Другой слушатель: Вы схалтурили.

А.С.: Где?

Слушатель: Расстояние между Хибинами и Мурманском. Вы считаете по прямой. А на самом деле надо считать длину дуги.

А.С.: Да. Разница будет примерно одна сотая процента. Она почти равна нулю.

Слушатель: А при Джомолунгме?

А.С.: Будет примерно 10 или 15 метров18. Давайте еще что‑ нибудь пощупаем. Джомолунгма, какая высота?

Слушатель: 8848 метров.

А.С.: Да. 8848. Округлим до 9 километров.

h = 9, L = 300.

Заметьте, что вершина Джомолунгмы – это то, на какой высоте летит самолет, поэтому с самолета вы видите примерно на 300­350 километров. Если лететь из Петербурга в Москву, то, чи­сто теоретически, пролетая Бологое, можно увидеть и Москву, и Санкт‑Петербург, правда, для этого самолет должен развернуть­ся. Но если кто‑то говорит, что он видел Ташкент, летя из Москвы в Питер, он вас обманывает.

Когда вы летите па «гагаринской высоте», на высоте 100 км, со­ответственно, вы видите на 1000 километров. С 40‑метровой вышки видно на 20 километров. Что, конечно, довольно много.

А вышка в 10 метров даст обзор на 10 километров во все сто­роны. Вышка уменьшилась в 4 раза, а обзор в 2. Если увеличить вышку в 9 раз, обзор увеличится в 3 раза. Обратите внимание, не линейная зависимость, а корневая.

 

Переходим к Алисе.

Это пример того, как не работает наша интуиция. Вот она иногда работает, а иногда... Сейчас я вам расскажу чисто физи­ческую вещь. Итак, давайте сделаем следующее.

 

гибнет. Шахта ровная, проходит всю Землю насквозь. Земля не раска­ленная внутри, а саму Алису можно считать материальной точкой массы 40 кг. Ее уже ждут на той стороне американские ребята! А от ее массы в этой задаче вообще ничего не зависит.

Что происходит? Алиса падает (рис. 91). У нее меняется ско­рость. С какой скоростью меняется ее скорость? То есть какое у Алисы ускорение? Оно в первые моменты равно ускорению сво­бодного падения д; оно. грубо говоря, такое: д и 10 м/с² (точнее. 9,81).

То есть за одну секунду полета падающий человек увеличивает скорость на 10 м/с каждую секунду.

Слушатель: А у нее юбки парусят, это никак не влияет?

А.С.: Влияет. Поэтому пусть не парусят.

Слушатель: В вакууме...

А.С.: Да. это вакуумная Алиса. Потому что если есть сопроти­вление воздуха, то на некоторой скорости прекращается всякий рост скорости (например, для парашютиста, падающего без па­рашюта. скорость быстро стабилизируется на значении примерно 50 м/с). Вот. Поэтому пусть у нашей Алисы не парусят. И вооб­ще... она ведь бросилась в шахту вниз головой, чтобы удобнее было вылетать из нее на другой стороне Земли.

 

Рис. 92. А если отважная Алиса летит не сквозь Землю, а сквозь Юпи­тер? У него радиус в 11.2 раза больше земного. II она уже пролетела до глубины в 2.2 земных радиуса. Тогда всю массу Юпитера можно по­делить на две части: внутренний шар радиуса 9 (земных радиусов) и на­ружный шаровой слой толщины в 2.2 (земных радиуса). Точный мате­матический подсчет показывает, что суммарная сила, с которой шаро­вой слой притягивает к себе летящую Алису (да вы мне всё равно ведь не поверите!..) РАВНА НУЛЮ. А внутренний шар. через который Алисе осталось пролететь, притягивает ее к себе так же. как притягивала бы её к себе точка, равная массе этого шара и находящаяся в центре шара.

Но есть одна важная физическая тонкость. Проблема в том. что когда вы начинаете падать в такого рода «колодец», у вас д на­чинает меняться. Ускорение свободного падения тем меньше, чем ближе вы к центру. В центре ваша скорость не меняется вообще, ибо там силы тяготения в сумме дают нулевой вектор. Есть такой физический закон, который утверждает, что ускорение свободно­го падения пропорционально расстоянию до центра планеты, если

плотность планеты постоянна. (То есть если осталось пролететь долю «ж» от поверхности до центра, то ускорение свободного па­дения будет равно дх. При х = 1 будет просто д, при х = 0,1 будет

д/  ю.)

