Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2021-06-02 | 27 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть задана последовательность .
О. Рассмотрим строго возрастающую последовательность натуральных чисел . Тогда последовательность называют подпоследовательностью последовательности .
О. Если существует предел подпоследовательности , то он называется частичным пределом.
О. Если обозначить – множество всех частичных пределов, то называется верхним пределом и обозначается , называется нижним пределом и обозначается .
Если не ограничена сверху, то . Если не ограничена снизу, то .
Утверждение 1 Если последовательность имеет предел, то любая её подпоследовательность сходится к тому же пределу.
Утверждение Число а является частичным пределом тогда, и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности. (Доказать)
Критерий Коши сходимости последовательности
O. Последовательность называется фундаментальной, если
.
Теорема (критерий Коши) Числовая последовательность сходится тогда, и только тогда, когда она является фундаментальной.
Предел функции в точке
Определение предела по Коши
Напомним, что окрестностью точки a называется множество
.
Если из этого множества удалить точку a, то получим проколотую окрестность .
О. Число А называется пределом функции в точке a, если
,
то есть для найдется такое , что для , отличающегося от a меньше, чем на , и не равного a, выполняется неравенство .
Пишут .
На языке окрестностей означает, что
.
Пример 1
Решение. Здесь . Нужно доказать, что
.
Действительно, , если . Т. о.,
.
Пример 2
Решение. , , если взять .
Значит, .
Теорема Если функция имеет предел в точке a, то он − единственный.
|
Доказательство. Допустим, и , причем для определенности будем считать, что .
Возьмем непересекающиеся окрестности точек и . Так как , то для . Т. к. , то для .
Рассмотрим . Тогда и . Противоречие. ■
Определение предела по Гейне
О. Число А называется пределом функции в точке a, если для любой последовательности , сходящейся к точке a, и такой, что , следует, что последовательность соответствующих значений функции сходится к числу А.
Т.е. и при .
Пример не существует.
Решение. Для доказательства достаточно указать две последова-тельности, сходящиеся к нулю, такие, что соответствующие значения функции стремятся к различным числам.
Возьмем при .
Но .
Теорема Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Различные типы пределов
а) Односторонние пределы.
О. Число называется пределом слева функции в точке a и обозначается , если
.
Аналогично означает, что
.
Пределы слева и справа называются односторонними.
Обозначаются также и .
б) Бесконечные пределы в конечной точке.
, если .
Например, .
в) Предел в бесконечности.
, если .
Например, .
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!