Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2022-05-08 | 27 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
С помощью скалярного произведения можно искать проекцию вектора на подпространство.
Пусть - базис k-мерного подпространства в n-мерном пространстве. Вектор не принадлежит подпространству.
Требуется найти вектор , такой, что для любого номера . Чертёж:
для любого i
Если базис является ортогональным, то каждый из коэффициентов определяется отдельно от остальных:
, где из-за ортогональности базисных векторов, остаётся лишь одно скалярное произведение, при совпадающих номерах
.
В случае, когда базис не ортогонален, то для нахождения коэффициентов пришлось бы решать систему уравнений:
, где .
где основная матрица этой системы – это матрица Грама. Поэтому бывает, что лучше сначала ортогонализовать систему (алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта был изучен в конце 1 семестра).
Задача. Найти проекцию вектора на плоскость, порождённую векторами , .
Решение. Необходимо найти такую линейную комбинацию векторов, , чтобы .
Если мы не ортогонализовали систему векторов, то нужно будет решить систему уравнений:
В данном примере она имеет вид:
(сократим на общий множитель в каждом, вычтем из второе утроенное первое).
Тогда , и тогда .
Проекцией является вектор = =
= . Ответ. Вектор .
Проверка. = . Проверим, что эта разность ортогональна обоим векторам , .
, .
- - -
П.3. Пересечение подпространств.
Если в пространстве даны 2 подпространства размерности соответственно (с помощью систем векторов и ), то для нахождения пересечения подпространств нужно составить и решить систему: . Перенесём слагаемые справа налево, и в итоге увидим, что это - именно однородная система:
|
.
Решая её, получим ФСР, затем нужно будет составить линейные комбинации векторов или с помощью найденных .
Задача 1. В трёхмерном пространстве заданы два 2-мерных подпространства, с помощью систем векторов:
, . Найти базис их пересечения.
Решение.
однородная система уравнений .
Преобразуем основную матрицу методом Гаусса.
базисный минор в первых трёх столбцах, свободная переменная .
Из последнего , из 2-го . Тогда из 1-го
= = .
Общее решение: . ФСР: .
Пересечение одномерно. Если посчитаем линейную комбинацию векторов с коэффициентами , либо
с коэффициентами , получим одно и то же:
Подставить в
,
Можно сократить на 2 и в качестве базиса можно принять вектор . Ответ. базис пересечения: .
Пересечение может оказаться и 2-мерным, то есть 2 указанные плоскости совпадать. Посмотрим, как это влияет на решение, увидим из следующего примера.
Задача 2. В трёхмерном пространстве заданы два 2-мерных
подпространства, с помощью систем векторов:
, . Найти базис их пересечения.
Решение. Строим систему уравнений, как и в прошлой задаче.
однородная система уравнений .
Преобразуем основную матрицу методом Гаусса.
Третье уравнение состоит из нулей, ранг системы равен 2.
Из второго, , тогда из 1-го
= = .
Общее решение ,
ФСР .
Подставим в
, .
Таким образом, 2 вектора второй системы получились базисом пересечения. Плоскости совпадают.
Задача 3. Найти базис пересечения двух трёхмерных подпространств 4-мерного пространства.
,
.
Решение.
,
,
Строим и преобразуем основную матрицу.
,
= .
= = .
= = .
Общее решение: .
ФСР: , .
Подставляем в
1) ,
2) .
Ответ. Базис пересечения: .
ПРАКТИКА 2. 13.2.2021.
Нахождение определителей Грама для систем функций.
, где
Каждое х как координата, континуум координат.
Матрица Грама невырождена система функций ЛНС.
Задача 1 (а,б).
а) Даны две функции на (0,1): , . (ЛЗС)
|
б) Даны две функции на :
, . (ЛНС)
Найти определители Грама этих систем.
а) = = =
= .
б) , значит, и интеграл от равен 0.
= = .
Задача 2 (комбинированная, на поиск пересечения и проекции).
Даны два подпространства, с помощью линейных оболочек систем векторов:
,
.
Найти базис их пересечения, и проекцию вектора на пересечение.
Решение. Составляем выражение:
Переносим в левую часть:
Решаем однородную систему с такой основной матрицей:
Ранг 3. Базисный минор можно составить из 1,2,5 столбцов, чтобы коэффициенты по возможности были 1.
Система:
Из третьего ,
Тогда из второго
Из первого ,
Общее решение
.
ФСР , , .
Каждое подставить в
.
Итак, получили векторы (0,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,0,2).
То есть, пересечение одномерно, базис (0,0,0,1).
Проекция вектора на а = (0,0,0,1), это последняя координата, то есть 4.
Либо по формуле то же самое.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!