Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.

Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень n обеих частей уравнения.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1. если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;

2. если показатель корня – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;

3. при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.

Пример:

1. Решить уравнение. 3x−2−−−−−−√4=2

Решение:

ОДЗ.

3x−2≥03x≥2 /: 3x≥23

Возведём обе части уравнения в четвёртую степень.

Зx−2=16
3x=16+2
3x=18

x=6∈ ОДЗ

Ответ: x=6

2. Решить уравнение. x2−24−−−−−−√=1

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат.

x2−24=1x2=24+1x2=25

Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня −5 и 5 .
Произведем проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной x в исходное уравнение.

Проверка.
При x1=−5(−5)2−24−−−−−−−−−√=25−24−−−−−−−√=1√=1 - верно
При x2=552−24−−−−−−−√=25−24−−−−−−−√=1√=1 - верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение имеет два корня
Ответ: −5 и 5.

3. Решить уравнение. 9−2x−−−−−√8=−12

Решение: Уравнение не имеет корней. Корень чётной степени - неотрицательное число.

Реши уравнение. 5x+7−−−−−√3=−2

Решение: Возведём обе части уравнения в куб.

5x+7=−85x=−8−75x=−15x=−3

Ответ: x=−3

 

Адрес и телефонshahmatovopark.ru

Степенью называется выражение вида: , где:

§ — основание степени;

§ — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. По определению: .

2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:

3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

§ a > 0;

§ n — натуральное число;

§ m — целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Корень из квадрата

Например, . А решения уравнения соответственно и

Кубический корень

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .

Если — чётно.

§ Тогда, если a < 0 корень n -ой степени из a не определен.

§ Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n -ой степени из a и обозначается

Если — нечётно.

§ Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .

Пример 4.

Таблица корней

Корень третьей степени (3)		Корень седьмой степени (7)
Корень четвертой степени (4)		Корень восьмой степени (8)
Корень пятой степени (5)		Корень девятой степени (9)
Корень шестой степени (6)		Корень десятой степени (10)

Яндекс.Директ

Новостройка премиум-классаОт 60 до 260 кв.м. с видом на Кремль! Статусное жилье в самом центре МосквыАдрес и телефонwinehouse-hals.ru

Купить квартиру от застройщикаНовый микрорайон. Монолит-кирпич. 12 км от МКАД. Рядом ж/д станция.Адрес и телефонhorizons-development.ru

· Высшая математика

Корни и степени

Формулы сокращенного умножения

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Модуль числа

Логарифм

Биквадратное уравнение

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами , и законом , ,

— разность данной арифметической прогрессии;

§ Если — арифметическую прогрессию называют возрастающей;

§ Если — арифметическую прогрессию называют убывающей;

§ В случае, если — все члены прогрессии равны числу , а ариф.прогрессию называют стационарной.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Пример 1.

Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.

Пример 2.

Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23,..., , если ее -ый член равен 239.

Пример 3.

Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15,..., , если ее сумма равна 306.

Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое определение: модулем числа называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки . Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа
4. Модуль числа есть число неотрицательное
5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля	,
6. Если , то
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей
8.

 

· Алгебра

Высшая математика

· Арифметика

· Алгебра

· Основы линейной алгебры

· Линейное программирование

· Математический анализ

· Тригонометрия

· Математические методы в экономике

· Теория вероятностей

· Эконометрика

Смежные предметы

· Статистика

· Экономическая теория

· Логарифм положительного числа по основанию (обозначается ) — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить . b > 0, a > 0, а≠ 1.

· ,

· Пример:

·

· Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как .

· , , так как

· Натуральный логарифм — логарифм с основанием , обозначается

· Свойства логарифма

· Основное логарифмическое тождество

·

·

· Логарифм произведения — это сумма логарифмов

·

·

· Логарифм частного — это разность логарифмов

·

·

· Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

· Показатель степени логарифмируемого числа

· Показатель степени основания логарифма

· , в частности если m = n, мы получаем формулу: , например:

· Переход к новому основанию

· , частности, если c = b, то , и тогда:

·

·

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

§ называется первым коэффициентом;

§ называется вторым коэффициентом;

§ — свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице ().

Если в квадратном уравнении коэффициенты и не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, .

Значение неизвестного , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение является корнем квадратного уравнения , потому что или — это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

Пример 1.

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ: 0; 4.

ax² + c = 0, a≠0, с≠0

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим .

