Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-05-20 | 390 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть имеем систему значений функции для равноотстоящих значений аргумента , где . Построим интерполирующий полином следующего вида:
,
где . Подставляя эти значения в формулу и полагая получим:
- второй многочлен Ньютона.
Остаточный член второй интерполирующей формулы Ньютона имеет вид:
,
где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .
Для неограниченной таблицы значений функции y число n в интерполяционной формуле может быть любым, поэтому практически его выбирают так, что бы разность была постоянной с заданной степенью точности. В этом случае остаточный член удобней вычислять по формуле:
.
Если таблица значений функции конечна, то число n не может быть больше числа значений функции минус единица.
Пример 5.2. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью первого или второго интерполяционного многочлена Ньютона. Вычислить остаточный член.
Дана таблица значений функции yi с постоянным шагом 0,005
x | y |
1.215 | 0.106044 |
1.220 | 0.106491 |
1.225 | 0.106935 |
1.230 | 0.107377 |
1.235 | 0.107818 |
1.240 | 0.108257 |
1.245 | 0.108696 |
1.250 | 0.109134 |
1.255 | 0.109571 |
1.260 | 0.110008 |
Требуется определить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента
x 1= 1.2173; x 2 = 1.253; x 3= 1.210; x 4= 1.270.
Составим таблицу конечных разностей.
i | xi | yi | Dyi | D2yi | D3yi |
1.215 | 0.106044 | 0.000447 | -0.000003 | 0,000001 | |
1.220 | 0.106491 | 0.000444 | -0.000002 | 0,000001 | |
1.225 | 0.106935 | 0.000442 | -0.000001 | -0,000001 | |
1.230 | 0.107377 | 0.000441 | -0.000002 | 0,000002 | |
1.235 | 0.107818 | 0.000439 | -0,000001 | ||
1.240 | 0.108257 | 0.000439 | -0.000001 | ||
1.245 | 0.108696 | 0.000438 | -0.000001 | 0,000001 | |
1.250 | 0.109134 | 0.000437 | |||
1.255 | 0.109571 | 0.000437 | - | ||
1.260 | 0.110008 | - | - | ||
|
При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х = 1.2173 и х = 1.210 пользуемся формулой Ньютона №1:
где q = (x-x0)/h.
Если x = 1.2173, то q = (1.2173-1.215)/0.005= 0.46;
P1 (1.2173)=0.106044+0.46·0.000447=0.106044+0.0002056=0.106250
Если x = 1.210, то q = (1.210-1.215)/0.005= -1;
P 1(1.210)= 0.106044+(-1)·0.000447=0.105597
P 2(1.210)= P 1(1.210)+ R 1=0.105600
При x = 1.253 и x = 1.270 пользуемся второй формулой Ньютона:
где q = (x-xn)/h.
Если x = 1.253, то q = (1.253 - 1.250)/0.005 = 0.6;
P1 (1.253)=0.109134+0.6·0.000438=0.109134+0.000263=0.1093968
Если x = 1.270, то q = (1.270 - 1.260)/0.005 = 2;
P1 (1.270)=0.110008+2·0.000437=0.110008+0.000874=0.110882
Ответ: f (1.2173)» 0.106250; f (1.253) ·» 0.109397; f (1.210)» 0.105597;
f (1.270)» 0.110882.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.
Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: , и известны значения для функции . Нам нужно построить многочлен .
Решим сначала частную задачу, построив полином такой, что .
Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках , то он имеет вид:
, (5.1)
где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле и учитывая, что , получим:
.
Отсюда .
Вернемся к выражению (5.1):
.
Тогда полином Лагранжа имеет следующий вид:
.
Докажем единственность полинома Лагранжа.
Предположим противное. Пусть - полином, отличный от , степень его не выше n и . Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в n+1 точках , т.е. . Следовательно, .
При равноотстоящих точках таблицы xi многочлен Лагранжа совпадает с многочленом Ньютона такой же степени.
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!