Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2021-03-18 | 119 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
вариантов текущего контроля
Домашнее задание №1 (часть 1) «Линейные и евклидовы пространства»
Задача 1. Исследуйте на линейную зависимость систему векторов , , .
Задача 2. Рассматривая векторы как новый базис в , вычислите
а) координаты вектора в исходном базисе, зная его координаты в новом базисе ;
б) координаты вектора в новом базисе, зная его координаты в исходном базисе .
Задача 3. Даны координаты векторов в некотором ортонормированном базисе:
, , .
Применяя процесс ортогонализации, ортонормируйте эту систему векторов.
Домашнее задание №1 (часть 2) «Линейные операторы и квадратичные формы»
Задача 4. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
Задача 5. Приведите матрицу к диагональному виду и укажите матрицу перехода.
Задача 6. Приведите квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
Задача 7. Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Задача 8. Уравнение (а) кривой второго порядка на плоскости Oxy и уравнение (б) поверхности второго порядка в пространстве Oxyz приведите к каноническому виду, указав:
1) одно из преобразований перехода от заданной прямоугольной декартовой системы координат к канонической системе координат (собственные числа матрицы квадратичной формы расположите в порядке возрастания),
2) канонический вид уравнения кривой (а) и поверхности (б), значения всех параметров, характеризующих кривую и поверхность,
3) на плоскости Oxy постройте каноническую систему координат, кривую (а) и найдите в системе Oxy для центральной кривой координаты центра, вершин, фокусов, уравнения асимптот (для гиперболы), а для параболы – координаты вершины, фокуса, уравнения директрисы,
|
4) в канонической системе координат постройте поверхность (б), используя метод сечений.
Домашнее задание №2 «Функции нескольких переменных»
Задача 1. Для заданной функции выполните следующие задания.
1. Найдите и изобразите на пл. ХОУ область определения (границы, принадлежащие области определения, стройте сплошной чертой, не принадлежащие - пунктиром.)
2. Составьте уравнения линий уровня и изобразите в области определения. Выделите уравнение той из них, которая проходит через заданную точку , изобразите её (другим цветом) на общем рисунке.
3. В заданной точке М вычислите производную функции по направлению вектора , где . Найдите вектор градиента, постройте его на общем рисунке.
4. Вычислите наибольшее значение производной функции по направлению в точке М и укажите, в каком направлении она достигается.
Задача 2. Найдите первый дифференциал:
а) для функции ;
б) для сложной функции ;
в) для неявной функции ;
г) для неявной функции .
В пункте а) найдите второй дифференциал.
Задача 3. Убедитесь, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции, найдите эту функцию.
Задача 4. Покажите, что заданная функция удовлетворяет уравнению .
Задача 5. На поверхности, заданной уравнением найдите точки, в которых касательная плоскость к поверхности перпендикулярна заданному вектору . Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, проходящие через найденные точки.
Задача 6. Исследуйте функцию на локальные экстремумы.
Контрольная работа
Задача 1. Для функции найдите .
Задача 2. Вычислите для функции , заданной неявно уравнением .
Задача 3. Для функции и точке найдите наибольшее значение производной по направлению.
Задача 4. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
|
Контроль по модулю №1
Задача 1. Дайте определение линейного пространства и докажите следствия из аксиом.
Задача 2. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием. Приведите пример.
Задача 3. Докажите, что оператор поворота на угол вокруг оси в является линейным. Выпишите матрицу этого оператора и найдите образ вектора . Ответ проверьте геометрически.
Задача 4. Исследуйте знакоопределенность квадратичной формы в зависимости от значения параметра .
Задача 5. Докажите, что векторы образуют базис в и найдите координаты вектора в этом базисе.
Задача 6. Квадратичная форма в некотором ортонормированном базисе имеет вид . Найдите ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. Напишите этот канонический вид.
Контроль по модулю №2
Задача 1. Дайте определение предела ФНП и сформулируйте его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП
Задача 2. Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Выведите необходимые условия экстремума ФНП. Сформулируйте достаточные условия.
Задача 3. В точке М (2; 1; 1;) найдите градиент и производную по направлению функции , если N (0; 2; -1), а также максимальное значение производной по направлению в точке M.
