Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2021-03-18 | 67 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
(4.31)
пространства . Обозначим . Очевидно,
– (4.32)
базис пространства . Докажем, что . Действительно,
где , а . Таким образом, . Покажем, что сумма прямая. Пусть . Тогда можно разложить как по базису (4.30), так и по базису (4.32): и . Получаем
,
откуда в силу линейной независимости (4.31) вытекает, что . Поэтому , а значит, сумма действительно прямая.
Покажем теперь, что . Построим отображение
.
Очевидно, – линейный оператор. Кроме того, такой, что . Так как , то где , . Тогда. . Таким образом, такой, что . Предположим, что таких векторов два, т. е. что , но . Имеем
.
Отсюда вытекает, что . Но , следовательно, , и поэтому . Итак, мы показали, что – взаимно однозначное отображение, следовательно, и изоморфизм. Так как изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности, то , откуда и вытекает доказываемое утверждение.
Рассмотрим теперь тривиальные случаи. Пусть , значит, . Тогда , . Если же , то . В обоих случаях равенство (4.29) выполняется. ◄
Следствие. Если – линейный оператор, то (т. е. ). Если же оператор – невырожденный, то , следовательно, (т. е. ).
Теорема о ранге произведения линейных операторов
Пусть - линейный оператор,
– (4.33)
базис пространства , а
– (4.34)
базис пространства . Аналогично тому, как определялась матрица линейного оператора пространства в себя в заданном базисе, определяется и матрица оператора в паре базисов (4.33) и (4.34). Найдем образы векторов базиса (4.33):
|
, (4.35)
каждый из них разложим по базису (4.34), обозначим координатный столбец вектора в базисе (4.34), , и составим систему
(4.36)
из этих координатных столбцов.
Матрицей линейного оператора в паре базисов (4.33) и (4.34) называется матрица , составленная из координатных столбцов образов векторов базиса (4.33) в базисе (4.34). Очевидно, эта матрица имеет размеры .
Нетрудно показать, что при умножении линейных операторов их матрицы в соответствующих парах базисов перемножаются, как это было доказано для случая линейных операторов пространства в себя.
Теорема 4.11. Пусть – линейный оператор, A его матрица в паре базисов (4.33) и (4.34). Тогда .
►В § 3 третьей главы мы показали, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы в некотором базисе. Поэтому максимальное число линейно независимых элементов в системах (4.35) и (4.36) будет одинаковым. Обозначим это число .
Так каккаждый из векторов можно разложить по базису (4.33), то . Следовательно, . Тогда
[теорема 3.5] = =
= [теорема 3.6] = .◄
Следствие. Если – изоморфизм, то матрица A –невырождена.
Теорема 4.12. Пусть и – линейные операторы. Тогда , причем если один из операторов – изоморфизм, то ранг произведения равен рангу второго оператора.
► Обозначим . Нетрудно убедиться, что – подпространство пространства , и поэтому . Тогда
= ;
= .
Кроме того, если – изоморфизм, то
.
Если же – изоморфизм, то
.◄
Следствие. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Причем, если один из сомножителей – матрица невырожденная, то ранг произведения равен рангу второго сомножителя.
Линейные формы
Определение.Линейной формой на линейном пространстве над полем называется линейный оператор .
|
Мы уже знаем, что множество всех линейных форм на линейном пространстве также является линейным пространством над тем же полем, что и , относительно операций сложения линейных форм и умножения линейной формы на число. Пространство будем называть сопряженным пространству , и обозначать , его элементы назовем ковекторами и тоже для удобства отметим стрелками, но снизу (например, ).
Рассмотрим -мерное линейное пространство и выберем в нем какой-либо базис:
. (4.37)
Пусть – произвольный вектор пространства , – линейная форма. Тогда
. (4.38)
Мы видим, что значение линейной формы для вектора зависит от его координат и некоторых чисел , вовсе с вектором не связанных. Обозначим и назовем эти числа компонентами формы в базисе (4.37). Теперь (4.38) можно переписать и так: .
Выберем в ещё один базис
(4.39)
и обозначим компоненты линейной формы в базисе (4.39).Тогда
= = [определение матрицы перехода] = =
= [линейность ] = .
Мы получили закон изменения компонент линейной формы при изменении базиса.
В пространстве линейных форм выберем линейных форм
(4.40)
по следующему принципу:
,
т. е. форма принимает значение, равное 0, для всех базисных векторов, за исключением одного, , для которого она принимает значение, равное 1. Существование таких форм вытекает из теоремы 4.1. Докажем линейную независимость (4.40). Как обычно, составим линейную комбинацию и приравняем ее нейтральному элементу.
{(4.40) линейно независима}.
Пусть теперь – произвольная линейная форма, – ее компоненты в базисе (4.40). Обозначим . Тогда
Таким образом, = , следовательно, система (4.40) в пространстве является системой образующих, а значит, и базисом. Итак, пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству, имеет ту же размерность. Базисы (4.37) и (4.40) пространств и называются сопряженными или взаимными. Следовательно, компоненты линейной формы в базисе (4.37) пространства – это её координаты во взаимном базисе пространства .
|
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!