Вычисление дискретной свертки, функции автокорреляции, функции взаимной корреляции

Цель работы: ознакомиться с методикой вычисления основных функций, используемых в обработке геофизической информации.

 

Вопросы теории и методики

 

Основу обработки геофизической информации составляют три вида математических операций: преобразование Фурье, свертка, корреляционные функции.

 

Свертка

 

Теория выделения сигналов развита в основном для линейных систем, для которых справедлив принцип суперпозиции. Основываясь на этом принципе, в качестве характеристик линейной системы удобно выбрать ее отклики на входные воздействия некоторых простейших форм. В этом случае вычисление функции отклика системы на входной сигнал сложной формы можно свести к простой схеме:

а) разложение входного сигнала на составляющие выбранной формы, для которых отклик систем известен;

б) вычисление выходного сигнала как сумму откликов системы на все составляющие входного сигнала.

Эта схема применяется при вычислении функции отклика линейной системы, основанном на разложении входного сигнала по единичным импульсам. Это приводит к интегралу свертки

.                               (4.1)

Это выражение описывает такие преобразования как фильтрация, сглаживание, интерполирование непрерывных функций. Дискретным аналогом свертки является выражение

.                                             (4.2)

Но такая свертка не реализуема, так как эта формула пригодна для бесконечных рядов. На практике количество членов в последовательности конечно. Если временной ряд содержит  членов, то это значит, что все значения до и после рассматриваемого ряда равны 0

Пусть временной ряд  содержит  членов, тогда .

Пусть , тогда

,                                   (4.3)

где .

Однако по этой формуле вычисления содержат слишком много операций, например,

.

Для того, чтобы этого избежать на практике используется следующая формула

, при ,                               (4.4)

, при ,                                (4.5)

Тогда       

Из последних формул следует, что свертку можно рассматривать, как операцию взаимного сдвига двух временных рядов

 

Пример: пусть

F0

F1

F2

F3

F   =

 

 

G0

G1

G2

G   =

 

 Тогда

 

Y0 =			F0	F1	F2	F3
	G2	G1	G0

  

 

 

Y1 =			F0	F1	F2	F3
		G2	G1	G0

  

Y2 =			F0	F1	F2	F3
			G2	G1	G0

 

Y3 =	F0	F1	F2	F3
		G2	G1	G0

 

Y4 =	F0	F1	F2	F3
			G2	G1	G0

 

Y5 =	F0	F1	F2	F3
				G1	G0

 

            Так рассчитывается свертка двух функций.

 

В геофизике существуют два подхода к геофизическому сигналу:

А) сигнал детерминированный;

Б) сигнал случайный.

Детерминированными сигналами называются сигналы, которые можно точно предсказать и форма которых может быть заранее известна. Однако на практике сигналы настолько сложны, что предсказать их можно лишь только какими-либо осредненными характеристиками. Бывает так, что сколько бы раз мы не повторяли какой-либо геофизический процесс, выходной сигнал никогда не повторяется, т.е. мы не можем заранее предугадать или прогнозировать появление того или иного выходного сигнала. Такие сигналы называются случайными. Нормальное поле, состоящее из случайных сигналов, обладает замечательной особенностью – оно статистически полностью описывается корреляционными функциями, что дает основание для описания случайных сигналов пользоваться корреляционной теорией. Существуют два вида корреляционных функций: функция автокорреляции (ФАК) и функция взаимной корреляции (ФВК).

 

ФВК

 

В непрерывной форме ФВК вычисляется по интегральной формуле следующего вида:

.                                       (4.6)

Пусть вместо непрерывных функций заданы временные ряды

, всего  членов;

всего  членов.

Пусть количество отсчетов выходной дискретной ФВК – 1, 2, 3,….m.

В практических задачах m обычно составляет 10-15 % от n. Тогда дискретная ФВК имеет вид:

.                                  (4.7)

            Однако часто бывает знать необходимо значения ФВК при отрицательных временах. В этом случае  должно принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Если , то формула принимает вид:

.                                 (4.8)

Распишем формулы если .

            Расчеты по этим формулам можно выполнить как операцию взаимного сдвига.

 

            Пример: пусть заданы временные ряды

        

Требуется рассчитать ФВК при . Тогда

 

=	F0	F1	F2	F3
			H0	H1	H2	H3

 

=	F0	F1	F2	F3
		H0	H1	H2	H3

 

=	F0	F1	F2	F3
	H0	H1	H2	H3

 

=		F0	F1	F2	F3
	H0	H1	H2	H3

 

=			F0	F1	F2	F3
	H0	H1	H2	H3

 

Результат совпадает с вычисленными по формулам.

 

      4.1.3 ФАК

      Вид дискретной функции автокорреляции аналогичен формулам для ФВК. Если , то

.                                    (4.9)

Для ФАК справедливы следующие свойства: это функция симметричная, четная, т.е. , имеет максимум при .

 

      4.2 Задание

 

       4.2.1 Выберите в соответствии с вариантом временные ряды  с  членами,  с  членами и  с  членами (таблица 4.1).

      4.2.2 Построить графики функций , , .

      4.2.3 Рассчитать свертку, как результат взаимного сдвига рядов  и , построить ее график.

     4.2.4 Рассчитать ФВК, как результат взаимного сдвига рядов  и , построить ее график и по графику определить сдвиг между этими рядами в номерах отсчетов .

     4.2.5 Рассчитать ФАК, как результат взаимного сдвига ряда , построить в номерах отсчетов .

 

Содержание отчета

 

4.3.1 Описание физического смысла рассмотренных преобразований.

4.3.2 Методика расчета

4.3.3 Вычисление свертки и корреляционных функций.

4.3.4 Выводы, графики, приложения.

 

4.4 Контрольные вопросы

4.4.1 Дать определение свертки, объяснить ее физический смысл и рассказать о том, как эта функция используется при обработке геофизической информации.

4.4.2 Как в геофизике используется ФАК?

4.4.3  Как в геофизике используется ФВК?

4.4.4 Дайте определения корреляционных функций, расскажите об их свойствах.

Лабораторная работа № 5