Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2022-05-08 | 27 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задача 26.
В олимпиаде участвовало 20 человек.
1) Сколько может быть различных списков победителей олимпиады (1,2,3 место)?
2) Сколько может быть различных команд по 3 участника на следующий тур может быть?
Решение.
1) Число размещений = = 6840.
2) Число сочетаний = = . = 1140.
Задача 27.
Сколько способов составить команду из 4 человек, если есть 7 спортсменов?
Решение.
Число сочетаний = .
Контрольная работа из 2 задач.
Практика 6.
Задача 28.
Сколько способов разложить 4 шара по 2 ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось ровно по 2 шара?
Решение. Сначала из 4 выбрать 2 шара для 1 ящика, способов .
Затем из оставшихся 2, выбрать 2 во второй ящик, способ.
= = = 6.
Теперь учтём тот факт, что эти пары шаров равнозначны, то есть мы могли сначала заполнять 2-й ящик, затем 1-й. Всего 2 множества по 2 шара, число перестановок равно , поэтому 6 делим на 2, получаем 3. Ответ. 3.
Конкретно:
12 34 13 24 14 23 23 14 24 13 34 12
Но 6-й случай уже учтён (см. 1-й). 5-й соответствует 2-му, 4-й 3-му.
То есть разбиений в 2 раза меньше.
Разбиение множества, числа Стирлинга, числа Белла.
Задача 29. Сколько способов разложить 4 шара по 2 ящикам так, чтобы в каждом ящике был по крайней мере один шар?
Решение. Здесь мы имеем дело просто с разбиением 4-элементного множества на 2 непустых подмножества, то есть нужно найти число Стирлинга 2-го рода = 7.
Конкретно эти 7 вариантов:
1 234 2 134 3 124 4 123
12 34 13 24 14 23
Задача 30 (РП).
Сколько существует разбиений множества ?
Решение. Число всех разбиений равно числу Белла , то есть сумме всех чисел Стирлинга в строке матрицы при :
Таких разбиений всего 5. В данном случае их немного, можем все перечислить:
|
1) на одно подмножество
2) на 2 подмножества , , .
3) на 3 подмножества .
Задача 31. Имеется 7 шаров. Сколько способов разложить их в 4 коробки, так, чтобы в каждой коробке был хотя бы один шар?
Решение. Нужно узнать число разбиений 7-элементного множества на 4 непустых подмножества, то есть .
= 350.
Вспомним 2 способа вычислить это:
1) .
2) = = =
.
Например, 12 34 5 67 или 1 2 3 4567
(1,1,1,4) (1,1,2,3) (1,2,2,2)
Задача 32. Сколько существует способов разложить 12 шаров по 4 ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось ровно по 3 шара?
Решение.
Сначала из 12 выбрать 3 шара для 1 ящика, способов .
Затем из оставшихся 9, выбрать 3 во второй ящик, и так далее.
= = = =
= = = = = 369600.
Теперь учтём тот факт, что эти тройки шаров равнозначны, то есть мы могли сначала заполнять 2-й ящик, затем 1-й и т.д. Всего 4 множества по 3 шара, число перестановок равно , поэтому 369600. Делим на 24, получаем 15.400. Ответ. 15.400
Задача 33. Доказать свойство (= ещё одну формулу) для чисел Стирлинга 2 рода: .
(Другими словами, числа из столбца слева можно будет умножать не на степени , а на числа из треугольника Паскаля, и получится то же самое).
Решение.
1) Пусть подмножество из элемента разбито на подмножеств. Тогда -й элемент образует -е подмножество.
Таких случаев суммарно .
2) Пусть новый -й элемент образует -е подмножество вместе с каким-то одним из элементов меньшего, -элементного подмножества. Либо с 1-м, либо со 2-м,... -м. Вариантов . При этом оставшееся -элементное подмножество должно быть разбито на подмножеств, и число таких случаев . Итого .
Итак, уже имеется сумма + ,
что можно представить как .
3) Если новый -й элемент образует -е подмножество вместе с какими-то двумя элементами старого подмножества, то число таких случаев , и в каждом из таких случаев оставшееся -элементное множество может быть разбито на подмножеств, число таких случаев . Итак, добавляется слагаемое
|
.
4) Мы дойдём до того, что станет , далее значения будут 0. Это вычисляется так: . Последнее слагаемое .
Таким образом, (доказывали сначала для бОльших номеров, потом для меньших, а сумму удобнее записать от меньшего к большему).
Нужно отступить по диагонали влево и вверх, и умножать числа столбца на числа из треугольника Паскаля, для числа сочетаний из , как скалярное произведение векторов. Посмотрим, как это будет. Например, .
Тогда =
В одном крайнем слагаемом в таком случае всегда один сомножитель равен 1, в последнем .
=
= .
Здесь , соответственно выбираем эту строку из треугольника Паскаля.
= =
= = 90.
Перерыв
Напомним формулы:
Без повторений | С повторениями | |
Перестановки | ||
Размещения | ||
Сочетания |
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!