Скачать таблицу косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов

Основные свойства степеней

"Свойства степеней" - довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки "Свойства степеней" в формате.pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.

Скачать шпаргалку "Свойства степеней" (формат.pdf)

Свойства степеней (кратко)

1. a0=1, если a≠0

2. a1=a

3. (−a)n=an, если n - четное

4. (−a)n=−an, если n - нечетное

5. (a⋅b)n=an⋅bn

6. (ab)n=anbn

7. a−n=1an

8. (ab)−n=(ba)n

9. an⋅am=an+m

10. anam=an−m

11. (an)m=an⋅m

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степени
Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице.
a0=1, если a≠0
Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2-е свойство степени
Любое число в первой степени равно самому числу.
a1=a
Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3-е свойство степени
Любое число в четной степени положительно.
an=an, если n - четное (делящееся на 2) целое число
(−a)n=an, если n - четное (делящееся на 2) целое число
Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4-е свойство степени
Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак.
an=an, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число
(−a)n=−an, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число
Например: 53=125, (−3)3=−33=−27, (−1)11=−111=−1

5-е свойство степени
Произведение чисел, возведенн ое в степень, можно представить как произведение чисел возведенн ых в эту степень (и наоборот).
(a⋅b)n=an⋅bn, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6-е свойство степени
Частное (деление) чисел, возведенн ое в степень, можно представить как частное чисел возведенн ых в эту степень (и наоборот).
(ab)n=anbn, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7-е свойство степени
Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.)
a−n=1an, при этом a и n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: 7−2=172=149

8-е свойство степени
Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени.
(ab)−n=(ba)n, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9-е свойство степени
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним.
an⋅am=an+m, при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44

10-е свойство степени
При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.
anam=an−m, при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (1,4)2(1,4)3=1,42−3=1,4−1, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410

11-е свойство степени
При возведении степени в степень степени перемножаются.
(an)m=an⋅m
Например: (23)2=23⋅2=26=64

См. также Таблица степеней
См. также Степени и корни
См. также Свойства корней

Свойства корней

Скачать шпаргалку "Свойства корней" (формат.pdf)

Свойства корней (кратко)

1. a⋅b−−−−√n=a√n⋅b√n

2. ab−−√n=a√nb√n

3. a√m−−−√n=a√n⋅m

4. a√n=ak−−√n⋅k

5. ak−−√n=(a√n)k

6. an−−√n=a, если n нечетно
an−−√n=|a|, если n четно

7. ba√n=a⋅bn−−−−−√n

8. Если 0≤a≤b, то a√n≤b√n

Свойства корней (с примерами)

1-е свойство корней
Корень из произведения чисел равен произведение корней из этих чисел.
a⋅b−−−−√n=a√n⋅b√n
Например: 8⋅27−−−−−√3=8√3⋅27−−√3=2⋅3=6

Замечание 1: Обратите внимание, что под корнем четной степени может быть только неотрицательное число! То есть следующее преобразование не допустимо (−4)⋅(−9)−−−−−−−−−−−√2=−4−−−√2⋅−9−−−√2, хотя выражение в левой части может быть вычислено: (−4)⋅(−9)−−−−−−−−−−−√2=36−−√2=6
Замечание 2: Квадратный корень или корень второй степени (n=2) это частный случай арифметического корня. В этом случае обычно степень корня не указывают: 45−−√2=45−−√

2-е свойство корней
Корень из частного чисел равен частному корней из этих чисел.
ab−−√n=a√nb√n, b≠0
Например: 127−−−√3=1√327−−√3=13

3-е свойство корней
При извлечении корня из корня, степени корней перемножаются.
a√m−−−√n=a√n⋅m
Например: 5√4−−−√3=5√3⋅4=5√12, 7√3−−−√=7√2⋅3=7√6, 16−−√−−−−√=16−−√2⋅2=16−−√4=4

4-е свойство корней
Если число под знаком корня возвести в степень k, а показатель степени умножить на k, то первоначальное выражение не изменится.
a√n=ak−−√n⋅k
Например: 27−−√3=272−−−√3⋅2=729−−−√6, и наоборот 81−−√6=92−−√2⋅3=9√3

5-е свойство корней
Корень из числа возведенного в степень равен корню из этого числа возведенному в эту степень.
ak−−√n=(a√n)k
Например: 93−−√=(9√)3=33=27

6-е свойство корней
Корень степени n из числа в степени n равен самому числу, если n нечетно, или модулю числа, если n четно.
an−−√n=a, если n нечетно
an−−√n=|a|, если n четно
Например: 85−−√5=8, (−7)3−−−−−−√3=−7, 356−−−√6=|35|=35, (−5)4−−−−−−√4=|−5|=5

7-е свойство корней
Чтобы внести число под знак корня нужно возвести его в степень корня.
ba√n=a⋅bn−−−−−√n
Например: 23√=3⋅22−−−−−√=3⋅4−−−−√=12−−√, и, наоборот,
18−−√3=2⋅27−−−−−√3=2⋅33−−−−−√3=32√3

8-е свойство корней
Если первое число меньше второго, то при извлечении корня одной и той же степени из обоих чисел, это неравенство сохраняется.
Если 0≤a≤b, то a√n≤b√n
Например: 4<16 и 4√<16−−√ (2<4)

См. также Таблица корней
См. также Степени и корни
См. также Свойства степеней

Таблица степеней до 10

Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n -ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: "в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить число b?" или "Какое число в степени n дает число b?".

Таблица степеней до 10

	1 n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n	9 n	10 n
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
4	1	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561	10000
5	1	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049	100000
6	1	64	729	4096	15625	46656	117649	262144	531441	1000000
7	1	128	2187	16384	78125	279936	823543	2097152	4782969	10000000
8	1	256	6561	65536	390625	1679616	5764801	16777216	43046721	100000000
9	1	512	19683	262144	1953125	10077696	40353607	134217728	387420489	1000000000
10	1	1024	59049	1048576	9765625	60466176	282475249	1073741824	3486784401	10000000000