Ситуация 2: выбор оборудования с долгосрочным или краткосрочным периодом эксплуатации

Предположим, что фирма должна выбрать один из двух типов машин, А или Б для длительной эксплуатации (с учетом замены износившейся на такую же новую). Эти машины имеют разные конструкции, но одинаковые мощности и выполняют одни и те же операции. Машина А стоит 15000 дол. и прослужит 3 года, после чего, ее придется заменить. Стоимость ее эксплуатации составляет 4000 дол. в год. Машина Б более дешевая, ее цена

– 10000 дол., но прослужит она только 2 года, и стоимость ее эксплуатации

 

составляет 6000 дол. в год. Все это – реальные потоки денежных средств: затраты прогнозируются в долларах с постоянной покупательной способностью. Для простоты расчетов инфляция в нашем примере не учитывается. Данные по затратам приобретения и использования рассматриваемых машин приведены в таблице 4.16.

Поскольку обе машины производят одну и ту же продукцию и обладают одинаковой производительностью, выбор между ними возможно осуществить на основе сравнения затрат.

Таблица 4.16

Денежные потоки затрат по машинам, тыс. дол.

 

Потоки затрат	С0	С1	С2	С3	Приведенная стоимость при r=6%
Машина А	15	4	4	4	25,69
Машина Б	10	6	6	–	21,00

Допустим, что мы рассчитали приведенную стоимость затрат и получили 25,69 тыс. дол. и 21 тыс. дол., соответственно. Какую машину выбрать? Может быть ту, у которой приведенная стоимость затрат меньше, ведь результаты – то одни и те же?

Следует ли нам отдать предпочтение машине Б, поскольку приведенная стоимость связанных с нею затрат ниже? Не обязательно, поскольку машину Б придется менять на год раньше. То есть стоимость года работы более дешевой машины Б, с учетом ее более частой замены может оказаться больше. Как учесть эту помеху в различии сроков службы?

Самый простой вариант – это сложить эксплуатационные и инвестиционные затраты и поделить на срок службы. Получив, таким образом, усредненную стоимость года работы, с учетом замены, мы совершенно обоснованно выберем машину, обеспечивающую нужный нам результат с минимальными затратами. В таблице 4.17 приведены такие усредненные выплаты.

Таблица 4.17 Усредненные ежегодные затраты по использованию машин, с учетом их

замены, тыс. дол.

 

Потоки затрат	С0	С1	С2	С3	Приведенная стоимость при r=6%
Равномерные усредненные затраты по машине А	–	9,00	9,00	9,00
Равномерные усредненные затраты по машине Б	–	11,00	11,00	–

В предлагаемом подходе есть очевидная логика. Ведь если мы усредняем затраты с учетом покупки машины, то и в следующий период службы вновь приобретенной машины вида А или Б усредненные затраты будут такими же. Стало быть, следует выбрать ту машину, у которой среднегодовые затраты будут меньше.

Все бы было хорошо, если бы не одно «Но». Дело в том, что затраты, приведенные в таблицах 4.16 и 4.17 не эквивалентны друг другу. Что значит «не эквивалентны»? Да то, что приведенные стоимости исходных затрат проекта и «эквивалентных» усредненных затрат не равны друг другу.

Таким образом, будучи «в принципе правильным», наш подход неправильно эквивалентирует исходную модель проекта более удобной для принятия решения моделью с равномерными эквивалентными затратами.

Как исправить эту неточность. По-видимому, нужно построить модель с равномерными затратами, эквивалентную исходной в смысле приведенной стоимости. То есть для решения поставленной задачи, нам придется решить задачу эквивалентирования неравномерных потоков потоками равномерными. В экономической теории эта задача называется задачей определения эквивалентного аннуитета. В общем случае

 

 

Таким образом, нам предстоит научиться заменять денежные потоки произвольной конфигурации, одинаковыми по годам потоками, на том же интервале времени. При этом критерием правильности замены будет равенство приведенной стоимости исходных и эквивалентных потоков.

Для получения методики такой замены, следует, прежде всего, научиться рассчитывать приведенную стоимость PV_К,С К-летнего аннуитета С, то есть, денежного потока с ежегодной величиной С_t = С, для всех значений t от 1-го до К-го года.

 

Получив формулу, связывающую величину С и соответствующее значение PV_К,С, можно решить и обратную задачу – определить значение С для заданной величины PV_К,С, которая, в свою очередь, может быть рассчитана для исходной конфигурации денежных потоков на интервале К лет. В результате, мы и определим величину эквивалентного аннуитета С.

Решение задачи «в лоб», путем дисконтирования денежных потоков аннуитета С по годам, с последующим суммирование и получением PV_К,С мало что даст. – Для каждого значения К будет получаться уравнение К-той степени, решении которого в общем виде для К>3 отсутствует. Использование же компьютера не имеет смысла – проще сразу поставить ему задачу подобрать такое значение С, чтобы его приведенная стоимость за К лет была равна заданной величине. Но тогда никакой специальной методики не будет – решай каждую задачу «в лоб» на компьютере, да и только.

