Доверительные границы случайной погрешности

Оценка измеряемой величины является случайной величиной и, следовательно, отличается от нее на некоторую погрешность. В связи с этим практический интерес представляет определение вероятности Р _д того, что измеряемая величи­на x _и = А находится в заранее заданном довери­тельном интервале 2D_г, причем ±D_г — доверительные границы случайной пог­решности результата измерения, а Р _д — довери­тельная вероятность. Аналитически доверительная вероятность запи­сывается в следующем виде:

Зная закон r(D) плотности вероятности случайной погрешности, можно по заданному Р _д найти доверительный интервал (и наобо­рот). При поиске доверительного интервала вероятность задают равной 0,90...0,99. Если число наблюдений п велико, то для расчета доверительной гра­ницы можно использовать выражение D_г=ks, где k – коэффициент, зависящий от закона и объема выборки. 

Границы НСП

Всегда остаются неисключенные систематические пог­решности (НСП), определяемые с некоторой погрешностью. Обычно НСП при повторных измерениях с применением других приборов (аналогичного типа) изменя­ются, но остаются в заданных границах. Поэтому по­добные НСП принято рассматривать как случайные с равномерным симметричным законом распределения плотности вероятности и опреде­лять каждую границами ±q _i. Причем в качестве границы q _i принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погреш­ностей используемых средств измерений.

Общую границу q = q(Р _д) нескольких НСП вычисляют по формуле

где т — число неисключенных систематических погрешностей измере­ний, k — коэффициент, зависящий от т, принятой доверительной ве­роятности Р _д и соотношения между составляющими q _i. Данная вероят­ность Р _д должна быть равна той, которая была принята при расчете доверительной границы случайной погрешности результата измерения. На практике чаще всего задают доверительную вероятность Р _д = 0,95 и реже Р _д = 0,9.

Выбор коэффициента k может выполняться в соответствии с т и графиками, где l=q₁/q₂ — отношение границ; q₁ — максимальная граница; q₂— граница, ближайшая к q₁.

Р д	m	k
0,95	¾	1,1
0,99	> 4	1,4
	£ 4	по графику k (l) | m на рис. 2.9

Границы погрешности результата измерения. В общем случае на по­грешность результата измерения с многократными наблюдениями влияют случайные погрешности и НСП. Методика оценки:

 1. Пусть q — граница НСП, — оценка СКО результата измерения, a   — доверительная граница случай­ной погрешности результата измерения. Причем оценки q и e вы­полнены при одинаковой доверительной вероятности.

2. Если , то НСП пренебрегают, считая их несущественными по сравнению со случайными погрешностями, и полагают, что граница погрешности ре­зультата измерения .

3. При , пренебрегают случайной погрешностью по сравне­нию с НСП и полагают, что граница погрешности результата измерения D = q.

4. В случаях, когда , границу погрешности ре­зультата измерения вычисляют по формуле D =|q| + e, где q — общая граница НСП,  — доверительная грани­ца случайной погрешности.

краткая Методика обработки результатов

многократных измерений

Предполагается, что наблюдения выполняются одним экспериментатором в одинаковых условиях, одним и тем же прибором.

1. Проводят N единичных измерений Y’₁...Y’_N.

2. Исключают известные систематические погрешности из результатов и получают исправленные значения Y₁...Y_N.

3. Находят среднеарифметическое и принимают его за результат измерений (Y_cp).

4. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результатов:

а) определяют s* (точность метода при единичном измерении);

б) находят относительное значение среднеквадратической погрешности  (точность метода при единичном измерении).

5. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результатов измерений  (это погрешность результата после обработки многократных измерений).

6. Проверяют гипотезу о том, что распределение результатов наблюдений нормальное (например, построением гистограммы).

7. Вычисляют доверительные границы случайной погрешности:

а) задаются доверительной вероятностью, учитывая объем выборки N;

б) вычисляют доверительные границы для данного закона распределения.

3. Правила суммирования погрешностей

Погрешности сложных измерительных приборов зависят от погрешностей отдельных узлов (блоков), также как и погрешности ряда систем и комплексов зависят от погрешности отдельных РИП, преобразователей, мер.

