Оценивается не как усредненная величина, а в каждой точке сигнала. Этот метод

используется в машиностроении для определения упругих и демпфирующих свойств

колебательной системы [Фельдман 1994]. Этот пример иллюстрирует важное свойство

HT: может применяться к нестационарным данным.

Периодический сигнал

В качестве следующего примера возьмем решение уравнения Ван дер Поля (ср. (7.2))

¨ х - (1 - х 2) ˙ х + х = 0.

(A2.5)

Для выбранных параметров форма волны существенно отличается от синусоиды (рис. П2.2а),

И фазовый портрет системы (П2.5) не круг. Соответственно,

Стр. Решебника 386

364

Приложение А2

мгновенная амплитуда A (T) не постоянна, а колеблется (рис. A2.2a) с

частота 2 ω = 2 · 2 π / T, где T - период колебания. Рост

мгновенная фаза не совсем линейна; действительно, φ (t) - ω t осциллирует с

частота 2 ω (рис. П 2.2 б, в). Напоминаемчитателю, чтоаналитическийсигнальныйподход

Дает только оценку истинной фазы (см. главу 7), которая должна увеличиваться

Линейно со временем.

Хаотический сигнал

С точки зрения нелинейного анализа временных рядов (см., Например, [Kantz and Schreiber

1997]) HT можно рассматривать как двумерное вложение в координатах

0

50

100

Время

0,9

1.0

1.1

1.2

1.3

d φ / dt

–1,2

–0,6

0,0

0,6

1.2

Х (т), А (т)

0

50

100

Время

а)

(б)

(c)

(г)

Рисунок А2.1. Бесплатно

Колебания x (t) линейной

(а) и нелинейный

(Дуффинга) (в) осцилляторы. В

Мгновенные амплитуды

A (t), рассчитанный с помощью

Преобразование Гильберта показано

Жирными линиями.

Соответствующий

Мгновенные частоты

d φ / dt показаны на (b) и

(г). Из [Розенблюма и

Kurths 1998], рис. 1,

Авторское право Springer-Verlag.

0

50

100

φ

(т)

0

50

100

Время

–0,5

0,0

0,5

φ (t) −ω

т

–2

0

2

Х (т), А (т)

а)

(б)

(c)

Рисунок A2.2. Решение

Уравнение Ван дер Поля

X (t) и его мгновенная

Амплитуда A (t) (жирная линия)

(а). Мгновенная фаза

φ растетпрактическилинейно

в (б); тем не менее, маленький

Колебания видны в

повышенное разрешение (c);

здесь ω - среднее

Частота.

Стр. Решебника 387

A2.2 Примеры

365

(с, с H). Выберем в качестве наблюдаемой координату x системы Рёсслера (10.2).

Фазовый портрет этой системы в координатах (x, x H) показан на рис. П2.3а; можно

Видим, что он очень похож на «истинный» портрет осциллятора Ресслера в координатах

(x, y) (рис. П2.3b). 1 Мгновенные амплитуда и фаза показаны на рисунке A2.4.

Хотя фаза φ растетпрактическилинейно, небольшиенерегулярныеколебанияэтого

Рост тоже виден. Это согласуется с известным фактом, что колебания системы

Хаотичны, но спектр мощности x (t) содержит очень резкий пик.

Отметим, что HT в некотором смысле обеспечивает оптимальное двумерное вложение. Действительно, если

один использует технику Такенса [1981], чтобы восстановить фазовый портрет из сигнала с

Периода T, то временная задержка T / 4 гарантирует, что аттрактор не растянут по диагонали.

Выполнение HT эквивалентно выбору такой задержки для каждой спектральной компоненты

Сигнал.

–20

–10

0

10

20

Икс

–20

–10

0

10

20

Икс

ЧАС

–20

–10

0

1

0

Икс

–20

–10

0

10

20

y

а)

(б)

Рисунок А2.3. Фазовый портрет системы Рёсслера в координатах (x, x H) (а) и

в исходных координатах (x, y) (b).

0

50

100

150

Время

–0,5

0,0

0,5

φ (t) −ω

т

–10

0

10

Х (т), А (т)

а)

(б)

Рисунок А2.4. Решение

Система Рёсслера x (t) и

Его мгновенная амплитуда

A (t) (жирная линия) (а). В

мгновенная фаза φ растет

Практически линейно,

Тем не менее, небольшие нерегулярные

Колебания видны в

повышенное разрешение (б).

Из [Розенблюма и

Kurths 1998], рис. 2,

Авторское право Springer-Verlag.

Стр. Решебника 388

366

Приложение А2

Электрокардиограмма человека

В качестве примера сложного сигнала возьмем запись ЭКГ человека (рис. П2.5). Мы

Видим, что точка на плоскости (s, s H) совершает два поворота, соответствующих таковому

Называемые зубцами R и T соответственно (маленькие петли, соответствующие зубцам P,

Не видно при таком увеличении). Важно то, что траектории в (s, s H) проходят

Через происхождение, и поэтому фаза не всегда определяется. Мы не сталкивались

эта проблема в предыдущих примерах из-за простой структуры сигналов

Там. Действительно, обычная процедура перед вычислением HT заключается в вычитании среднего

значение из сигнала. Часто это гарантирует, что траектории вращаются вокруг начала координат;

Мы неявно использовали этот факт ранее. Чтобы вычислить фазу кардиограммы,

мы должны перевести начало координат в некоторую точку s ∗, s ∗ H и вычислить фазу и

Амплитуда согласно

A (t) e i φ (t) = (s - s ∗

) + i (s H - s ∗ H).

(A2.6)

Однозначно, таким образом мы теряем однозначность в определении фазы: теперь она

зависит от выбора происхождения. Два разумных варианта показаны на рис. A2.5c.

Двумя стрелками. Очевидно, что в зависимости от нового происхождения в этой плоскости один кардиоцикл

(интервал между двумя ударами сердца) соответствует увеличению фазы на 2 π или

4 π. Этоотражаеттотфакт, что наше понимание того, что такое «одно колебание», зависит от