Пояснение и лирическое отступление «о футболе на Лу­не». Например, радиус Юпитера в 11,2 раза больше радиуса Земли (рис. 92). Ускорение свободного падения на Юпитере в 2,52 раза больше, чем на Земле (оно, кроме радиуса, зависит и от массы пла­неты). Радиус же Луны меньше радиуса Земли в 3,67 раза, и на ней в 6,05 раза меньше ускорение свободного падения. Я представил себе лунный футбол, это, должно быть, совершенно замечательно. Огромные ворота высотой 12 метров и шириной 40 метров, и в них медленно летающий вратарь. Но бьют‑то по мячу с той же силой. Должно быть, очень занятно. Я не знаю, может быть, в будущем когда‑нибудь будет лунный футбол.

У нас ускорение получается такое: а = –дх, и надо пояснить, что означает знак «минус».

Сначала попытаемся понять, какое движение совершала бы Алиса в шахте, просверленной по диаметру земного шара, если бы в центре Земли никакой гномик не толкал бы ее в спину для уве­личения скорости. Она полетела бы «вниз» (ощущение у нее было бы такое же, как у человека, упавшего в колодец). До момента до­стижения центра Земли скорость всё время нарастала бы (в этой задаче считается, что сопротивление воздуха отсутствует); мак­симальная скорость будет при пролете через центр Земли (в этой точке Алиса будет лететь по инерции, так как сила тяготения обра­тится в нуль). Затем начнет проявлять себя сила тяжести, напра­вленная против движения. Она будет постепенно нарастать, всё сильнее уменьшая скорость полета Алисы. Ее скорость станет ну­левой как раз в тот момент, когда Алиса пролетит всю Землю на­сквозь. Теперь сила тяжести направлена в противоположную сто­рону. И затем всё будет повторяться. Такое движение называется «колебательным». Чтобы оно могло возникнуть, тело должно ис­пытывать действие так называемой возвращающей силы. Эта сила всегда направлена в сторону положения равновесия (в этой задаче точкой равновесия является центр Земли). При расчетах именно центр Земли удобно выбрать за начало координат, а ось иксов на­править вдоль шахты от начала шахты (место вылета) к ее концу на другом краю Земли. Именно при таких условиях и была напи­сана формула а = –дх.

В этой формуле 0 х 1 (доля пути, оставшаяся до поло­жения равновесия). Но обычно в теории колебаний этой буквой обозначают отклонение от положения равновесия (то есть от ну­ля). В этом случае появление знака «минус» становится понят­ным: возвращающая сила противоположна направлению отклоне­ния, и она тем больше, чем больше отклонилась точка от центра. Она похожа по своему действию на заботливого пастуха: чем боль­ше овца отклонилась от лужайки с травой, тем сильнее он гонит ее обратно. Скорость изменения какой‑нибудь физической величины «х» обозначается в учебниках физики точкой вверху ж; а ускоре­ние (то есть «скорость изменения скорости») – двумя точками х. При расчете любого движения точки вдоль прямой (в том чи­сле и колебательного) математики заимствуют из физики второй закон Ньютона: «сила равна массе, умноженной на ускорение». Если «х» означает (как в нашей задаче про Алису) отклонение от начала координат, то уравнение движения материальной точки имеет вид

тх = /(ж),

где т – масса точки, /(ж) – закон изменения силы, управляющей движением точки, при изменении ее положения «ж». Простейшее колебательное движение («гармоническое колебание») получается при

/(ж) = –кх

(линейная возвращающая сила). В этом случае закон движения ж (t) (где t – время, прошедшее с момента начала движения) вы­ражается суммой синуса и косинуса с некоторыми коэффициен­тами (отражающими информацию о начальном отклонении точки от центра и о начальной скорости движения точки). То, что физи­ки называют скоростью, математики называют первой производ­ной. А то, что физики называют ускорением, математики называ­ют второй производной. Математики имеют в своем «арсенале» большой запас математических методов для решения различных уравнений движения. В частности, самое простое колебание опи­сывается с помощью изменения значений косинуса (или синуса).

Если ускорение точки, движущейся вправо, отрицательное, зна­чит, она тормозит, уменьшая свою скорость. Может быть такое, что при неизменном ускорении точка достигнет нулевой скорости и за­тем, остановившись на мгновение, будет двигаться в отрицатель­ном направлении. Аналогичная ситуация может быть при движе­нии точки влево и воздействии на нее положительного ускорения.

Слушатель: А «ж» в каких единицах измеряется?

А.С.: Вопрос о единицах очень важный и правомерный. Мож­но измерять ж в метрах, можно в километрах. В нашем случае х – доля радиуса – безразмерная величина. Решением уравне­ния, описывающего полет Алисы от падения в шахту и до дости­жения центра Земли, на самом деле служит обычный косинус.

Однако следует иметь в виду, что бывают задачи и с другими единицами измерения переменной «ж».