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если , то получаем два корня:

если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Пример 2.

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня и

ax² = 0, a≠0

Разделим обе части уравнения на , мы получим , . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень . В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень .

Теорема Виета

Теорема Виета — сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.

Обратная теорема — если сумма двух чисел x₁ и x₂ равна p, а произведение этих числе равно q, то числа x₁ и x₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.

Пример 3.

Разложим на множители квадратный трехчлен:

Сначала решим квадратное уравнение:

Получим: и

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

Новостройки в Москве от 4,5 млн рДо 30.11.14 первым 100 покупателям - квартира внутри МКАД от 100 т.р./м2!ЖК «Царицыно»·Ипотека 10,3%·Доступные квартирыc-n-n.ruМосква

Биквадратным уравнением — называется уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки .

Новое квадратное уравнение относительно переменной :

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения и . Решая эти два уравнения ( и ) относительно переменной , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Пример решения

Решим биквадратное уравнение . Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное такое, что . Тогда . Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:

Решая это квадратное уравнение, мы получим , . Так как , то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.

Ответ:

 

Понятие корня степени N

Корнем степени n из действительного числа a, где n - натуральное число, называется такое действительное число x, n -ая степень которого равна a.

Корень степени n из числа a обозначается символом . Согласно этому определению .

Нахождение корня n -ой степени из числа a называется извлечением корня. Число а называется подкоренным числом (выражением), n - показателем корня. При нечетном n существует корень n -ой степени для любого действительного числа a. При четном n существует корень n -ой степени только для неотрицательного числа a. Чтобы устранить двузначность корня n -ой степени из числа a, вводится понятие арифметического корня n -ой степени из числа a.

Основные свойства степеней

"Свойства степеней" - довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки "Свойства степеней" в формате.pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.

Скачать шпаргалку "Свойства степеней" (формат.pdf)

Свойства степеней (кратко)

1. a0=1, если a≠0

2. a1=a

3. (−a)n=an, если n - четное

4. (−a)n=−an, если n - нечетное

5. (a⋅b)n=an⋅bn

6. (ab)n=anbn

7. a−n=1an

8. (ab)−n=(ba)n

9. an⋅am=an+m

10. anam=an−m

11. (an)m=an⋅m

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степени
Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице.
a0=1, если a≠0
Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2-е свойство степени
Любое число в первой степени равно самому числу.
a1=a
Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3-е свойство степени
Любое число в четной степени положительно.
an=an, если n - четное (делящееся на 2) целое число
(−a)n=an, если n - четное (делящееся на 2) целое число
Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4-е свойство степени
Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак.
an=an, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число
(−a)n=−an, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число
Например: 53=125, (−3)3=−33=−27, (−1)11=−111=−1

5-е свойство степени
Произведение чисел, возведенн ое в степень, можно представить как произведение чисел возведенн ых в эту степень (и наоборот).
(a⋅b)n=an⋅bn, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6-е свойство степени
Частное (деление) чисел, возведенн ое в степень, можно представить как частное чисел возведенн ых в эту степень (и наоборот).
(ab)n=anbn, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7-е свойство степени
Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.)
a−n=1an, при этом a и n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: 7−2=172=149

8-е свойство степени
Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени.
(ab)−n=(ba)n, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9-е свойство степени
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним.
an⋅am=an+m, при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44

10-е свойство степени
При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.
anam=an−m, при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа
Например: (1,4)2(1,4)3=1,42−3=1,4−1, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410

11-е свойство степени
При возведении степени в степень степени перемножаются.
(an)m=an⋅m
Например: (23)2=23⋅2=26=64

Аблица степеней до 10

Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n -ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: "в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить число b?" или "Какое число в степени n дает число b?".

Таблица степеней до 10

	1 n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n	9 n	10 n
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
4	1	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561	10000
5	1	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049	100000
6	1	64	729	4096	15625	46656	117649	262144	531441	1000000
7	1	128	2187	16384	78125	279936	823543	2097152	4782969	10000000
8	1	256	6561	65536	390625	1679616	5764801	16777216	43046721	100000000
9	1	512	19683	262144	1953125	10077696	40353607	134217728	387420489	1000000000
10	1	1024	59049	1048576	9765625	60466176	282475249	1073741824	3486784401	10000000000

 

Таблица квадратов

Таблица квадратов от 0 до 99

x2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

 

