Управляемая система, будучи стабильной, имеет странный нехаотический аттрактор . Странный не-

Хаотический аттрактор имеет отрицательный наибольший показатель Ляпунова (следовательно, он нехаотический),

Но фрактал (поэтому странно). Как и в случае негладких обобщенных

Синхронизация хаоса, отношения между ведомой и ведущей системами для

Странные нехаотические аттракторы весьма нетривиальны: функциональная связь между

Квазипериодическое управление и ведомая система либо не существует, либо представлена

Фрактальная кривая.

Мы проиллюстрируем такой странный нехаотический аттрактор с квазипериодически управляемым

Логистическая карта

х (t + 1) = х (t) + ω,

y (t + 1) знак равно a - y 2 (t) + b cos 2 π x (t).

(15.18)

Здесь ω = (

√

5 − 1) / 2 можноинтерпретироватькакчастотуиррациональноговоздействия. Дваслучая

показаны на рис. 15.6, что соответствует гладкому и фрактальному соотношению между y и

Х. В обоих случаях показатель Ляпунова в управляемой системе отрицательный, так что

Режим на рис. 15.6б не хаотичен.

Стр. Решебника 375

Библиографические примечания

353

15.4

Библиографические примечания

Влияние периодического воздействия на различные хаотические системы изучено численно.

в статьях [Aizawa and Uezu 1982; Анищенко и Астахов 1983; Кузнецов

И другие. 1985; Безаева и др. 1987; Ланда и Перминов 1987; Landa et al. 1989; Дык-

man et al. 1991; Rosenblum 1993; Франц и Чжан 1995; Тамура и др. 1999]. Экспер-

Измерения с хаотическим генератором обратной волны были выполнены Безручко.

[1980] и Безручко и др. [1981].

Была описана синхронизация идентичных нелинейных систем, управляемых одним и тем же шумом.

записано в статьях [Пиковский 1984б, с, 1992; Yu et al. 1990]. В нашей презентации мы

следуйте [Пиковский 1984b, c]. Зависимость наибольшего показателя Ляпунова от

шум в хаотических системах изучался Мацумото и Цуда [1983]. Например

идентичных хаотических систем, управляемых одним и тем же шумом, см. [Maritan and Banavar

1994; Хури и др. 1996, 1998; Али 1997; Longa et al. 1997; Sánchez et al. 1997;

Минай и Ананд 1998, 1999а; Шуай и Вонг 1998]. В частности, [Маритан и

Banavar 1994; Shuai and Wong 1998] наблюдали ложную синхронизацию из-за конечного

точность компьютерного моделирования, см. [Пиковский 1994; Герцель и Фройнд 1995]

Для обсуждения этого артефакта. Эксперименты с электронными схемами, управляемыми шумом.

сообщается в [Khoury et al. 1998].

Однонаправленная связь хаотических систем изучена теоретически и

численно в [Pecora and Carroll 1991; Рулков и др. 1995; Abarbanel et al. 1996;

Kapitaniak et al. 1996; Кокарев и Парлитц 1996; Konnur 1996; Pyragas 1996, 1997;

Рулков и Сущик 1996; Али и Фанг 1997; Браун и Рулков 1997a, b; Hunt et al.

Лю и Чен 1997; Parlitz et al. 1997; Кэрролл и Джонсон 1998; Джонсон

И другие. 1998; Baker et al. 1999; Лю и др. 1999; Минай и Ананд 1999b; Парлитц и

Кокарев 1999; Santoboni et al. 1999]. В нашем обсуждении гладких и негладких

обобщенная синхронизация, мы следуем Paoli et al. [1989a]; Hunt et al. [1997] и

0,0

0,5

1.0

Икс

–1

0

1

y

0,0

0,5

1.0

Икс

а)

(б)

Рисунок 15.6. Аттракторы в квазипериодически вынужденном логистическом отображении (15.18). а)

Для ε = 0,3 и a = 0,9 управляющая переменная y является гладкой функцией x; следовательно, один

можно говорить о гладкой обобщенной синхронизации между x и y. (б) Для ε = 0,45

и a = 0,8 наблюдается фрактальный странный нехаотический аттрактор: хотя

Система следует за движением, между переменными y и x нет гладкой связи.

Стр. Решебника 376

354

Синхронизация сложной динамики внешними силами

Stark [1997], см. Также статьи [Kaplan et al. 1984; Badii et al. 1988; Mitschke et al.

1988; Паоли и др. 1989b; Mitschke 1990; Pecora and Carroll 1996], где ответ

линейных систем к хаотическим сигналам, а также [de Sousa Vieira и

Лихтенберг 1997]. Экспериментальные наблюдения обобщенной синхронизации см.

[Peterman et al. 1995; Abarbanel et al. 1996; Готье и Бьенфанг 1996; Рулков

и Сущик 1996; Цукамото и др. 1997; Tang et al. 1998b]. Peng et al. [1996] и

Tamasevicius и ˆCenys [1997] обсуждают, как синхронизация гиперхаотических систем

Может быть достигнуто с помощью одного скалярного хаотического сигнала.

Были введены странные нехаотические аттракторы в квазипериодически управляемые системы.

в [Grebogi et al. 1984] и с тех пор изучаются как теоретически [Ромейрас

И другие. 1987; Ding et al. 1989; Бриндли и Капитаниак 1991; Хеги и Хаммел

Пиковский и Фёдель 1994, 1995; Кузнецов и др. 1995; Keller 1996; Лай

B; Нисикава и Канеко 1996; Ялчинкая и Лай 1997; Prasad et al. 1998 и

ссылки в нем] и экспериментально [Ditto et al. 1990; Чжоу и др. 1992; Ян и

Билимгут 1997; Чжу и Лю 1997].

Стр. Решебника 377

Приложения

Стр. Решебника 378

Стр. Решебника 379

Приложение A1

Открытие синхронизации Христианом Гюйгенсом

В этом Приложении мы представляем переводы оригинальных текстов Христиана Гюйгенса.

где он описывает открытие синхронизации [Huygens 1967a, b].

A1.1

Письмо Христиана Гюйгенса отцу,

Константин Гюйгенс 1

Февраля 1665 г.