Например, если «ж» означает запас бензина в баке автомоби­ля (он изменяется с течением времени), то единицей измерения будет литр, а скорость расхода бензина будет тогда измеряться в литр/час. Но математики всё равно называли бы скорость рас­хода бензина «первой производной».

Вначале координата будет меняться медленно, потом Алиса бу­дет набирать всё большую и большую скорость, ускорение же будет уменьшаться. Алиса сначала долетит до центра, а потом и до по­верхности Земли с другой стороны (рис. 93), преодолевая нараста­ющую силу тяжести («возвращающую силу»), потом опять поле­тит обратно, и так до бесконечности.

Так вот. Спрашивается, какая скорость в центре Земли? Ско­рость в центре Земли очень серьезная. Там много, много метров

 

в секунду. (Вычисления с номощыо косинуса показывают, что эта скорость (независимо от массы тела Алисы) составляет 7910 м/с.) Что же происходит с энергией в полете то туда, то обратно? Есть такой закон сохранения энергии. Потенциальная энергия пе­реходит в кинетическую, и наоборот. На поверхности Земли есть только потенциальная, в центре только кинетическая. В полете к центру Земли потенциальная энергия постепенно уменьшается, а кинетическая на такую же величину увеличивается.

Пока что мы обсуждаем особенности полета Алисы, не услож­няя его появлением гномика, который толкнул Алису вперед в цен­тре Земли.

2

 

\пг\  

Кинетическая энергия имеет формулу: Е = ^, где v ско­рость в данный момент.

Гном добавляет 1 м/с. то есть кинетическая энергия Алисы ста‑

^ m(v   + I)² новится: Е = _s.

Это должно компенсироваться тем, что Алиса вылетит вверх на некоторую высоту, чтобы прибавка потенциальной энергии ком­пенсировала убавку дополнительной кинетической энергии.

Потенциальная энергия записывается формулой Е = mgh.

При удалении от поверхности Земли д будет немного меняться по сравнению со значением 9,81, но не очень сильно.

Давайте посмотрим на разницу этих двух кинетических энер‑

.. mi;² m(v ²  + 2v + 1) _mw2 in и. Ь = –^ до прибавки в скорости, ^ 2

увеличение энергии после прибавки.

Единицу мы, как водится, игнорируем, она очень маленькая, 2v остается. В итоге разница получается равной mv. Этой разнице и должна быть равна потенциальная энергия в точке максималь­ного подъема Алисы на другой стороне Земли:

 

mv = mgh.

Масса сокращается, то есть масса Алисы здесь никакого отно­шения к делу не имеет. Совсем, казалось бы, не важно, кого пнул гном. Однако следует отметить, что худенькой Алисе гному будет легче неожиданно придать лишний 1 м/с, чем увесистой Алисе. Впрочем, это проблемы гнома, а не наши с Алисой.

Остается формула: v = gh. То есть h равно | (если посчитать, получается 805 метров). Добавление 1 м/с в центре земли дает вылет вверх из дыры примерно на 800 метров.

А что говорит наша интуиция? Не нарушил ли наш гном за­кон сохранения энергии? Нет, не нарушил. Просто гному будет не так‑то легко увеличить скорость Алисы на 1 м/с. Ему придется со страшной силой размахнуться кулаком, чтобы кулак приобрел скорость Алисы (7910 м/с) плюс еще 1 м/с. Мы бы с вами этого не смогли сделать. А гном, как существо волшебное, может!

 

Проверим задачу про звезды.

Первое, что надо осознать: те звезды, которые вы не видите летним днем из‑за солнца, можно будет увидеть через полгода (зимней ночью). См. схему на рис. 94.

 

щаотся вокруг Солнца (справа на Земле лето, и освещенное Солн­цем северное полушарие не позволяет людям различить звезды; слева на Земле зима. ночь). II справа, и слева ось Земли направлена в одну и ту же точку небесной сферы, поэтому видны одни и те же звезды. Важно, что расстояние между указанными двумя положениями Земли ничтож­но мало по сравнению с расстоянием до ближайших (не считая Солнца) видимых на небе звезд.

Поэтому то. что вы видите во время затмения, вы уже видели нолгода назад и увидите опять через нолгода вперед (если этому не помешают тучи и т. и.).

