = 0, Y _a – Q + F + R _b cos 30° = 0;(2)

∑mom_AF = 0,-Q∙ a + F ∙2a + M + (R _b cos 30 ° ) ∙ 3a = 0. (3)

Напомним, что скалярные моменты сил берутся со знаком плюс, если они направлены против хода часовой стрелки. При вычислении момента реакции R _b относительно точки А выделена её вертикальная составляющая, равная R _b cos 30° и имеющая плечо 3 a, а горизонтальная составляющая имеет нулевой момент относительно точки А.

Из третьего уравнения (2) и (3) находим:

 

R_B = (Q - 2F - M / a)/(3cos 30°) - 50.0 Н.

 

Подставив в первое и второе, получим:

Х _A =((Q - 2F - M / a)/(3cos 30°))sin30° -25.0 Н,

Y_A = (2 Q - F + M / a)/3 13,3 Н.

 

Полученные отрицательные значения R_B и X_A означают, что сила R _b исоставляющая реакции X _A противоположны показанным на рис.57направлениям этих векторов.

Величина реакции R_A = (X_A² + Y_A²) 28.3 Н.

 

 

Пример на равновесие произвольной пространственной системы сил

 

 

Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис.58) закреплена с помощью сферического в точке А, цилиндрического шарнира в точке В и

невесомого шарнирно опертого стержня ДД . На плиту в плоскости параллельной плоскости xz, действует сила F, а в плоскости, параллельной yz, - пара сил с моментом М.

 

 

Дано: Р = 3 кН, F = 8 кН, М = 4 кН ∙ м, 

ά = 60°, АС = 0,8 м, АВ = 1,2 м,

 ВЕ = 0,4 м, ЕН = 0,4 м.

Определить: реакции опор А, В и стержня ДД .

 

 

Рис.58

 

 

 

Решение.

1. Рассмотрим равновесие плиты АВДС.

2. На плиту действуют активные силы: Р, F и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию неподвижного сферического шарнира разложим на три составляющие X ,Y ,Z , неподвижного цилиндрического шарнира – на две составляющиеX ,Z  (в плоскости, перпендикулярной оси шарнира); реакцию N стержня направляем вдоль стержня отД к Д , предполагая, что он растянут.

3. Имеем произвольную пространственную систему сил.

 

4. Составим уравнения равновесия для полученной эквивалентной силовой схемы.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемом примере следующим образом:

∑X =0,X + X + Fcos60° = 0;

∑ Y = 0,Y −N cos 30° = 0;

∑Z= 0.Z + Z  −Р +N sin 30° −Fsin 60° = 0;

∑mom F = 0,М−Р∙АВ/2 + Z ∙АВ−Fsin 60°∙АВ+N sin 30°∙АВ = 0; 

∑ mom F = 0,Р∙АС/2 + Fsin 60°∙ЕН−N sin 30°∑АС−Fcos60°∙ВЕ = 0;

∑mom F = 0,−X ∙АВ−N cos 30°∙АС−Fcos60°∙АВ = 0.

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных

 величин и решив эти уравнения, найдем искомые реакции: X = 3,42 кН; Y = 5,13 кН;Z = 4,83 кН;X = −7,42 кН;Z = 2,13 кН; N = 5,93кН. Знак «−» указывает на то, что реакция X направлена противоположно показанной на рис.58.

 

   Список использованной литературы

1.Ишлинский А.Ю.Задачи механики. Препринт №185.М.:Ист-т пробл. Механики АН СССР, 1981.-38 с.

2.Конспект лекций по теоретической механике: Учебное пособие /В.А.Аршинова, А.И.Зайцев – Яросл. гос. ун-т. – Ярославль, 1998.- 176 с.:ил.- (Высшее образование).

3.Теоретическая механика: учебник /Н.Г.Васько, В.А.Волосухин, А.Н.Кабельков, А.Н.Бурцева – Ростов н/Д: Феникс,2012. – 302 с.:ил.- (Высшее образование).

4.Леготин С.Д. Основы теоретической механики: электронный учебник /М. Гос. Индустриальный ун-т, 2008.-136 с.:ил.-(Высшее образование).

 

За помощь при создании данного пособия выражается благодарность студентам машиностроительного факультета Аджояну М.Р и Выборнову Н.С.

[1] Единицей измерения силы в системе единиц СИ является Ньютон (Н); применяется и более крупная единица 1 кН=1000Н.

[2] Ортом вектора называется единичный вектор, направленный в ту же сторону и приложенный в той же точке, что и заданный вектор.

[3] Это следствие, также как и часть аксиом и теорем статики, применимо только для абсолютно твердого, не деформируемого тела.

[4] статически определимой задача статики называется, если число неизвестных компонентов реакций равно числу уравнений равновесия, и наоборот, задача статики называется статически неопределимой, если число неизвестных компонентов реакций больше числа уравнений равновесия.