Определение линейного оператора

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Понятие отображения

 

Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение  (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу  ставится в соответствие вполне определенный элемент  (рис. 4.1).

 

 

Рис. 4.1

 

Если , то  называется образом элемента ;  – прообразом элемента  при отображении f.

Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция  – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.

Отображение  называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .

Отображение  называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:

1.  такой, что .

2.

или одному, эквивалентному им, третьему условию:

3. такой, что

Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.

Отображения  и  называются равными, если .

Пусть заданы отображения  и . Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение  такое, что  (рис. 4.2).

 

Рис. 4.2

Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.

Примером произведения отображений является сложная функция.

Лемма 4.1. Произведение отображений ассоциативно, т. е. если заданы отображения ,  и , то

.

uДля доказательства равенства отображений  и  нужно показать, что .

Итак, выберем произвольное . Тогда

                        ;                               (4.1)

                                                          (4.2)

Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что  :  и поэтому, .t

Отображение  называется обратным к отображению , если  и  (рис. 4.3).

 

 

Рис. 4.3

Упражнение. Докажите следующие утверждения

1. Для того чтобы отображение f имело обратное, необходимо и достаточно, чтобы f было взаимно однозначным.

2. Если отображение имеет обратное, то это обратное определяется однозначно.

 

Определение линейного оператора

И его простейшие свойства

 

Определение. Пусть  и – линейные пространства над одним и тем же полем . Отображение  называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1*.  

2*.

Следствие. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е. если   – линейный оператор, то :

                   (4.3)

uДоказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.

а) n = 1:  [2*] – истинно.

б) Предполагая, что утверждение верно для (n -1)-го вектора, доказываем его для n векторов.

 = [1*] =

[2* и предположение индукции] =

= t

 

Примеры линейных операторов

 

1. Нулевой оператор : . Очевидно, этот оператор удовлетворяет условиям 1* и 2*, значит, является линейным.

2. Тождественный оператор  также, очевидно, является линейным.

3. Оператор дифференцирования , который каждой дифференцируемой функции ставит в соответствие ее производную, является линейным, так как производная суммы функций равна сумме их производных, а при умножении функции на число ее производная умножается на это число.

4. Пусть  – пространство свободных векторов,

Покажем, что оператор проектирования на ось  является линейным.

►В аналитической геометрии доказывалось, что . Тогда

 : = = = = ;

 : = = =

Таким образом, условия 1* и 2* выполняются, а значит, оператор проектирования вектора на ось является линейным.◄

5. В пространстве векторов плоскости, закрепленных в начале координат О, рассмотрим оператор  поворота вектора на угол  против часовой стрелки и докажем его линейность.

► Пусть  – произвольные векторы,

 (рис. 4.4), . Построим  и  по правилу параллелограмма. Так как плоскость поворачивается

                    Рис.4.4                                      как жесткое целое, методами элементарной геометрии нетрудно показать, что при этом повороте диагональ  переходит в диагональ . Значит, .

Рис. 4.5

Пусть , , , ,  (рис.4.5). Очевидно, вектор  получен из  поворотом на угол , следовательно, , а значит, . Аналогично это свойство проверяется и при , а при  оно очевидно.◄

Теорема 4.1. Пусть  и  – линейные пространства над одним и тем же полем P и пусть в пространстве  задан базис

                                   ,                                         (4.4)

а в пространстве – произвольная система векторов

                                             .                                          (4.5)

Тогда существует единственный линейный оператор , переводящий базис (4.4) в систему (4.5), то есть такой, что

                                 : .                                     (4.6)

► Построение. Выберем произвольный вектор  и разложим его по базису (4.4): . Положим по определению

.

Линейность. Если  – произвольные векторы, , то , , , . Тогда

= [определение f ] = ;

.

Выполнение (4.6). Заметим, что все координаты вектора в базисе (4.3) равны нулю, за исключением k -й, которая равна 1. Таким образом, i -я координата вектора  равна , то есть . Тогда

,

значит, условие (4.6) выполнено.

