Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2021-05-27 | 28 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если - углы, образованные соответственно с положительными направлениями осей , и , единичной нормалью n к выбранной стороне поверхности S, тогда связь поверхностных интегралов первого и второго рода выражается следующим равенством
Поскольку n , то поверхностный интеграл первого рода в правой части этого равенства можно записать компактно в векторной форме
F · n ,
где F - векторное поле, определенное на S.
Векторное поле F можно ассоциировать с полем скоростей жидкости, протекающей через поверхность S. Тогда интеграл
F · n
можно истолковывать механически как общее количество жидкости, протекающее в единицу времени через поверхность в положительном направлении, т. е. вдоль n. Поэтому этот интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность .
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
где у – часть плоскости , заключенная в первом октанте.
Рис. 36.
Поверхность у можно выразить явно: , , где область - треугольник, ограниченный прямыми , и (рис. 36). При этом Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен ):
Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
,
где у – сфера .
В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности у и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии , , , а результат умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы , , , учитывая, что , . Тогда
а область интегрирования – четверть круга в параметрической форме имеет вид
, , .
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию . На сфере имеем . Таким образом данный интеграл равен
|
Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
где у – внешняя поверхность плоскости , ограниченной координатными плоскостями.
Интеграл будем вычислять покомпонентно, проектируя у на разные координатные плоскости (рис. 37).
Рис. 37.
Вычислим
Выражая явно через и , сведем этот интеграл к двойному интегралу по Подставляя в подынтегральную функцию и учитывая, что: , , получаем
Остальные интегралы
и
приводят к такому же результату. Поэтому искомый интеграл равен
Пример 4. Найти поток векторного поля F (x, y, z) x i + y j + z k через часть поверхности эллипсоида
лежащую в первом октанте в направлении внешней нормали.
Искомый поток равен
F · n =
Последний интеграл сводится к поверхностным интегралам второго рода
где , , - проекции эллипсоида на соответствующие координатные плоскости.
Рассмотрим, например,
где можно выразить через и из уравнения эллипсоида, - внутренность четверти эллипса
, , .
Очевидно, что
равен объему восьмой части эллипсоида, которая, как известно, равна . Аналогично находим и другие интегралы, отсюда получаем, что исходный интеграл первого рода, т. е. поток векторного поля, равен
Пример 5. Найти поток вектора F i j k через поверхность тела, ограниченного сферой , плоскостью и однополостным гиперболоидом .
Имеем
F · n
На плоскости и поверхность у проектируется дважды, с обеих сторон, к тому же поверхность у симметрична относительно этих плоскостей. Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми:
А теперь вычислим
Поверхность у состоит из трех частей (рис. 38):
Рис. 38.
а) сегмент сферы , для которого (внешняя нормаль образует с острый угол); проекция этого сегмента на есть круг (сегмент сферы пересекается с гиперболоидом по линии
—
окружность радиуса );
б) сегмент параболоида проектируется на в кольцо , (из уравнения гиперболоида);
в) третья часть – это круг , на котором .
Поэтому F · n
|
Пример 6. Найти массу полусферы , радиуса с поверхностной плотностью, равной .
Имеем
где
,
Следовательно,
Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, получаем
Контрольные вопросы:
Задания для самостоятельного решения:
1. Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода:
а) - дуга цепной линии , , , ;
б) - четверть эллипса , .
2. Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды , , .
3. Вычислить массу:
а) четверти эллипса , , расположенную в первой четверти, если ее линейная плотность равна у.
б) контура прямоугольника со сторонами, лежащими на прямых , , , , если ;
в) дуги параболы , заключенной между точками О (0,0) и , если .
4. Вычислить площади цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью , а сверху поверхностью , при условии, что известна направляющая этой цилиндрической поверхности:
а) , ;
б) , ().
5. С помощью криволинейного интеграла первого рода найти координаты центра тяжести кривых:
а) , ;
б) ().
6. Вычислить криволинейный интеграл:
а) ,
по разным путям, соединяющим точки , , :
1) - отрезок ОА;
2) - ломаная ОВА;
3) - ломаная ОСА;
4) - парабола, соединяющая точки и и симметричная относительно оси .
5) проверить выполнение условия Грина.
б)
по разным путям, соединяющим точки , , , :
1) ;
2) ;
3) ;
4) - дуга параболы .
в) ,
взятый вдоль различных путей, соединяющих точки , , , :
1) - отрезок ОА;
2) - парабола с осью симметрии , проходящая через точки О и А;
3) - парабола, проходящая через точки О и А с осью симметрии ;
4) - ломаная ОВА;
5) - ломаная ОСА.
7. Вычислить:
а) где - дуга кривой , , пробегая от точки к .
б) , где линия L – задана уравнениями , , .
в) , где L – дуга параболы , соединяющей точки и .
8. Вычислить криволинейные интегралы:
а) .
б) .
9. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:
а) где - окружность , пробегаемая против часовой стрелки.
|
б) - эллипс .
10. Найти работу силы:
а) F = i + j при перемещении материальной точки вдоль контура прямоугольника с вершинами , , , .
б) F = i + j при перемещении материальной точки вдоль эллипса
.
11. Вычислить поверхностные интегралы первого рода:
а) , где часть плоскости при условии , , .
б) , часть плоскости , лежащая в первом октанте.
в) где - боковая поверхность конуса ().
12. Вычислить следующие интегралы второго рода:
а) где у – внешняя сторона тетраэдра, ограниченного плоскостями , , , .
б) где - внешняя сторона эллипсоида
в) , где у – внешняя сторона сферы
13. Найти поток вектора:
а) F i j k через поверхность тела в направлении внешней нормали.
б) F 2 x i - y j через часть поверхности цилиндра , , , в направлении внешней нормали.
14. Найти массу поверхности:
а) куба , , , если поверхностная плотность в каждой точке равна .
б) куба , , , если поверхностная плотность в каждой точке равна .
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!