 

Врезка 8. Кое‑что о небесной сфере

Космос велик и необъятен. Ему. в общем‑то, нет дела до ничтож­ной пылинки, называемой «планета Земля». Но на ней прожива­ет многочисленное племя людей, которые в свободное от работы время не прочь поразмыслить над вопросами «что такое Космос» и «влияет ли Космос на жизнь человека». По поводу первого во­проса до сих пор спорят ученые даже не смогли до сих пор по­нять. ограничен ли Космос по размерам, или не ограничен. А про­стые люди думают так: если и ограничен, то всё же он так велик, что его всё равно облететь нельзя. Так какое нам до этого дело? На второй вопрос многие люди склонны ответить так: наверное. Космос как‑то влияет на жизнь людей но гораздо меньше, чем курс доллара! Космос, конечно, может преподнести нам подарок в виде огромного метеорита, который сотрет жизнь на Земле – да ведь это когда еще будет! Может, в это время и долларов уже не будет.

Тем не менее было решено, что на всякий случай за Космосом надо следить с помощью специального воображаемого «телевизо­ра» со сферическим экраном. Это и есть НЕБЕСНАЯ СФЕРА. Где же находится центр этой воображаемой сферы и чему равен ее радиус? Для ответа на этот вопрос надо понять, что же являет­ся самым важным для жизни человеческой цивилизации. Конечно же, «земная сфера», то есть поверхность Земли. Поэтому и центр небесной сферы был выбран в центре Земли, с учетом «земного эгоизма» людей. (Наверное, если бы земляне и марсиане жили бы в виде единой цивилизации, центр небесной сферы был бы выбран не в центре Земли, а в центре Солнца.) Что же касается радиуса небесной сферы, то его надо выбрать побольше (чтобы эта сфе­ра находилась далеко от Земли), но не слишком большим (чтобы внутри этой сферы не оказались ближайшие (не считая Солнца) звезды). Конкретное же значение радиуса никого особенно не инте­ресует – лишь бы мы на этой сфере сумели разглядеть все подроб­ности из жизни Космоса. Итак, земная и небесная сфера являют­ся концентрическим,и. На земной – имеются две важные для зе­млян точки: северный и южный полюс. Через них проходит важная для землян прямая – земная ось. Земля вращается вокруг этой оси с периодом 24 часа19. А вот и каверзный вопрос: почему 24? От­вет (неубедительный): потому, что так решили древние астрономы. Но ведь это было пару тысяч лет назад. За это время старушка‑ Земля могла притормозить свое вращение. А ну как вдруг период ее вращения теперь равен 24,37 часа? Ответ (нелогичный): часов‑ то по‑прежнему 24, но сам час стал немного длиннее. Нелогичность его в том, что нам всё равно надо знать, происходит ли замедле­ние (или, скажем, ускорение) – неважно, как мы это назовем – удлинение периода или удлинение часа. К счастью, сейчас физики могут определять длительность промежутка времени независимо от вращения Земли, причем с высокой точностью. И никаких при­знаков изменения периода вращения земного шара не обнаружено. Пока не обнаружено. А завтра прилетит какой‑нибудь укрупнен­ный метеорит и врежется в Землю...

Следующие два важных термина – зенит и надир. Зенит – это точка, лежащая на небесной сфере прямо над головой на­блюдателя, надир – точка, лежащая на противоположной сторо­не небесной сферы (то есть под ногами наблюдателя, так что он и наблюдать‑то ее не сможет). Вы чувствуете, какой подвох есть в этом определении? Земля у нас одна, а наблюдателей на ней может быть очень много – и на суше, и на море. Значит, и точек зенита будет очень много. И даже какие‑то два наблюдателя могут сильно поспорить по поводу одной и той же точки на небесной сфе­ре: один скажет, что это «зенит», другой – что это «надир». Надо как‑то ограничить «персональный эгоизм» наблюдателя. Поэтому было объявлено, что все эти наблюдатели «воспомогательные», кроме двух «основных». Один из двух наблюдает на северном по­люсе, другой – на южном. Кстати, а какой из полюсов назвать северным, а какой – южным? Ведь и здесь, и там очень холод­но... Этот вопрос не очень важен, но всё же решено было, что над северным полюсом находится зенит, а над южным – надир. И остался только один «основной» наблюдатель – тот, у которого над головой зенит. Через северный и южный полюс провели пря­мую и продолжили ее до пересечения с небесной сферой. И далее стали именовать эту прямую не «земная ось», а «ось мира». Вот тебе и раз! Да какое же право имеет маленькая, совсем незаметная в масштабах Космоса планета Земля указывать, как должна быть направлена ОСЬ МИРА? Это – типичнейший пример «земного эгоизма». Погодите, дальше еще и не такое будет!

