Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2021-06-02 | 27 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если непрерывна в точке а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а, т. е. и .
Если непрерывна в точке а, причем , то существует такая окрестность точки а, в которой знак функции совпадает со знаком числа .
Если и непрерывны в точке а, то функции , , (при условии, что ) непрерывны в точке а.
Теорема (непрерывность сложной функции) Если функция непрерывна в точке , функция непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая непрерывна в точке .
Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)
1. Ограниченность непрерывной на отрезке функции.
Теорема 1 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нём, т. е. .
Замечание. Теорема неверна на промежутках, не являющихся отрезками. Например, непрерывна на , но не ограничена на нём; функция непрерывна на R, но не ограничена на R.
2. Достижение точных граней.
Теорема 2 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает своих точной верхней и точной нижней граней, т.е.
и
3. Промежуточные значения непрерывной функции.
Теорема (Коши о нулях непрерывной функции)Если функция непрерывна на отрезке и принимает в его концах значения разных знаков, то существует точка такая, что .
Замечание. Теорема Коши о нулях непрерывной функции утверждает, что график непрерывной функции, принимающеё на концах отрезка значения разных знаков, пересекает ось Ox хотя бы в одной точке отрезка .
Теорема (Коши о промежуточных значениях)Если функция непрерывна на отрезке и , то для найдется такая точка , что .
|
Следствие Если функция непрерывна на отрезке , , , то множество значений, принимаю-щих функцией на отрезке , есть отрезок .
4. Существование и непрерывность функции, обратной к непрерывной.
Теорема Если функция непрерывна и строго возрастает на отрезке , то на отрезке определена функция , обратная к , непрерывная и строго возрастающая.
Примеры 1) Так как функция непрерывна и возрастает на , то на определена обратная функция , которая непрерывна на и строго возрастает.
2) функция строго возрастает и непрерывна на . Значит, на R определена, возрастает и непрерывна обратная функция .
Производная функции в точке
5.1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
Пусть – путь, пройденный материальной точкой за время t. Тогда средняя скорость материальной точки за промежуток есть величина, равная .
Тогда мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени .
Обозначим – приращение аргумента х,
– приращение функции , соответ-ствующее приращению .
О. Производной функции в точке называется число (если оно существует), равное пределу отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что и обозначается , т. е. .
Механический смысл производной. Если х – время, – путь, пройденный материальной точкой за время х, то – это скорость движения в момент времени или –мгновенная скорость изменения функции в момент времени .
Геометрический смысл производной. – это тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки с координатами и .
При – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке .
Если уравнение касательной, то .
Уравнение касательной: .
Примеры 1) .
, т. е. производная постоянной функции равна 0.
2) . Покажем, что . Действительно,
.
3) .
т. е. .
Теорема Если имеет производную в точке , то непрерывна в точке .
Замечание. Если разрывна в точке , то она не имеет производной в точке .
|
По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия односторонних производных:
, – правосторонняя и левосторонняя производные функции в точке .
Пример . Найти односторонние производные.
Решение. ,
.
Так как односторонние производные не равны, то не имеет производной в точке .
Дифференциал функции
Пусть функции определена в некоторой окрестности точки .
О. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке представимо в виде:
,
где А – постоянная, не зависящая от (но зависящая от ), а функция при .
Слагаемое называется дифференциалом функции в точке и обозначается или . Дифференциал – это главное линейная часть приращения функции. Тогда , .
Теорема Функция дифференцируема в точке тогда, и только тогда, когда она имеет производную в точке . При этом
.
Обычно обозначают и пишут .
Правила дифференцирования
Теорема 1 Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемы функции
(если ),
причем 1) ,
2) ,
3) , .
Следствие , где .
Теорема 3 (дифференцирование сложной функции) Если дифференцируема в точке , дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причем .
Таблица производных от основных элементарных функций
1)
2) , , ,
3) ,
4) ,
5) , 6)
7) , 8)
9) , 10)
11) , 12)
13) , 14)
15) , 16)
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!