Перпендикулярности плоскостей.

 Если две плоскости (α₁ и α₂) заданы общими уравнениями вида:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁ =0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n ₁={ A₁, B₁, C₁) и n ₂={ A₂, B₂, C₂). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α₁ и α₂ равен

                                                             (8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

                                                                                                    (8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

               A₁ A₂ + B₁ B₂ + C₁ C₂ = 0.                                                                  (8.6)

 

  Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М ₁(х₁, у₁, z₁), M ₂(x₂, y₂, z₂) и M ₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М₁М ₂ ={ x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ }, М₁М ₃ ={ x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁ }и М₁М ={ x - x₁, y - y₁, z - z₁ }, где М(x, y, z) – произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

                                                                             (8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:

                                                                            (8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:

              ,                                                  (8.9)

где x₀, y₀, z₀ – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.

 

                  Прямая в пространстве.

 

Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A₁ x+ B₁ y+ C₁ z+ D₁= 0 и A₂ x+ B₂ y+ C₂ z+ D₂ =0, где коэффициенты A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ не пропорциональны:

 

                    A₁x+B₁y+C₁z+D₁ =0                                                              (8.10)

                    A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀, y₀, z₀) параллельно вектору a ={ l, m, n}.

Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Для любой точки М(x, y, z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = { x - x₀, y - y₀, z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

                                                                                   (8.11)

называемые каноническими уравнениями  прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М ₂ = { x₂ – x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ }, и уравнения (8.11) принимают вид:

                 -                                                         (8.12)

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

                      .                                                                             (8.13)

Для того, чтобы перейти от уравнений (8.10) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [ n₁ n₂ ] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (8.10), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Пример. Составим канонические уравнения прямой

               .

Найдем [ n₁ n₂ ]. n ₁ = {2,1,-3}, n ₂ = {1,-5,4}. Тогда [ n₁ n ₂ ] = {-11,-11,-11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1,1,1}.

Будем искать точку на прямой с координатой z₀=0. Для координат х ₀ и у₀ получим систему уравнений   , откуда х ₀=2, у ₀=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

                  .

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

                 .      

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.