Квадрат суммы

(a+b)2=a2+2ab+b2 – квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Квадрат разности

(a−b)2=a2−2ab+b2 – квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Разность квадратов

a2−b2=(a−b)(a+b) – разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Куб суммы

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 – куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Куб разности

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 – куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Сумма кубов

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) – сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Разность кубов

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) – разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Таблица синусов

Таблица синусов в радианах

α	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π
sinα	0	12	2√2	3√2	1	0	−1	0

Таблица синусов в градусах

α	0∘	30∘	45∘	60∘	90∘	180∘	270∘	360∘
sinα	0	12	2√2	3√2	1	0	−1	0

Таблица синусов 1° – 180°

<

Sin(1°) 0.0175 Sin(2°) 0.0349 Sin(3°) 0.0523 Sin(4°) 0.0698 Sin(5°) 0.0872 Sin(6°) 0.1045 Sin(7°) 0.1219 Sin(8°) 0.1392 Sin(9°) 0.1564 Sin(10°) 0.1736 Sin(11°) 0.1908 Sin(12°) 0.2079 Sin(13°) 0.225 Sin(14°) 0.2419 Sin(15°) 0.2588 Sin(16°) 0.2756 Sin(17°) 0.2924 Sin(18°) 0.309 Sin(19°) 0.3256 Sin(20°) 0.342 Sin(21°) 0.3584 Sin(22°) 0.3746 Sin(23°) 0.3907 Sin(24°) 0.4067 Sin(25°) 0.4226 Sin(26°) 0.4384 Sin(27°) 0.454 Sin(28°) 0.4695 Sin(29°) 0.4848 Sin(30°) 0.5 Sin(31°) 0.515 Sin(32°) 0.5299 Sin(33°) 0.5446 Sin(34°) 0.5592 Sin(35°) 0.5736 Sin(36°) 0.5878 Sin(37°) 0.6018 Sin(38°) 0.6157 Sin(39°) 0.6293 Sin(40°) 0.6428 Sin(41°) 0.6561 Sin(42°) 0.6691 Sin(43°) 0.682 Sin(44°) 0.6947 Sin(45°) 0.7071

Sin(46°) 0.7193 Sin(47°) 0.7314 Sin(48°) 0.7431 Sin(49°) 0.7547 Sin(50°) 0.766 Sin(51°) 0.7771 Sin(52°) 0.788 Sin(53°) 0.7986 Sin(54°) 0.809 Sin(55°) 0.8192 Sin(56°) 0.829 Sin(57°) 0.8387 Sin(58°) 0.848 Sin(59°) 0.8572 Sin(60°) 0.866 Sin(61°) 0.8746 Sin(62°) 0.8829 Sin(63°) 0.891 Sin(64°) 0.8988 Sin(65°) 0.9063 Sin(66°) 0.9135 Sin(67°) 0.9205 Sin(68°) 0.9272 Sin(69°) 0.9336 Sin(70°) 0.9397 Sin(71°) 0.9455 Sin(72°) 0.9511 Sin(73°) 0.9563 Sin(74°) 0.9613 Sin(75°) 0.9659 Sin(76°) 0.9703 Sin(77°) 0.9744 Sin(78°) 0.9781 Sin(79°) 0.9816 Sin(80°) 0.9848 Sin(81°) 0.9877 Sin(82°) 0.9903 Sin(83°) 0.9925 Sin(84°) 0.9945 Sin(85°) 0.9962 Sin(86°) 0.9976 Sin(87°) 0.9986 Sin(88°) 0.9994 Sin(89°) 0.9998 Sin(90°) 1

< Sin(91°) 0.9998 Sin(92°) 0.9994 Sin(93°) 0.9986 Sin(94°) 0.9976 Sin(95°) 0.9962 Sin(96°) 0.9945 Sin(97°) 0.9925 Sin(98°) 0.9903 Sin(99°) 0.9877 Sin(100°) 0.9848 Sin(101°) 0.9816 Sin(102°) 0.9781 Sin(103°) 0.9744 Sin(104°) 0.9703 Sin(105°) 0.9659 Sin(106°) 0.9613 Sin(107°) 0.9563 Sin(108°) 0.9511 Sin(109°) 0.9455 Sin(110°) 0.9397 Sin(111°) 0.9336 Sin(112°) 0.9272 Sin(113°) 0.9205 Sin(114°)

12345Следующая ⇒

Поделиться с друзьями: