Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения.

Определение 9.1. Кривыми второго порядка  на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

 

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

 

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных:

.

 

                                      Эллипс.   

Определение 9.2. Эллипсом  называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Замечание. При совпадении точек F ₁ и F ₂ эллипс превращается в окружность.

                                 Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

у         М(х,у)    координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F ₁ F ₂, начало     

    r₁ r₂                      координат – с серединой отрезка F ₁ F ₂. Пусть длина этого

                                  отрезка равна 2 с, тогда в выбранной системе координат

F₁   O F₂         x  F ₁(- c, 0), F ₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и                

                                   сумма расстояний от нее до F ₁ и F ₂ равна 2 а.

                                  Тогда r ₁ + r ₂ = 2 a, но  ,

поэтому  Введя обозначение b ² = a ²- c ² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса:                                                                                (9.1)

 

Определение 9.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (9.2)

 

Определение 9.4. Директрисой D_i эллипса, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

 

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (9.1), а уравнением второй степени другого вида.

 

                    Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2 а и 2 b (2 a >2 b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e < 1.                                                           

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е <1, следовательно, а/е> a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

 Составим уравнения директрис:

(D ₁),   (D ₂). Тогда   Отсюда r_i / d_i = e, что и требовалось доказать.

 

                               Гипербола.

Определение 9.5. Гиперболой  называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

| r₁ - r₂| = 2 a, откуда Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить

                    

            - каноническое уравнение гиперболы.         (9.3)

 

  Определение 9.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

 

Определение 9.7. Директрисой D_i гиперболы, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

 

                   Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

                               и .

3) Наряду с гиперболой (9.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

                  ,                                                                 (9.3`) 

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r_i от точки гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

 

 

                                  Парабола.

 

Определение 9.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

        у                               Для вывода уравнения параболы выберем декартову

                                             систему координат так, чтобы ее началом была середина

       d     M(x,y)    перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

                 r                су, а координатные оси располагались параллельно и

                                        перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

 D O F       x        равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

                                                поскольку

 Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y ² = 2 px,                                                            (9.4)

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

 

                  Свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

 

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e <1), гиперболу (при e >1) или параболу (при е =1).

 

 

Лекция 10.

 Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоидов, гиперболоидов и параболоидов.

                            

                                  Поверхности второго порядка.

Определение 10.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

-     (10.1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Эллипсоид.

Определение 10.2. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяется уравнением

.                                             (10.2)

Уравнение (10.2) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c - полуоси эллипсоида. Сечением эллипсоида любой плоскостью, параллельной координатным плоскостям, является эллипс (в частном случае окружность).

Координаты точек эллипсоида удовлетворяют неравенствам         - a £ x £ a, - b £ y £ b, - c £ z £ c.

       В частном случае, при a= b, эллипсоид является поверхностью вращения, получающейся при вращении вокруг оси Oz эллипса , лежащего в плоскости xOz. При a = b = с эллипсоид представляет собой сферу.

           

Гиперболоиды.

 

Определение 10.3. Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими уравнениями

,                                          (10.3)

.                                         (10.4)

 

Гиперболоид, определяемый уравнением (10.3), называется однополостным; гиперболоид, определяемый уравнением (10.4), называется двуполостным. Для обоих видов гиперболоидов сечения, параллельные оси Oz - гиперболы (для однополостного гиперболоида в сечении может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости xOy - эллипсы.

Величины a, b, с называются полуосями гиперболоида.

 

Замечание. При a= b гиперболоиды являются поверхностями вращения.

Параболоиды.

Определение 10.4. Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими уравнениями

,                                          (10.5)

                                ,                                         (10.6)

где p и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (10.5), называется эллиптическим. Сечения эллиптического параболоида, параллельные оси Oz - параболы; сечения, параллельные плоскости xOy - эллипсы. Параболоид, определяемый уравнением (10.6), называется гиперболическим. Сечения гиперболического параболоида, параллельные плоскостям yOz и xOz - параболы; сечения, параллельные плоскости xOy - гиперболы.

 

Замечание. В случае, когда p = q, эллиптический параболоид (10.5) является поверхностью вращения (вокруг оси Oz).

           

Пример. Определить вид поверхности

,

 используя метод сечения плоскостями.

 

Решение. Уравнение поверхности не содержит членов с произведением координат, следовательно плоскости симметрий параллельны координатным плоскостям.

 

Пересекая поверхность плоскостями  параллельными плоскости xOy, получим:

.

Так как  для любого с, полученная кривая является гиперболой с действительной осью, параллельной оси Ox.

 

Пересекая поверхность плоскостями  аналогично получаем уравнение

гиперболы с действительной осью, параллельной оси Ox.

 

При пересечении данной поверхности плоскостями , параллельными координатной плоскости yOz, получаем:

.

 

Последнее уравнение при ,т.е. при  и  , есть уравнение эллипса.

 

Таким образом сечениями поверхности плоскостями являются эллипсы и гиперболы, действительные оси которых параллельны. Следовательно, исследуемая поверхность ­- двуполостный гиперболоид. Его уравнение можно преобразовать к каноническому виду:

.