Итак, стоит на Северном полюсе наблюдатель, смотрит в небо, и совершает (вместе со всем земным шаром) один оборот за 24 часа. А ему кажется, что и он, и Земля стоят на месте, а весь огромный Космос, со всеми его звездами и кометами (да и с нашим Солнцем тоже), медленно вращается в другую сторону. И чтобы убедиться в этом, достаточно поглядеть довольно долго на экран того «теле­визора», через который земляне наблюдают Космос (то есть на не­бесную сферу). Осталось совсем немного, чтобы силами землян до­строить для всего Космоса космическую систему координат (в ко­торой, смеха ради, считается, что Земля абсолютно неподвижна, а всё остальное (в том числе и Солнце) вращается вокруг нее). Рассмотрим плоскость, проведенную через земной экватор. Про­должим ее до пересечения с небесной сферой. Получится «мировая экваториальная плоскость» для всего космического пространства. Вы, наверное, думаете, что именно в ней находится Солнце и вра­щаются все другие планеты? Ничего подобного! Солнце и плане­ты находятся в другой плоскости (она называется «эклиптикой»). Обе эти плоскости пересекаются в центре Земли (так что эту точку называют «начало координат мира»). Конечно, у этих двух плос­костей есть и другие точки пересечения (они пересекаются по пря­мой). Плоскость эклиптики пересекает экваториальную плоскость под углом 23,5 градуса. Земная ось направлена в зенит (zenit), по­этому ее и назовем «ось Z». Осталось указать в экваториальной плоскости, как провести через центр Земли ось X и ось Y. Глав­ное – это задать направление оси иксов. Для этого надо найти на экваторе (естественно, на земном, а не на небесном) нулевой меридиан. На этот счет имеется как минимум два мнения. Англия считает, что надо таковым считать Гринвичский меридиан, а Рос­сия – что Пулковский меридиан. (А какая‑нибудь цивилизация из созвездия Тау Кита, считает, что центр мира вообще не дол­жен находиться в центре Земли.) В целях унификации общеземной системы космических координат можно провести ось иксов в на­правлении, например, Гринвича20. Теперь уже можно определить для каждой точки на поверхности Земли (а также и для любой точ­ки Космоса) две координаты: долготу и широту. Нужна еще тре­тья координата – расстояние от центра Земли до интересующей нас точки. Для точки на поверхности Земли (считаемой «идеаль­

ным шаром») эта координата равна усредненному радиусу Земли R (примерно 6371 км). Для звезды в Космосе (как бы далеко она ни находилась от небесной сферы) в качестве третьей координаты надо брать радиус небесной сферы, потому что все эти звезды надо спроектировать из бездны Космоса на экран «телевизора» для раз­глядывания Космоса, то есть на небесную сферу. Так как радиус этой сферы не уточняется, то в Космосе используются только две (угловые) координаты: долгота и широта луча, идущего из центра Земли в данную звезду (или комету, или метеорит...)

Имея систему координат на небесной сфере, можно уже соста­влять карту всех созвездий. В этой системе Солнце описывает по небесной сфере замкнутый путь, причем оно при этом отнюдь не видно в виде точки (подумайте, почему?). Поэтому необходимо говорить не про «путь Солнца», а про путь центральной точки сол­нечного диска на небесной сфере. На этот путь у солнечного диска уходит ровно один год (то есть примерно 365,25 суток). Несмотря на неудобство такой системы координат по сравнению с системой Коперника, в ней успешно рассчитали (не пользуясь даже ком­пьютерами!) в каждой точке Земли восходы и заходы Солнца и их длительность. (См. далее основной текст.)

Приведенная выше врезка для чтения необязательна, хотя она дает первоначальный обзор трудностей, связанных с выбором об­щекосмической системы координат. Те, кто хотят глубже понять то, что сказано во врезке, могут попробовать ответить на вопрос: верно ли, что наблюдатель на Северном полюсе, глядящий верти­кально вверх, увидит, что в точке «зенита» находится Полярная звезда? ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) Он увидит там центр созвез­дия «Южный крест»; 2) В течение ночи он увидит в этой точке разные звезды; 3) Полярная звезда находится близко к зениту, но не совпадает с ним; 4) Так как радиус небесной сферы не опре­делен, а расстояние до Полярной звезды (в принципе) определено, то этот вопрос бессмысленный.

