I. Подведение итогов (4 мин.) (Слайды 16-17)

 

                      

Задачи для решения на закрепление

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального           

                 забега на 5-ти беговых дорожках? 

Решение: Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

 

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая     

                 цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно Р₃=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

       Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести               

                  девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И         

             варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,       

             считаются разными, поэтому:

                                         

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,        

                 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только               

                 один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из 

             трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

             расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

             и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти        

             элементов по три.

             По формуле числа размещений находим:

 

                              

                                              

Ответ:504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 

                человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все  

              возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7

              человек. Искомое число способов равно

                     

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов  

                  распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение: А₁₂³ = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

                                                                                            Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7.  На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из  

                  10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них  

                   побежит в эстафете 4´100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:  способов.

                                                                              Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

                  зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

             второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из     

             оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

             Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

                                         Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.                                                                                                                                                                        Ответ: 24 способа.

Задача № 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

                 время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:  способов.

Ответ: 210 способов.

 

Задача № 10. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для

                  работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

                  трех – из 10, и одного – из 11. Сколько существует способов выбора  

                  учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

             первой совокупности (С₇²)  может сочетаться с каждым вариантом выбора из     

             второй (С₉³)  ) и с каждым вариантом выбора третьей (С₈¹)  по правилу  

             умножения получаем:

                     

                                                                                            Ответ: 14 112 способов.

 

Задача № 11.  Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на  

                    перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

                    способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

                    очередь для игры в настольный теннис?

Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

             оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

                девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

             правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4×3×2×1=120 способов  

             занять очередь.

«Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из объектов задачи»

«Комбинаторная задача – это задача на перебор и подсчёт количества составленных комбинаций».

Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из элементов равно.

Факториал числа — это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается n!

Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

1. Дайте определение комбинаторики (слайд 6)  

2. Дайте определение перестановки (слайд 7)

3.  Дайте определение факториала (слайд 8)

4.  Дайте определение размещения (слайд 9)

5.  Дайте определение сочетания (слайд 10)

Решение задачи по комбинаторике (размещения)

ЗАДАНИЕ. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах? РЕШЕНИЕ. Т.к. все пассажиры должны ехать в разных вагонах, требуется отобрать 4 вагона из 9 с учетом порядка (вагоны отличаются №), эти выборки – размещения из n различных элементов по m элементов, где n=9, m=4. Число таких размещений находим по формуле: A = n ⋅(n − ⋅()1 n − ⋅...)2 ⋅(n − m +)1 m n. Получаем: 9 8 7 6 3024 4 A9 = ⋅⋅⋅ =. ОТВЕТ. 3024 способами можно рассадить в поезде 4 человека.

 

Лейбниц Г.В. (1946 - 1716) – Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он впервые ввел термин комбинаторика.

 

Леонард Эйлер (1707 - 1783). Он рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку – топологию, которая изучает свойства пространства и фигур.

Блез Паскаль французкий ученый (1923-1662)Основатель математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии. Паскаль создает «Трактат об арифметическом треугольнике», где исследует свойства «треугольника Паскаля» и его применение к подсчету числа сочетаний.

 

 

Самоанализ урока

Преподаватель: Волошина Е.Г

Тема программы: Комбинаторика