История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2021-06-02 | 27 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Логическая символика и терминология
Для сокращения записей будем использовать логические символы:
– принадлежит,
– содержится,
– любой, для любого, каждый, для всех и т. п.,
– существует, найдется,
: или | – заменяет слова «такой, что…»,
! – единственный,
– знак следования (в записи условие А называется достаточным для В, условие В называется необходимым для А),
– знак равносильности (означает, что и при этом ),
■ – знак окончания доказательства.
Точные грани числовых множеств
Пусть .
О. Множество Х называется ограниченным сверху, если
: .
Число с называется верхней гранью множества Х.
О. Множество Х называется ограниченным снизу, если
: .
Число называется нижней гранью множества Х.
О. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, т.е. : .
Утверждение Множество Х ограничено тогда, и только тогда, когда : .
О. Максимальным элементом множества Х называется такое число а, что : .
О. Минимальным элементом множества Х называется такое число а, что : .
О. Множество Х называется не ограниченным сверху, если
: : .
О. Множество Х называется не ограниченным снизу, если
: : .
О. Множество Х называется неограниченным, если оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.
О. Точная верхняя грань – это наименьшая из всех верхних граней, т.е. (супремум), если
1) ; 2) .
Или .
О. Точная нижняя грань – это наибольшая из всех нижних граней, т.е. (инфинум), если
1) ; 2) .
Или .
Замечание. 1) Множество может не иметь максимального элемента, но иметь точную верхнюю грань. Например, таково множество .
2) Если существует максимальный элемент множества Х, то он совпадает с .
|
3) Если множество Х не ограничено сверху, то , если Х не ограничено снизу, то .
Теорема о существовании точной верхней грани Если множество Х ограничено сверху, то оно имеет, причем единственную, точную верхнюю грань.
Натуральные, рациональные, иррациональные числа
О. Множество М называется индуктивным, если
.
О. Множество натуральных чисел – это наименьшее индуктивное множество, содержащее 1. Обозначается N .
О. Множество целых чисел – это множество
Z N .
О. Множество рациональных чисел – это множество
Q целое, натуральное .
Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.
Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, . Иррациональное число – это всегда бесконечная непериодическая десятичная дробь.
2 Числовые последовательности
Определения
Функцией называется правило (закон), по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества Y.
Обозначается или . Множество Х при этом называется областью определения, а множество Y – областью значений.
Последовательность – это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел.
– n -ый член последовательности, номер члена .
Примеры .
О. Последовательность называется ограниченной сверху, если
: .
О. Последовательность называется ограниченной снизу, если
: .
О. Последовательность называется ограниченной, если
: .
О. Последовательность называется возрастающей с номера , если .
О. Последовательность называется убывающей с номера , если
.
Предел последовательности
О. Число а называется пределом последовательности , если
.
Обозначается .
окрестностью точки а называется симметричный интервал . Следующие записи равносильны:
.
Это значит, для любой окрестности точки а существует такой номер , что все члены последовательности с номерами, большими, чем этот, принадлежат этой окрестности, т.е.
|
.
Пример 1 , так как
(квадратные скобки означают целую часть числа).
Если существует , то говорят, что последовательность сходится, в противном случае – расходится.
Пример 2 Последовательность не имеет предела, так как нет такого числа, в окрестности которого находились бы все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера.
Предел функции в точке
Определение предела по Коши
Напомним, что окрестностью точки a называется множество
.
Если из этого множества удалить точку a, то получим проколотую окрестность .
О. Число А называется пределом функции в точке a, если
,
то есть для найдется такое , что для , отличающегося от a меньше, чем на , и не равного a, выполняется неравенство .
Пишут .
На языке окрестностей означает, что
.
Пример 1
Решение. Здесь . Нужно доказать, что
.
Действительно, , если . Т. о.,
.
Пример 2
Решение. , , если взять .
Значит, .
Теорема Если функция имеет предел в точке a, то он − единственный.
Доказательство. Допустим, и , причем для определенности будем считать, что .
Возьмем непересекающиеся окрестности точек и . Так как , то для . Т. к. , то для .
Рассмотрим . Тогда и . Противоречие. ■
Различные типы пределов
а) Односторонние пределы.
О. Число называется пределом слева функции в точке a и обозначается , если
.
Аналогично означает, что
.
Пределы слева и справа называются односторонними.
Обозначаются также и .
б) Бесконечные пределы в конечной точке.
, если .
Например, .
в) Предел в бесконечности.
, если .
Например, .
Предел монотонной функции
О. Функция называется возрастающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется неубывающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется убывающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется невозрастающей на множестве Х, если
.
Теорема 1 Для того, чтобы неубывающая функция имела предел при или , необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена на Х сверху.
Теорема 2 Для того, чтобы невозрастающая функция имела предел при или , необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена на Х снизу.
|
Бесконечно малые функции
О. Если , то функцию называют бесконечно малой при
Свойства бесконечно малых функций
1) Сумма конечного числа б.м. функций при есть б.м. функция при
2) Произведение б.м. функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки a функцию есть б.м. функция при
3) Произведение конечного числа б.м. функций при есть б.м. функция при
Первый замечательный предел
Теорема .
Второй замечательный предел
Сделав в последнем пределе замену , получим
.
Утверждение Если и , то
.
Пример 1 .
Пример 2 .
В последнем примере при получим .
4 Непрерывные функции
Определение
О. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в некоторой окрестности этой точки и .
