Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-05-21 | 470 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Содержание
1. | Этапы решения прикладных задач. Машинное представление числа. Числа с плавающей точкой...................... | |
Приближенные................................................................................................................................................................... | ||
2. | Неустойчивость алгоритмов.......................................................................................................................................... | |
3. | Структура полной погрешности эксперимента............................................................................................................ | |
4. | Методы, используемые для отделения корней уравнения с одной переменной................................................... | |
5. | Уточнение корней методом половинного деления. Алгоритм, блок-схема............................................................. |
6. Уточнение корней методом простой итерации. Теорема, алгоритм геометрическая иллюстрация. Оценка
погрешности метода........................................................................................................................................................................................... 8
7. Метод касательных(Ньютона). Сходимость метода, оценка погрешности, геометрическая интерпретация. 10
8. Метод хорд. Сходимость метода, оценка погрешности, геометрическая интерпретация...................................... 11
9. Решение систем линейных алгебраических уравнений. прямые и итерационные методы решения. Метод
Гаусса, алгоритм, блок схема........................................................................................................................................................................ 12
Метод Гаусса.................................................................................................................................................................................................... 13
10. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Требования к сходимости итерационного процесса.
............................................................................................................................................................................................ 15
11. Оценка погрешности метода простой итерации......................................................................................................................... 16
12. Метод Зейделя............................................................................................................................................................................................. 17
13. Постановка задачи интерполирования. Параболическая интерполяция. единственность задачи
интерполирования многочленами............................................................................................................................................................ 20
14. Интерполяционный многочлен Лагранжа...................................................................................................................................... 21
15. многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов.......................................................................................................................... 23
16. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса......................................................................... 26
17.Формула трапеций. Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности..................................................................... 28
18. Формула Симпсона. Алгоритм, блок-схема. Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности................. 29
19. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное интегрирование уравнений порядка
выше, чем первый. Решение систем дифференциальных уравнений.................................................................................... 31
20. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциального уравнения. Алгоритм, блок-схема.
Недостатки метода............................................................................................................................................................................................ 33
21. Методы Рунге-Кутта. Расчетные формулы, алгоритм, блок-схема, погрешность метода..................................... 35
22. Методы обработки данных. Метод наименьших квадратов. Общий случай................................................................ 36
23.Линейная и квадратичная регрессия.................................................................................................................................................. 38
24.Метод наименьших квадратов для степенной, показательной, дробно-линейной, логарифмической,
гиперболической и дробно-рациональной приближающщих функций................................................................................ 39
25. Аппроксимация производных. Погрешность численного дифференцирования......................................................... 43
26.Использование интерполяционных формул.................................................................................................................................. 46
27. Аппроксимация частных производных............................................................................................................................................. 47
28.Уравнения в частных производных. Построение разностных схем. ТУРЧАК.................................................................. 51
1. Этапы решения прикладных задач. Машинное представление числа. Числа с плавающей точкой.
Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы:
1. Математическая постановка задачи и построение математической модели. На данном этапе требуется
· определить, что дано, что надо получить;
· выделить наиболее существенные свойства изучаемого объекта;
· установить между ними количественные соотношения; Требования к математической модели:
· Математическая модель должна быть адекватной, т.е. правильно отражать действительность;
· Математическая модель не должна быть слишком сложной.
2. Алгоритмизация,т.е.
· Поиск метода решения задачи в рамках математической модели
· Разработка алгоритма (в виде словесного описания, математических формул, блок-схем).
3. Перевод алгоритма на язык программирования.
4. Исполнение программы на ЭВМ. В результате–получение результатоврешения.
5. Анализ полученных результатов. Полученные результаты сравниваются сожидаемыми, с данными, полученными экспериментальным путем.
Методы решения задачи делятся на | ||||
· | Точные: | · | Приближенные | |
аналитические | аналитические | |||
· | графические | · | графические | |
· | численные |
Неустойчивость алгоритмов.