Единственность. Предположим, что существует еще один линейный оператор , , переводящий (4.4) в (4.5), то есть такой, что . Тогда :  – противоречие.◄

Матрица линейного оператора

 

Примеры

 

1. Матрицей нулевого оператора  в любом базисе является нулевая матрица; матрицей тождественного оператора  также в любом базисе является матрица единичная.

2. Пусть . Составим матрицу оператора проектирования на ось O x в базисе . Для этого находим образы базисных векторов и разлагаем их по базису:

.

3. Составим матрицу оператора  поворота плоскости на угол  (см. § 2) в базисе . Из рис. 4.5 и 4.6 видно, что

Тогда

.

 

         Рис. 4.5                                                            Рис. 4.6

 

Итак, если в пространстве  задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору  можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, т. е. квадратную матрицу A n- го порядка, причем эта матрица определяется однозначно.

Пусть теперь задана квадратная матрица А с элементами из поля P. Обозначим  вектор, координатный столбец которого в базисе (4.8) совпадает с i -м столбцом матрицы А. Получим упорядоченную систему векторов

                                       ()                                           

Согласно теореме 4.1, существует единственный линейный оператор  такой, что . По определению матрица этого оператора в базисе (4.8) совпадает с А.

Обозначим  – множество всех линейных операторов линейного пространства  над полем Р в себя. Из вышесказанного вытекает: если в  задан базис, то определяется отображение

,

которое ставит в соответствие каждому линейному оператору  его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.

 

При изменении базиса

 

Теорема 4.2. Пусть в линейном пространстве  заданы два базиса:

                                                                                    (4.16)

и

                                           ,                                 (4.17)

и пусть A =  и  – матрицы линейного оператора  в базисах (4.16) и (4.17) соответственно. Тогда

                                      ,                                           (4.18)

где Т – матрица перехода от (4.16) к (4.17).

►Чтобы найти матрицу , следует образы векторов базиса (4.17) разложить опять же по этому базису. Имеем

= [определение матрицы перехода] =  = [(4.3)] =  =

= [(4.11)] =  = [свойство 6º § 9 гл. 3] = .

Итак,

                                    =  .                                     (4.19)

Равенство (4.19) задает разложение вектора  по базису (4.17). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,

                                        .                                       (4.20)

В силу единственности координат вектора в данном базисе из (4.19) и (4.20) получаем равенство

                                       ,                                         (4.21)

которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (4.21) по правилу цепочки:

                                       .                                         (4.22)

Так как  (см. замечание в § 9 гл. 3), то из (4.22) получаем (4.18).◄

Определение. Квадратные матрицы  и  называются подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что .

Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.

Лемма 4.1. 1. Подобные матрицы имеют одинаковые определители.

2. Если невырожденные квадратные матрицы подобны, то обратные к ним тоже подобны, причем подобие осуществляется при помощи одной и той же матрицы,

►1. .

2. Пусть матрицы  и  подобны и пусть подобие осуществляется при помощи матрицы . Покажем, что матрица , подобная матрице , является обратной к . Действительно, .◄

Определение. Определителем линейного оператора  называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .

Линейного оператора

 

Пусть  – линейный оператор,  – его матрица в некотором ортонормированном базисе , и пусть  – некомпланарные векторы, а  – их образы. Обозначим  и  координатные столбцы в выбранном базисе векторов  и  соответственно, ,  – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а  – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Тогда, учитывая (4.15), получаем

 [(4.15) § 3]  [§ 5 гл. 1] =

    [§ 6 гл. 1] .   (4.23)

Рассмотрим теперь пространство . Выберем в нем точку  и  линейно независимых векторов , . Параллелепипедом в  ( -мерным параллелепипедом) будем называть множество точек в

             .                 (4.24)

Обозначим  координатный столбец вектора  в каноническом базисе. По аналогии с трехмерным пространством, объемом -мерного параллелепипеда (4.24) будем называть число

.

Можно доказать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному это число не меняется, т.е. определение объема параллелепипеда является корректным.

Так же, как и для трехмерного пространства, для пространства  доказывается равенство (4.23).

Вывод: из формулы (4.23) на основании леммы 4.1 вытекает, что коэффициент изменения объема параллелепипеда при линейном операторе равен модулю определителя этого оператора.