То есть непрерывна в точке а, если: 1) определена в некоторой ; 2) ; 3) .
На языке это определение можно записать в виде:
или
.
О. Функция называется непрерывной слева в точке а, если она определена на и .
О. Функция называется непрерывной справа в точке а, если она определена на и .
Точки разрыва
О. Точка а называется точкой разрыва функции , если в этой точке функция не является непрерывной.
Т.е. а − точка разрыва функции , если выполняется одно из условий: 1) не определена в точке а; 2) не существует ;
3) .
О. Пусть точка а − точка разрыва функции . Если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, но они не равны, то точка а называется точкой разрыва I рода функции .
О. Если , то точка а называется устранимой точкой разрыва функции .
О. Если в точке а хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка а – точка разрыва II рода функции .
Примеры 1) точка разрыва I рода;
2) –устранимая точка разрыва, т.к. , по теореме о произведении б.м. функции на ограниченную;
3) – точка разрыва II рода, т.к. ;
4) – точка разрыва II рода, т.к. не существует.
Производная функции в точке
5.1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
Пусть – путь, пройденный материальной точкой за время t. Тогда средняя скорость материальной точки за промежуток есть величина, равная .
|
Тогда мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени .
Обозначим – приращение аргумента х,
– приращение функции , соответ-ствующее приращению .
О. Производной функции в точке называется число (если оно существует), равное пределу отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что и обозначается , т. е. .
Механический смысл производной. Если х – время, – путь, пройденный материальной точкой за время х, то – это скорость движения в момент времени или –мгновенная скорость изменения функции в момент времени .
Геометрический смысл производной. – это тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки с координатами и .
При – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке .
Если уравнение касательной, то .
Уравнение касательной: .
Примеры 1) .
, т. е. производная постоянной функции равна 0.
2) . Покажем, что . Действительно,
.
3) .
т. е. .
Теорема Если имеет производную в точке , то непрерывна в точке .
Замечание. Если разрывна в точке , то она не имеет производной в точке .
По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия односторонних производных:
, – правосторонняя и левосторонняя производные функции в точке .
Пример . Найти односторонние производные.
Решение. ,
.
Так как односторонние производные не равны, то не имеет производной в точке .
Дифференциал функции
Пусть функции определена в некоторой окрестности точки .
О. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке представимо в виде:
,
где А – постоянная, не зависящая от (но зависящая от ), а функция при .
Слагаемое называется дифференциалом функции в точке и обозначается или . Дифференциал – это главное линейная часть приращения функции. Тогда , .
Теорема Функция дифференцируема в точке тогда, и только тогда, когда она имеет производную в точке . При этом
.
Обычно обозначают и пишут .
Правила дифференцирования
Теорема 1 Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемы функции
(если ),
причем 1) ,
2) ,
3) , .
Следствие , где .
Теорема 3 (дифференцирование сложной функции) Если дифференцируема в точке , дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причем .
Таблица производных от основных элементарных функций
1)
2) , , ,
3) ,
4) ,
5) , 6)
7) , 8)
9) , 10)
11) , 12)
13) , 14)
|
15) , 16)
Точки локального экстремума
О. Функция имеет в точке локальный максимум, если существует такая окрестность точки , что
.
О. – точка строгого локального максимума, если
.
О. Функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки , что
.
О. – точка строгого локального максимума, если
.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются названием локальный экстремум.
Теорема Ферма
Теорема Ферма Если имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то .
Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику функции в точке локального экстремума параллельна оси Ох.
Теорема Ролля
Теорема Ролля (о нулях производной) Если непрерывна на отрезке , принимает в концах этого отрезка равные значения и дифференцируема на интервале , то существует точка , в которой .
Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы Ролля существует точка , в которой касательная к графику функции параллельна оси Ох.
6.4 Формула Лагранжа конечных приращений.
Теорема Лагранжа Если непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует такая точка , что .
Геометрический смысл теоремы Лагранжа: , в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей точки и .
Следствия 1)Если функция дифференцируема на интервале и , то на .
2) Если на , то не убывает на .
Если на , то не возрастает на .
3) Если две непрерывные функции имеют одинаковые производные, то они отличаются на , т.е. .
Правило Лопиталя
Теорема 1 Пусть и дифференцируемы на интервале , , , и существует конечный или бесконечный . Тогда тоже существует и равен А, т.е. .
Замечание. Утверждение теоремы справедливо и при , и при , и при .
Теорема 2 Пусть 1) и дифференцируемы при , причем при ;
2) , ;
3) существует конечный .
Тогда существует .
Замечание. Правило Лопиталя служит для раскрытия неопреде-ленностей вида и . Иногда к этим неопределенностям удается свести неопределенности .
Экстремумы функции
О. Точки, в которых , называются стационарными.
О. Точки, в которых непрерывна, а или не существует, называются критическими
Из теоремы Ферма следует, что если точка экстремума, то . Поэтому точки экстремума следует искать среди критических точек.
Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для , но не является точкой экстремума.
Теорема (I достаточное условие строгого экстремума) Пусть дифференцируема в некоторой и непрерывна в точке . Тогда 1) если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. , а , то – точка строгого локального минимума функции ;
2) если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то – точка строгого локального максимума функции .
Выпуклость функции
О. Функция называется выпуклой вверх на отрезке , если выполняется неравенство: .
То есть для любых двух точек и
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!