3. Структура полной погрешности эксперимента.
Погрешность возникает на ряде этапов решения задачи. Введем обозначения:
R –точное решение задачи(результат);
R – приближенное решение задачи;
ε – полная погрешность.
Полная погрешность e = R - R включает в себя:
· Погрешность исходных данных и математической модели. Возникает попричине неточности исходных данных и несоответствия построенной математической модели реальной ситуации. Таким образом, будет получен результат R1≠R.
e 1= R - R 1
ε 1–неустранимая погрешность.
· Погрешность метода. Возникает,если выбран приближенный(например,численный) метод. Таким образом, будет получен результат R2≠R1.
e 2= R 1- R 2
ε2 –устранимая погрешность.
· Погрешность вычислений: e 3= R 2- R 3.
Таким образом, полная погрешность
Отделение корней
Метод Гаусса.
Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных). Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
ì a | x | + | a | x | + | ... | + | a | x | = | b | |||||||||
ï 11 | + | + | + | 1 n | n | = | ||||||||||||||
ï a 21 x 1 | a 22 x 2 | ... | a 2 n xn | b 2 | ||||||||||||||||
í...................... | ||||||||||||||||||||
ï | ||||||||||||||||||||
ï a | x | + | a | m 2 | x | + | ... | + | a | mn | x | n | = | b | ||||||
î | m 1 1 | n |
Алгоритм состоит из двух этапов.
I. Прямой ход – приведение матрицы к треугольному виду (сверху вниз):
ì x | + a ¢ | x | + | ... | + | a ¢ | x | n | = | b ¢ | ||||||
ï | 1 n | |||||||||||||||
ï | a ¢ | x | + | ... | + | a ¢ | x | n | = | b ¢ | ||||||
2 n | ||||||||||||||||
í...................... | ||||||||||||||||
ï | ||||||||||||||||
ï | xn | = | bn ¢ | |||||||||||||
î |
II. Обратный ход –определение неизвестных(снизу вверх).
Ручные вычисления по схеме единственного деления оформляют в виде таблицы с контролем вычислений, для чего в таблицу включены
· столбец контрольных сумм S,
· столбец сточных сумм S.
Контроль в прямом ходе:
· После внесения коэффициентов при неизвестных и свободных членов исходной системы находят контрольные суммы (суммы коэффициентов и свободных членов по строкам) и вносят их в столбец S.
· Далее, выполняя преобразования, над контрольными суммами производятся те же преобразования, что и над свободными членами.
· После выполнения каждого преобразования находят строчную сумму результатов и помещают ее в столбец S.
· При отсутствии вычислительных ошибок числа в столбцах S и S должны практически совпадать.
Контроль в обратном ходе:
При безошибочном выполнении вычислений в столбце S должны быть на единицу больше соответствующих значений неизвестных из столбца свободных членов Рассмотрим примеры решения СЛУ методом Гаусса
Разделы | x1 | x2 | x3 | св чл | сумма | S | |
3,25 | 14,52 | -1,32 | 367,58 | 384,03 | |||
32,02 | -4,36 | 5,73 | 516,91 | 550,3 | |||
А | 7,21 | 11,92 | -41,46 | -886,32 | -908,65 | ||
4,4677 | -0,4062 | 113,1015 | 118,1631 | 118,163 | |||
-147,4158 | 18,7365 | -3104,6000 | -3233,2825 | -3233,2793 | |||
-20,2921 | -38,5313 | -1701,7818 | -1760,606 | -1760,6052 | |||
А1 | -0,1271 | 21,0602 | 21,9331 | 21,9331 | |||
-41,1104 | -1274,4261 | -1315,5373 | -1315,5365 | ||||
А2 | 31,0001 | 32,0001 | 32,0001 | ||||
31,0001 | 32,0001 | ||||||
В | 25,0003 | 26,0003 | |||||
13,9999 |
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Требования к сходимости итерационного процесса.