Задача 4. Найдите и для функции , заданной уравнением
Задача 5. Найдите условные экстремумы функции при условии .
Вопросы для подготовки к контролям по модулям
Модуль 1 Линейная алгебра
1. Дайте определение линейного пространства, сформулируйте следствия из его аксиом и приведите примеры.
2. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов линейного пространства. Сформулируйте критерий линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
3. Дайте определение базиса и размерности линейного пространства. Связь между этими понятиями. Приведите примеры. Сформулируйте теорему о единственности разложения по базису вектора линейного пространства. Линейные операции с векторами в координатной форме.
4. Дайте определение подпространства линейного пространства. Приведите пример. Дайте определение линейной оболочки системы векторов и сформулируйте её основное свойство.
|
5. Дайте определение ранга системы векторов линейного пространства. Сформулируйте теорему о ранге системы векторов и её следствие.
6. Линейное преобразование линейного пространства (переход к новому базису). Матрица перехода. Изменение координат вектора при переходе к новому базису (вывод).
7. Дайте определение евклидова пространства. Приведите примеры. Напишите формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов и нормы вектора в ортонормированном базисе.
8. Дайте определение ортонормированной системы векторов евклидова пространства и докажите ее линейную независимость.
9. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта в евклидовом пространстве (без док-ва). Приведите пример.
10. Дайте определение нормы вектора в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника (с выводом).
11. Дайте определение линейного оператора и действий с линейными операторами.
Матрица линейного оператора, определение и примеры. Сформулируйте теоремы о связи между действиями с линейными операторами и действиями с соответствующими им матрицами.
12. Докажите теорему о связи между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах. Инвариантность определителя. Подобные матрицы.
13. Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведите примеры. Докажите инвариантность характеристического многочлена и спектра собственных значений линейного оператора относительно выбора базиса.
14. Докажите теорему о линейной независимости собственных векторов линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям.
15. Докажите теорему о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.
16. Дайте определение оператора, сопряженного данному линейному оператору, и сформулируйте его свойства. Теорема о матрице сопряженного оператора в ортонормированном базисе (без док-ва).
17. Дайте определение самосопряженного линейного оператора, докажите теорему о симметричности его матрицы в ортонормированном базисе. Теорема о корнях характеристического уравнения самосопряженного линейного оператора и ее следствия (формулировки). Случай кратных корней (формулировка).
|
18. Докажите теорему об ортогональности собственных векторов самосопряженного линейного оператора, соответствующих различным собственным значениям.
19. Дайте определение ортогональной матрицы. Сформулируйте ее свойства.
20. Ортогональные преобразования и их матрицы в ортонормированном базисе. Примеры. Приведение матрицы самосопряженного линейного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием.
21. Дайте определение симметричной билинейной формы и ее матрицы. Координатная, матричная и векторная форма записи этой формы. Сформулируйте теорему о её матрице.
22. Дайте определение квадратичной формы и докажите теорему о связи между матрицами одной и той же квадратичной (билинейной) формы в различных базисах.
23. Дайте определение ранга квадратичной формы. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.
24. Дайте определение канонического вида и канонического базиса квадратичной формы. Сформулируйте теорему о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.
25. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Приведите пример.
26. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведите пример.
27. Знакоопределенные квадратичные формы: определение, критерий Сильвестра (без док-ва). Приведите примеры.
28. Приведение линий и поверхностей второго порядка к каноническому виду.
Вопросы с доказательством, включенные в контроль по модулю № 1
1.Переход к новому базису линейного пространства. Изменение координат вектора при переходе к новому базису.
2.Норма вектора. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника.
3.Теорема о связи между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах линейного пространства.
4.Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов евклидова пространства.
5.Теорема об инвариантности характеристического многочлена линейного оператора относительно замены базиса.
6. Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям.
7.Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.
8.Теорема о матрице самосопряженного линейного оператора в ортонормированном базисе.
9.Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряженного линейного оператора, соответствующих различным собственным значениям.
10.Теорема о связи между матрицами одной и той же билинейной (квадратичной) формы в различных базисах.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!