На самом деле, для решения этой задачи правильной моделью является одинокая (то есть без Солнца и планет) Земля в черном страшном Космосе, которая вертится вокруг своей оси. Людям, глядящим ночью на небо, кажется, что Земля стоит на месте, а всё звездное (видимое им) небо медленно вращается в противополож­ную сторону вокруг Полярной звезды. (Пока, в «наше» время. Че­рез тысячу лет определять центр вращения будет другая звезда.) Вопрос: что и откуда видно этим наблюдающим людям? Ответ: Петербург отличается от Москвы северной координатой широты. Остальные координаты (долгота) в данном случае нам не важны. Чтобы понять, кто видит на небе больше звезд (москвичи или пе­тербуржцы), рассмотрим сначала наблюдение из двух особенных точек: с экваториальной точки (любой из этих точек) и с Северного полюса. Что видно с Северного полюса? Краткий ответ: только то, что «сверху». Но где же в Космосе верх, и где низ? Сразу для всего Космоса вряд ли можно разумно ответить на этот вопрос. Но лю­бой конкретный наблюдатель Земли прекрасно ответит на него: «То, что у меня под ногами – это “низ”. А остальное – это “верх”. Я сейчас стою на плоскости, отделяющей верх от низа, и потому я вижу звезды только половины небесной сферы». Человек, име­ющий чисто математическое образование, не умеряемое здравым смыслом физика (или астронома), сразу же запальчиво возразит этому неучу (по его мнению): «Никакая это не плоскость, а сфери­ческая поверхность, и на ней только мысленно можно пририсовать касательную плоскость, именно в той точке, где стоит этот не­уч». – «А вот и нет!» – очень разумно ответит «неуч»: «Я вижу только кусок этой поверхности от моих ног и до горизонта. А го­ризонт примерно в 4 километрах от меня, поэтому видимый мною кусок сильно похож на плоскость – ведь 4 км очень мало по срав­нению с 6400 км (то есть с радиусом Земли). И эта плоскость сильно мешает мне увидеть звезды на второй половине небесной сферы». И в этом он будет абсолютно прав. Короче говоря, если мы хотим понять, какую часть небесной сферы (с мерцающими на ней звездами) видит тот или иной земной наблюдатель, надо че­рез подошвы этого наблюдателя провести плоскость, касательную к земной поверхности. Она разделит небесную сферу на две равные части. Он видит ту, которая у него над головой. Если бы старушка‑ Земля была прозрачной, он бы увидел у себя под ногами и вторую часть. Если бы этот наблюдатель внезапно вырос бы до разме­ров... ну, скажем, Джомолунгмы, он бы увидел, что под ногами у него не плоскость, а часть земной сферы, и она, искривляясь, ме­шает ему увидеть целиком всю небесную сферу. Однако при этом он, конечно, видел бы БОЛЬШЕ ПОЛОВИНЫ поверхности небес­ной сферы, а меньшая ее часть была бы ему не видима. А если бы он и еще «немножко» подрос – чтобы его рост «хотя бы» стал равен расстоянию до ближайших звезд, – тогда бы он смог на­блюдать почти все звезды небесной сферы (маленькая старушка‑ Земля у него под правым каблуком почти не мешала бы ему из­учать звёзды). Но мы, земные люди, не могли бы быть такими ги­гантами – нас бы раздавила наша собственная тяжесть. Поэтому человеку надо быть очень скромным и считать себя маленькой не­заметной точечкой по сравнению с земным шаром. Однако по пово­ду сказанного выше можно было бы задать два коварных вопроса. Я лучше их сам сразу сформулирую. 1) Допустим, на Земле не бы­ло бы гор и океанов. Тогда люди жили бы во всех местах земной сферы. И по ночам наблюдали бы небо. Так что же, в этом случае всю Землю пришлось бы покрыть касательными плоскостями? ОТ­ВЕТ: представьте себе, именно так и делают настоящие математи­ки. И то, что получается, у них даже носит специальное название: «касательное расслоение для сферы». И потом успешно изучают полученный объект. 2) Стоп. Только что было сказано, что для ка­ждого наблюдателя видна ровно половина звезд небесной сферы. А вот и нет. Давайте возьмем двух диаметрально противополож­ных наблюдателей Земли. Для каждого из них проведем касатель­ную плоскость. Ведь эти две плоскости будут параллельны? А две параллельные плоскости делят пространство, в котором мы жи­вем, на три части. Как же может каждый из двух этих наблюдате­лей видеть половину небесной сферы? Каждый из них должен ви­деть меньше половины! ОТВЕТ: «с точки зрения звезд» не только человек является ничтожной точкой, но и даже Земля – ничтож­ная точка. И с их точки зрения зазор между двумя параллельны­ми плоскостями (равный диаметру Земли) пренебрежимо мал. То есть вместо двух плоскостей они «видят» как бы одну слившуюся плоскость. И если какая‑то звезда окажется на этой плоскости, она погоды не делает. Умные математики в таких случаях любят го­ворить что‑нибудь успокоительное, типа: множество этих звезд имеет меру нуль. Ситуация тут примерно такая, как при срав­нении между собой двух чисел: 1000000,098 и 999999,978. Ну да, первое число чуть‑чуть больше второго, но с точки зрения физика можно (и нужно) пренебречь этой разницей и сказать, что экспери­мент с высокой точностью подтвердил их совпадение. А не совпали они полностью потому, что во время земных измерений кто‑то не­ожиданно чихнул на Марсе...