Первая половина в билете №9.
Функцию r (x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если
1) r (x,y)³0
2) r (x,y)=0 x=y
3) r (x,y)= r (y,x)
4) r (x,y)£ r (x,z)+ r (z,y).
Множество X с введенной метрикой r назовем метрическим пространством. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной,
если (" e > 0)($ N)(" m, n > N)[ r (xm, xn) < e ].
Пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Отображение F пространства E в себя называется сжимающим, если
($ a, 0 < a <1)(" x, y Ï E)[ r (F (x), F (y)) £ a r (x, y)]
x – неподвижная точка, если F(x)=x.
Оценка расстояния между неподвижной точкой и приближением x (k) производится следующим образом:
r (x, x (k))£ | a k | r (x (0), x (k))или r (x, x (k))£ | a | r (x (k -1) , x (k)). | |||
1 - a | 1 - a | ||||||
Таким образом, чтобы погрешность вычислений была меньше наперед заданного числа
ε, достаточно потребовать r (x (k -1), x (k))£ e | 1 - a | . | |||||||
a | |||||||||
Рассмотрим 3 типа метрики. | |||||||||
Пусть x(x1,x2,…,xn) и y(y1,y2,…,yn) – две точки n -мерного пространства. | |||||||||
I. r 1 (x, y) = max | xi | - yi | Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в | ||||||
1£ i £ n | |||||||||
правой | части | системы, взятых по | строкам, должна быть меньше единицы: | ||||||
n | |||||||||
a 1 = max1£ i £ n | å aij <1 |
j =1
n
II. r 21 (x, y) = å xi - yi Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных
i =1
в | правой части | системы, | взятых | по столбцам, должна быть | меньше | единицы: | |||||||||
n | |||||||||||||||
a 2 | = max1£ j £ n | å | aij | < 1 | |||||||||||
i =1 | |||||||||||||||
III. r 3 (x, y) = | n | - yi)2Корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при | |||||||||||||
å(xi | |||||||||||||||
i =1 | |||||||||||||||
неизвестных | в | правой | части | системы, должен быть | меньше | единицы: | |||||||||
n | n | ||||||||||||||
a 3=å å aij 2¹1<1 | |||||||||||||||
i =1 | j =1 |
СЛУ преобразуется таким образом, чтобы по одной из метрик выполнялось α < 1.
ì x | = a | x | + | a | x | + | ... | + | a | x | + | b | ||||||||||||||
ï 1 | 1 n | n | ||||||||||||||||||||||||
ï x 2 | = a 21 x 1 | + | a 22 x 2 | + | ... | + | a 2 n xn | + | b 2 | |||||||||||||||||
í...................... | ||||||||||||||||||||||||||
ï | ||||||||||||||||||||||||||
ï x | n | = a | x | + | a | m 2 | x | + | ... | + | a | mn | x | n | = | b | n | |||||||||
î | m 1 1 |
При этом СЛУ задает отображение, которое при α < 1 будет сжимающим. Значит, взяв любую точку в качестве начального приближения, получим последовательность точек, которая будет сходиться к неподвижной точке; это точка и будет решением системы. Чтобы привести СЛУ к итерационному виду нужно:
1) с помощью равносильных преобразований привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами (по абсолютной величине);
2) разделить все уравнения на соответствующие диагональные коэффициенты и выразить из каждого уравнения неизвестное с коэффициентом, равным единице.
Если для этой системы α < 1, то система задает сжимающее отображение.
