История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-05-20 | 542 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
При большом количестве узлов интерполяции приходится использовать интерполяционные полиномы высокой степени, что создает определенные неудобства при вычислениях. Можно избежать высокой степени интерполяционного многочлена, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена. Однако такое интерполирование обладает существенным недостатком: в точках сшивки разных интерполяционных полиномов будет разрывной их первая производная, поэтому для решения задачи кусочно-линейной интерполяции используют особый вид кусочно-полиномиальной интерполяции — сплайн-интерполяцию. Сплайн — это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.
Математически сплайны моделируют старое механическое устройство из гибких реек. Если их жестко закрепить в узлах интерполяции, то рейки принимают форму, минимизирующую их потенциальную энергию
Основные характеристики сплайнов:
- количество и расположение узлов;
- наибольший порядок m многочлена, из которого склеен сплайн;
- гладкость сплайна в узлах.
Пусть на отрезке задана функция аналитически (в виде ), таблично или графически. Для замены этой функции сплайном разобьем отрезок на n частей и составим таблицу:
Функция
Здесь , , а - значения функции при .
Дадим математическое определение сплайна. Сплайном степени m называется функция удовлетворяющая следующим свойствам:
непрерывна на вместе со всеми производными до некоторого порядка р;
|
На каждом отрезке совпадает с некоторым многочленом Pm,k(x) степени m
Пусть в каждой точке существует непрерывная производная . А следующая производная может быть уже разрывная. Дефектом в сплайне называется число в точке . Если мы возьмем , то это тоже дефект сплайна.
Интерполяция ломаными это самый простой сплайн первой степени с дефектом, равным единице. В этом случае сама функция непрерывна, а уже первая производная разрывная. Если функция задана таблично, то значения выбираем из таблицы; при этом, чем больше n, тем лучше аппроксимация. На каждом из элементарных отрезков заменяем функцию отрезком прямой: .
Кубические сплайны
При рассмотрении изгиба изогнутость приходится представлять кривой более высоких порядков. В этом случае часто применяют кубические сплайн функции, когда функция интерполируется на каждом элементарном отрезке кубическим многочленом. На отрезке оси Ox зададим равномерную сетку с шагом , в узлах зададим значения функции , определенной на отрезке .
Внутри каждого элементарного отрезка заменим функцию функцией , удовлетворяющей следующим условиям:
1. непрерывна на вместе со своими производными первого и второго порядка;
2. на каждом отрезке является кубическим многочленом:
(6.1);.
3. в узлах сетки выполняется равенство ;
4. удовлетворяет граничным условиям .
Требуется найти четверку неизвестных коэффициентов для всех Можно доказать, что задача нахождения кубического сплайна имеет единственное решение.
Потребуем выполнения третьего условия, совпадения значений функции в узлах с табличными значениями;
(6.2)
(6.3)
Число полученных уравнений 2n в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для составления оставшихся уравнений воспользуемся первым условием о непрерывности производных сплайна во всех точках. Приравняем левые и правые производные во внутреннем узле xk , вычислив предварительно выражение для производных последовательным дифференцированием (6.1)
|
(6.4)
(6.5)
Найдем правые и левые производные в узле:
Приравняв левые и правые производные, получим для:
(6.6)
Уравнения (6.6) дают еще 2(n-1) условий. Для получения недостающих уравнений накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка . При нулевой кривизне, когда вторая производная равна нулю, например, получим:
(6.7)
Исключив из уравнений (6.2)- (6.6) неизвестные ak, получим систему из 3n уравнений:
(6.8)
Решив эту систему, мы найдем значения неизвестных ak,bk,ck определяющих совокупность формул для искомого интерполяционного сплайна
Для вычисления коэффициентов сплайнов в Mathcad предназначены функции, возвращающие массив коэффициентов:
cspline(x,y)-кубического сплайна;
pspline(x,y)-квадратичного сплайна;
lcspline(x,y)-линейного сплайна;
Во всех этих функциях х-массив абсцисс, а y- массив ординат экспериментальных точек. После вычисления коэффициентов сплайнов можно вычислить значение интерполяционного полинома в конкретной точке t, обратившись к функции interp(x,U,P,t), где х- массив коэффициентов сплайнов
Пример 6.1 В результате опыта холостого хода определена таблица зависимости потребляемой из сети мощности P от выходного напряжения U для асинхронного двигателя. Построить график интерполяционной зависимости. При решении воспользуемся встроенными функциями сплайновой аппроксимации в Mathcad
Экспериментальные точки
Построим графики этих функций.
Рис 6.1. Решение примера 6.1 в Mathcad
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!