Итак, каждый человек в любой момент времени видит звезды только половины небесной сферы. Другая половина не видна, ее загораживает Земля (хотя она вовсе не занимает половины про­странства). Фактически, модель ситуации (при наблюдении из кос­моса) такая. Вы прижимаете к Земле плоскость в любой точке – хотите, в Москве, хотите – в Питере, и наблюдаете ее полный оборот вместе с Землей. В этой плоскости отметим прямую, ка­сательную к меридиану в выбранной точке. В процессе поворота Земли вокруг полярной оси эта прямая опишет поверхность не­которого конуса, которого в каждый момент касается плоскость (оставаясь при этом касательной и к поверхности Земли – пото­му что Земля оказывается вписанной в этот конус). Вот теперь мы, наконец‑то, добрались до изучения двух особых наблюдате­лей: экваториального и полярного (см. рис. 95). А там, глядишь, и с точкой «Москва», и с точкой «Петербург» станет ситуация по­нятной. Они же ведь точки по сравнению с Землей, правда?

Рис. 95 показывает, какие звезды увидят наблюдатели, находя­щиеся на широте 0 градусов (экватор) и на широте 90 градусов (полюс), если они будут в течение 24 часов наблюдать звездное небо (то есть пока Земля совершит полный оборот). Понятно, что в дневное время свет Солнца помешает видеть звезды (а если слу­чится полное солнечное затмение, то всё же увидят). Но есть та­кие участки звездного неба, которые наблюдатель в принципе не сможет увидеть. Например, наблюдатель на экваторе не уви‑

 

(нижняя часть рисунка). Вертикальные линии образующие бесконеч­ной в обе стороны цилиндрической поверхности. Для удобства восприя­тия верхняя часть цилиндрической поверхности срезана горизонтальной плоскостью (верхняя линия край среза). Отдельная точка это Се­верный полюс. Через него проведена горизонтальная плоскость, касаю­щаяся Земли. Эта плоскость схематически изображена в виде паралле­лограмма.

дит (ни в какое время суток) тех звезд на небесной сфере, которые лежат внутри цилиндрической поверхности21. (Половина невиди­мых звезд лежит «выше северного полюса», другая же половина «ниже южного».) Наблюдатель же. находящийся на Северном по­люсе. не увидит (ни в какое время суток) звезд «нижней половины небесной сферы». Но зато звезды «верхней половины» он увидит не постепенно в течении 24 часов, а все СРАЗУ. Дело в том. что го­

ризонталъная касательная плоскость на рис. 95 по мере вращения Земли хотя и будет поворачиваться, но она всё время будет со­впадать сама с собой. Если мы рассмотрим только наблюдателей из северного полушария, то можно сформулировать такое доста­точно простое правило:

«Видно всё, кроме внутренности конуса». Чем ближе к се­веру находится наблюдатель, тем более «плоский» получается ко­нус. и тем меньше звезд видно. Чем ближе к экватору он нахо­дится. тем более «острый» получается конус (а на экваторе его вершина оказывается удаленной до бесконечности; на полюсе же его вершина совпадает с самим полюсом). См. рис. 96.

 

(60 град.), поэтому коническая поверхность, внутри которой располага­ются невидимые звезды, для Москвы имеет более значительную высоту над полюсом, но угол расхождения левого и правого луча из вершины меньше, чем для Петербурга. Поэтому из Москвы видно больше звезд (если наблюдение вести 24 часа). (Рекомендуем мысленно вращать этот рисунок относительно оси симметрии пунктирная линия образует то­гда северное полушарие Земли, а сплошные «конусы невидимости».)

Поэтому из Санкт‑Петербурга видно меньше звезд, чем из Мо­сквы (рис. 97). А на экваторе не видно ни Полярной звезды, ни Южного Креста (да и соседних с ними звезд тоже не видно). Од­нако последнее утверждение является схоластическим. Чтобы по­нять это. представьте себе, что цилиндрическая поверхность, изо­браженная на рис. 95, продолжена вверх до пересечения с небес­ной сферой. Тогда на этой сфере получится линия пересечения в виде окружности, радиус которой примерно равен 6400 кило­метров (радиусу Земли). А радиус небесной сферы, как указано

выше, примерно равен расстоянию до ближайшей звезды (не счи­тая Солнца). Это расстояние неизмеримо больше, чем 6400 км. Так что даже с помощью самого мощного современного телескопа бу­дет проблематичным понять, какие же звезды попали в «область невидимости» для экваториального наблюдателя!