11. Оценка погрешности метода простой итерации. x=Bx+d;
Пусть ||B||<1, имеем:
x*=Bx*+d;
x(k)=Bx(k-1)+d ;
x*=x(k)+B(x*–x(k-1));
Вычтем из каждой части x(k-1):
x*–x(k-1)=x(k)–x(k-1)+B(x*–x(k-1)) ;
||x*–x(k-1)||≤
||x(k)–x(k-1)||+||B||•||x*–x(k-1)||;
||x*–x(k-1)||•(1–||B||)≤
||x(k)–x(k-1)||;
||x*–x(k-1)||≤
||x(k)–x(k-1)||/(1–||B||);
Кроме того:
||x*–x(k)||≤||B||•||x*–x(k-1)||;
||x*–x(k)||≤(||B||/(1–||B||))•||x(k)–x(k-1)||; (1)–Разность между точным решением и k -ымприближением.
Пусть требуется найти решение с точностью ε. Из (1) имеем:
(||B||/(1–||B||))•||x(k)–x(k-1)||<ε;
Достаточно выполнение условия:
||x(k)–x(k-1)||≤((1–||B||)•ε)/||B||;–критерий выхода.
Метод Зейделя
При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению.
Основная идея метода Зейделя состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значений yi учитываются уже полученные значения y1, y2,…,yi-
1.
I. Условие α<1 является достаточным для сходимости итерационного процесса метода Зейделя. Причем метод Зейделя обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
Рассмотрим решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Зейделя (взяв за основу метод итерации)
program slu_zejdel1;
{ *** с использованием евклидовой метрики *** } var p,b,x1,x2,x3,y1,y2,y3,a,e: real;
N: integer;
begin
write('Введите x1, x2, x3: '); readln(x1,x2,x3);
write('Введите A, E: '); readln(a,e);
b:=e*(1-a)/a;
N:=0; {число итераций}
repeat
N:=N+1;
y1:= 0.1362*x2-0.1790*x3+16.1433;
y2:=-0.2238*y1+0.0909*x3+25.3154;
y3:= 0.1739*y1+0.2875*y2+21.3777;
p:=sqrt(sqr(x1-y1)+sqr(x2-y2)+sqr(x3-y3));
x1:=y1; x2:=y2; x3:=y3;
until p<=b;
writeln('x1 = ',x1:8:6);
writeln('x2 = ',x2:8:6);
writeln('x3 = ',x3:8:6);
writeln('Число итераций - N = ',N);
readln
end.
Введите x1, x2, x3: 0 0 0
Введите A, E: 0.2218 0.0001
x1 = 13.999370
x2 = 25.000219
x3 = 30.999753
Число итераций - N=6
Как видно из примера, по сравнению с методом итераций решение получено за меньшее количество шагов.
II. Рассмотрим практическую схему преобразования исходной СЛУ, гарантирующую сходимость метода Зейделя.
Пусть система записана в матричной форме: Ax=b.
Умножим левую и правую части слева на матрицу AT: ATAx= AT b.
Обозначим: ATA=C, AT b=d.
Преобразованная система станет иметь вид: Cx=d. Такую систему называют нормальной:
· матрица C является симметричной;
· все элементы главной диагонали матрицы C положительны. Нормальную систему легко привести к виду:
xi =å aij x j | + b j, | (i = 1,2,¼, n), где ai = - | cij | (j ¹ i) | и bi | = | di | . | ||||||||||||||
cii | ||||||||||||||||||||||
j ¹ i | cii | |||||||||||||||||||||
Вычислительные формулы имеют вид: | ||||||||||||||||||||||
ì | n | |||||||||||||||||||||
ï y 1 = å a 1 j x j + b 1 | ||||||||||||||||||||||
ï | j =1 | |||||||||||||||||||||
ï | n | |||||||||||||||||||||
ï y 2 | = a 21 y 1 + å a 2 j x j + b 2 | |||||||||||||||||||||
ï | j =1 | |||||||||||||||||||||
ï | ||||||||||||||||||||||
ï... | ||||||||||||||||||||||