 

Обратный линейный оператор

 

Теорема 4.7. Для любого невырожденного линейногооператора  существует единственный обратный оператор , который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора   в некотором базисе, то матрица оператора  в том же базисе совпадает с матрицей .

► Единственность. Пусть некоторый оператор  имеет два разных обратных: и . Тогда

 

– противоречие.

Существование. Пусть  – матрица оператора  в некотором базисе. Тогда, по теореме 4.4 , значит, существует . Обозначим – тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисесовпадаетс . Так как , и так как произведению матриц соответствует произведение операторов, то , и, таким образом, .◄

Замечание. На основании леммы 4.1 определение обратного линейного оператора не зависит от выбора базиса, т.е. является корректным.

Замечание.===( или упражнение)   М ожно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор  имеет единственный обратный, который тоже является линейным.

Свойства изоморфизма

 

1.  – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).

2.  – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).

3. { , }  – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).

Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.

Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.

►Пусть  и пусть  – изоморфизм. Выберем в  какой-либо базис

                                                                                   (4.27)

и покажем, что система

                                        –                           (4.28)

базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f,  единственный  такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .

Докажем теперь линейную независимость (4.28).

 [линейность f ]

 [взаимная однозначность f ]  [линейная независимость (4.27)]  {(4.28) – линейно независима}.

Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄

Теорема 4.9. Все n -мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n- мерное линейное пространство над полем Р.

►а) Докажем, что .

Выберем в  какой-либо базис . Тогда  : . Обозначим . Очевидно, отображение  – взаимно однозначное. Кроме того, ,  :

 :

Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .

б) Пусть теперь  и  – n- мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда

{  и }  [симметричность]  {  и  и }  [транзитивность]  { }.◄

Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n- мерным линейным пространством над полем Р является .

Линейные формы

 

Определение.Линейной формой на линейном пространстве  над полем  называется линейный оператор .

Мы уже знаем, что множество  всех линейных форм на линейном пространстве  также является линейным пространством над тем же полем, что и , относительно операций сложения линейных форм и умножения линейной формы на число. Пространство  будем называть сопряженным пространству , и обозначать , его элементы назовем ковекторами и тоже для удобства отметим стрелками, но снизу (например, ).

Рассмотрим -мерное линейное пространство  и выберем в нем какой-либо базис:

                                             .                                (4.37)

Пусть  – произвольный вектор пространства ,  – линейная форма. Тогда

                                      .                       (4.38)

Мы видим, что значение линейной формы для вектора  зависит от его координат и некоторых чисел , вовсе с вектором  не связанных. Обозначим  и назовем эти числа компонентами формы  в базисе (4.37). Теперь (4.38) можно переписать и так: .

Выберем в  ещё один базис

                                                                                 (4.39)

и обозначим  компоненты линейной формы  в базисе (4.39).Тогда

 =  = [определение матрицы перехода] =  =

= [линейность ] = .

Мы получили закон изменения компонент линейной формы при изменении базиса.

В пространстве линейных форм  выберем  линейных форм

                                                                               (4.40)

по следующему принципу:

                                      ,                               

т. е. форма  принимает значение, равное 0, для всех базисных векторов, за исключением одного, , для которого она принимает значение, равное 1. Существование таких форм вытекает из теоремы 4.1. Докажем линейную независимость (4.40). Как обычно, составим линейную комбинацию и приравняем ее нейтральному элементу.

{(4.40) линейно независима}.

Пусть теперь  – произвольная линейная форма,  – ее компоненты в базисе (4.40). Обозначим . Тогда

Таким образом,  = , следовательно, система (4.40) в пространстве  является системой образующих, а значит, и базисом. Итак, пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству, имеет ту же размерность. Базисы (4.37) и (4.40) пространств  и называются сопряженными или взаимными. Следовательно, компоненты линейной формы  в базисе (4.37) пространства  – это её координаты во взаимном базисе пространства .

 

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Понятие отображения

 

Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение  (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу  ставится в соответствие вполне определенный элемент  (рис. 4.1).

 

 

Рис. 4.1

 

Если , то  называется образом элемента ;  – прообразом элемента  при отображении f.

Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция  – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.

Отображение  называется тождественным