Разработка более изящной и удобной методика хорошо было бы получить аналитическую зависимость между С и PV_К,С, которую достаточно просто разрешить относительно С. И тут нам поможет то, что мы уже умеем решать просто.

Помните, мы выводили формулу для вычисления приведенной стоимости бесконечной ренты (перпетуитета), там мы были вынуждены это сделать, поскольку «лобовое» решение той задачи приводило к необходимости суммировать бесконечное число слагаемых. Поразмыслив, мы получили очень простую формулу:

PV = С/r.

Для получения идеи решения задачи про аннуитет, достаточно переписать эту формулу следующим образом

PV_∞,С = С/r.

Что нам дает добавка этих индексов. – Очень многое. Она подводит нас к мысли о том, что бесконечная рента – это аннуитет на интервале от 1 года до бесконечности. Тогда, чтобы получить аннуитет от 1-го до К-го года (А_1®К) нужно из аннуитета от 1 до ∞ (А_1®∞) вычесть аннуитет от К+1 до ∞ (АК+1®∞):

А 1 ® К = А 1 ® ∞– А К+1 ® ∞.

Справедливость сказанного можно проиллюстрировать рисунком 4.4.

После этого уже можно записать формулу для вычисления приведенной к нулевому году стоимости аннуитета с ежегодным потоком С, в течение К лет:

PV(А_1®К,C) = PV(А_1®∞,C) – PV(А_К+1®∞,C) = C/r – (С/r)×[1/(1+r)]^К =

= C×{1/r – (1/r)×[1/(1+r)] ^К}.                               (*)

Наличие сомножителя [1/(1+r)]^К у вычитаемого объясняется тем, что, при приведении ренты А_К+1®∞ к нулевому году, сначала осуществляется ее

приведение к году К, а потом, полученный поток К-го года (С/r), приводится к году 0.

 

Год   Поток	1	2	3	4	…	К	К+1	К+2	…		∞
А 1®∞	С	С	С	С	…	С	С	С	…		С
–	–
А К+1®∞	0	0	0	0	…	0	С	С	…		С
=	=
А 1®К	С	С	С	С	…	С	0	0		…	0

Рис. 4.4. Формирование аннуитета А_1®К, как разности рент А_1®∞ и А_К+1®∞

 

Величина {1/r – (1/r)×[1/(1+r)]^К} носит название «коэффициент аннуитета» КА и показывает приведенную стоимость аннуитета в 1 рубль (доллар, фунт и т.д.). Эта величина зависит от ставки дисконтирования r и продолжительности лет аннуитета К. Понятно, что ее легко рассчитать, для каждого конкретного случая. Кроме того, для избежания расчета, она может быть представлена в виде таблицы значений для различных К и r.

Из соотношения (*) следует, что величина эквивалентного аннуитета С равна:

С = PV/КА,

где PV – приведенная стоимость исходных эквивалентируемых потоков.

Проведенный расчет покажет вам, что машина с приведенной стоимостью (затрат), равной 21 000 дол., распределяемых на 2 года (1 и 2), хуже сравниваемой с ней машины, приведенная стоимость (затрат) которой равна 25 690 дол., и распределяется на 3 года (от 1 до 3). Вполне понятно, что при прочих равных условиях, машина А будет экономичней и её выбор

– предпочтительней.

Использование метода эквивалентного аннуитета позволяет сформулировать простое правило, для решения подобных задач.

 

Любое такое простое правило не может быть всеобщим. Правило строится на ряде мало реальных допущений: результаты использования машин тождественны; замена одной машины производится на подобную ей машину; цены машин и эксплуатационные издержки неизменны.

Следует отметить, что допущение о равенстве результатов эксплуатации сравниваемого оборудования совсем не обязательно. Ведь мы с вами научились заменять эквивалентным аннуитетом потоки любой конфигурации. При различных результатах нужно распределять по годам чистую приведенную стоимость использования оборудования, то есть рассчитывать эквивалентный аннуитет, обладающий той же чистой приведенной стоимостью, что и оцениваемая машина. При этом наше простое правило будет выглядеть следующим образом.

 

В случае же постоянных изменений заменяемого оборудования, его эксплуатационных и стоимостных характеристик эти простые правила не действуют. Но и в более сложных случаях метод эквивалентного аннуитета может оказаться полезным, поскольку он позволяет заменить денежный поток из «частокола» различных значений равномерным денежным потоком, с одной стороны, и очень просто сосчитать приведенную стоимость равномерных потоков. Это его свойство мы еще будем использовать в нашем курсе в дальнейшем.

Сейчас же отметим еще одну полезную особенность «аннуитетного метода».

И, наконец, следует понимать главную причину, вынуждающую и позволяющую нам применять в рассматриваемой задаче метод эквивалентного аннуитета. Причина заключается в том, что машины А и Б будут заменены в разное время и такими же машинами. Поэтому выбор между ними оказывает влияние на будущие инвестиционные решения и конфигурацию денежных потоков. Если первоначальный выбор не влияет на последующие решения, – например, потому, что ни одна из машин не будет заменена, – тогда вам нет необходимости принимать во внимание будущие решения.²¹