 

Рис. 97. Сомойство прямых, касательных к меридианам.

 

Задача про 22 мая.

В формулировке задачи упоминаются такие известные даты, как «летнее солнцестояние» (22 июня) и «зимнее солнцестояние» (22 декабря). Здесь уже без Солнца никуда! В этом случае, ка­залось бы, надо использовать гелиоцентрическую модель Копер­ника, но вполне работает и модель Птолемея, в которой Солнце вращается вокруг Земли. В этой модели, как объяснено во врез­ке, Земля преспокойно стоит на месте, несмотря на возмущение других миров, населенных мыслящими существами (согласно по­словице «Вся рота шагает не в ногу, один поручик в ногу»).

Что же происходит в нашей земной системе координат? В зави­симости от времени года солнце всходит и заходит в разное вре­мя. Но восходит/заходит оно под разным углом, поэтому меняется скорость восхода и заката. Когда наступает темнота? Когда Солн­це достаточно низко «залегает» под уровнем горизонта. (ПОЯС­НЕНИЕ. В этом месте, в астрономию вмешиваются... государ­ственные. законы. Надо дать юридическое определение, что такое «сумерки». Ведь с наступлением сумерек государство должно по­тратиться на освещение объектов цивилизации. Вот и появились на свете два вида  сумерек: «гражданские сумерки», начинающие­ся с глубины залегания Солнца в 6 градусов, и «астрономические сумерки», когда на небе можно различить практически все види­мые звезды, начинающиеся с глубины в 18 градусов.) В дни рав­ноденствия Солнце уходит под крутым углом к линии горизонта, поэтому темнеет очень быстро. А в дни солнцестояния угол, под которым заходит солнце, оказывается гораздо более пологим, по­этому темнеет и светает медленно.

В высоких широтах северного полушария (равно как и в низких широтах южного) заметен эффект, который можно назвать «фаль­шивыми сумерками» – или, более поэтично, «белыми ночами».

Солнце начинает нисходить за горизонт под малым углом, но очень быстро выходит на угол еще меньший, чтобы «успеть бы­стро выскочить обратно», ибо широта этого места такова, что еще немного, и начнется сплошной полярный день, без всяких сумерек. В итоге еще не кончились вечерние сумерки, как пора уже гото­виться к рассвету. Как это было у Пушкина: «Одна заря сменить другую // Спешит, дав ночи полчаса...» И что же получается? Не только не достигнута «глубина залегания Солнца» в 18 граду­сов (астрономические сумерки), но и даже не дотянули до 6 гра­дусов (гражданские сумерки). Значит, градоначальник не включит освещение, и придется нам уподобиться тому же Пушкину («когда я в комнате моей пишу, читаю без лампады...»). Вот в Питере уже заметен этот эффект – там просто никогда не темнеет до кон­ца. Даже вот это расстояние до Полярного круга (это расстояние примерно 7 градусов в Питере) – оно такое, что не темнеет про­сто, да и всё тут! 7 градусов под горизонтом позволяет получать от спрятавшегося Солнца вполне достаточную подсветку. Ведь Пи­тер – это 60‑я параллель, а 66° и 33 минут (66,5622°) – это По­лярный круг, где уже светло, где Солнце 22 июня просто сияет круглые сутки. Из этого, в частности, следует, что в Мурманске на самом деле зимой немного светает, потому что 69‑я параллель отличается от 67‑й всего на 2 с лишним градуса, поэтому на самом деле зимой в Мурманске в 3 или 4 часа вполне себе светло, про­сто Солнца нот. Потому что если бы там было томно, то том болоо было бы томно ночыо в Петербурге летом. Но это ведь не так. Ле­том в Петербурге достаточно светло, а уж тем более на Соловках. 64‑й градус. Соловки и Мурманск симметричны относительно По­лярного круга. Поэтому если 22 июня на Соловках можно просто читать газету в час ночи, то значит, что в Мурманске 22 декабря в час дня тоже можно будет читать газету, это будет то же самое состояние светового дня. Это надо понимать, потому что когда вам говорят, что там. в Норильске или Мурманске, никогда не света­ет в течение пол угода, это сказки просто. Светает, каждый день, но солнце не восходит. А вот на Диксоне, да. В порту Диксон на ши­роте 73,5 градусов состояние «22 декабря в час дня» почти такое же, как в Москве «22 июня в час ночи», то есть практически темно, поэтому уже в Диксоне, например, никакого вам не будет «рассве­та» в течение пары месяцев подряд. Вот. Учтите это, когда будете планировать ваши путешествия. Все загадки отгаданы.

Слушатель: Нет. Не обсудили про качели.

 

Задача про качели.

Почему положение уравновешивания (ри