í | i -1 | n | ||||||||||||||||||||
ï | ||||||||||||||||||||||
=å aij y j +å aij x j + bi | ||||||||||||||||||||||
ï yi | ||||||||||||||||||||||
ï | j =1 | j = i | ||||||||||||||||||||
ï... | ||||||||||||||||||||||
ï | n -1 | |||||||||||||||||||||
ï yn =å anj y j + ann xn + bn | ||||||||||||||||||||||
î | ||||||||||||||||||||||
ï | j =1 | |||||||||||||||||||||
Рассмотрим на примере. | ||||||||||||||||||||||
æ 3,25 | 14,52 | -1,32 ö | æ | 367,58 | ö | æ 3,25 | 32,02 | 7,21 | ö | |||||||||||||
ç | - 4,36 | ÷ | ç | ÷ | ç | - 4,36 | ÷ | |||||||||||||||
A = ç | 32,02 | 5,73 | ÷ | b = ç | 516,91 | ÷ | AT = ç | 14,52 | 11,92 | ÷ | ||||||||||||
ç | 7,21 | 11,92 | - 41,46 | ÷ | ç | - 886,32 | ÷ | ç | -1,32 | 5,73 | - 41,46 | ÷ | ||||||||||
è | ø | è | ø | è | ø | |||||||||||||||||
æ | 1087,827 | - 6,474 | -119,742 ö | æ | 11355,726 ö | |||||||||||||||||
ç | - 6,474 | - 538,3524 | ÷ | D = | ç | - 7481,4004 | ÷ | |||||||||||||||
C = AT A = ç | 371,9264 | ÷ | AT b = ç | ÷ | ||||||||||||||||||
ç | -119,742 | - 538,3524 | 1753,5069 | ÷ | ç | 39223,5159 | ÷ | |||||||||||||||
è | ø | è | ø |
После деления на диагональные элементы получим:
æ | - 0,0060 | - 0,1101ö | æ | 10,4389 ö | ||||
ç | - 0,0174 | -1,4475 | ÷ | ç | ÷ | |||
a = ç | ÷ | b = ç | - 20,1153÷ | |||||
ç | - 0,0683 | - 0,3070 | ÷ | ç | 22,3686 | ÷ | ||
è | ø | è | ø |
Рассмотрим решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Зейделя (взяв в качестве метрики, используемой в программе, r 1 (x, y) = max xi - yi).
1£ i £ n
program slu_zejdel2;
var x1,y1,x2,y2,x3,y3,e,a,b,c: real;
N: integer;
begin
write('Введите X1, X2, X3 - '); readln(x1,x2,x3); write('Введите погрешность Е - '); readln(e); N:=0; {число итераций}
repeat
N:=N+1;
y1:= 0.0060*x2+0.1101*x3+10.4389;
y2:= 0.0174*y1+1.4475*x3-20.1153;
y3:= 0.0683*y1+0.3070*y2+22.3686;
a:=abs(y1-x1); b:=abs(y2-x2); c:=abs(y3-x3);
if a<b then a:=b;
if a<c then a:=c;
x1:=y1; x2:=y2; x3:=y3;
until a<=e;
writeln('X1 = ',x1:11:8);
writeln('X2 = ',x2:11:8);
writeln('X3 = ',x3:11:8);
writeln('Число итераций - N = ',N);
readln
end.
Введите X1, X2, X3 - 0 0 0
Введите погрешность Е -.0001
X1 = 14.00204110
X2 = 25.00128107
X3 = 31.00033269
Число итераций - N = 18
Решением
Дифференциального
Уравнения
(1)
(1) называется функция
y(x),
подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: y ¢(x) = f (x, y (x)).
График решения y=y(x) называется интегральной кривой.
Задача Коши для дифференциального уравнения(1)состоит в том,чтобы найтирешение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 (2).Пару чисел (x0,y0) называют начальными данными.
Решение задачи Коши называется частным решением дифференциальногоуравнения (1)при условии(2).
Геометрически задача Коши означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x),проходящую через заданную точку (x0,y0).
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
Пусть функция f(x,y) – правая ч
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!