1. Систематические погрешности, если они известны или достаточно точно определены, суммируют алгебраически (т.е. с учетом собственных знаков).

Когда виды погрешностей не определены, их учитывают как случайные (рандомизинируют).

2. Случайные погрешности (среднеквадратические оценки) суммируют с учетом их взаимных корреляционных связей. Например, для двух погрешностей:

, где r Î(-1;+1) - коэффициент корреляции. На практике обычно принимают r = 0;-1;+1. При r = 0 суммирование геометрическое. При r = ±1 суммирование алгебраическое: s_å = s₁ ± s₂.

Некоррелированные погрешности (вызванные независимыми причинами) всегда суммируются геометрически:    .

Чем больше n, тем ближе итоговое распределение к нормальному.

При оценке влияния частных погрешностей на результат используют критерий ничтожной погрешности, в соответствии с которой, если вклад от составляющей i-й погрешности приводит к изменению суммарной не более, чем на 5%, то погрешность признается ничтожной.

Принимая во внимание, что d²_å = (d_{å k})² + d²_i, критерий ничтожности имеет вид: d_i £ 0.3d_å. Иногда рассматривают совокупность ничтожных погрешностей:

При округлении окончательного результата могут быть опущены: одна малая составляющая, если она в 5 раз меньше наибольшей из суммируемых составляющих, две составляющие, если они в 7 раз меньше, и четыре, если они в 8 раз меньше наибольшей. Но делать такое заключение можно только после суммирования коррелированных составляющих и приведенных числовых значений погрешности к одному виду.

4. Погрешности косвенных измерений

Особенность косвенных измерений состоит в том, что величина А, значение которой надо измерить, является известной функцией ƒ ряда других величин — аргументов х ₁, х ₂, …, х_m. Данные аргументы подвер­гаются прямым измерениям, а величина А вычисляется по формуле

A = ƒ(х ₁, х ₂, …, х_m).

Таким образом, при косвенных измерениях искомое значение находится на основании известной функциональной зависимости по результатам прямых измерений. Определение погрешности базируется на двух теоремах:

Теорема 1:

Если функциональная зависимость линейная:

Y =C₀ + C₁X₁ + C₂X₂ +... + C_gX_g,

 где C₀, C₁,...,C_g - постоянные коэффициенты; X₁, X₂,..., X_g - измеряемые прямым путём аргументы; тогда абсолютные систематические погрешности суммируются с теми же коэффициентами: DY_систå = C₁DX₁ + C₂DX₂ +,...,+ C_дDX_д, а среднеквадратическая погрешность находится по формуле:

,

где DX_i - абсолютные систематические погрешности измерения X_i;

  s_i - среднеквадратические погрешности измерения X_i.

Теорема 2:

Если функциональная зависимость представляет собой нелинейную дифференцируемую функцию Y = f (X₁,X₂,...,X_g), тогда абсолютные систематическая и случайная погрешности определяются по формулам:

.

Если погрешности коррелировы, тогда:

,

где K_ij - корреляционный момент: K_ij =r_ij s_is_j.

Величину r - выбирают равной 1 при наличии корреляции или 0, если её нет.

Необходимо отметить, что при косвенных измерениях ошибки вычислений должны быть на порядок меньше погрешностей непосредственных измерений аргументов, в противном случае надо учитывать погрешности вычислений как независимые составляющие.

Доверительные границы случайной погрешности и неисключенных систематических погрешностей. При косвенных измерениях, как и при многократных наблюдениях прямых измерений, оценка результата измерения является случайной величиной и отличается от истинного значения. По­этому практический интерес имеет оценка доверительного интервала , в котором находится А _и с заданной доверительной веро­ятностью Р д, где ± D_г — доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения.

При условии распределения плотности вероятности погрешностей ре­зультатов измерения всех аргументов функции  по нормальному закону граница D_г вычисляется по формуле:

где t (Р д, п) - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р д;  — оценка среднеквадратического отклонения случайной погрешности косвенного измерения.

Граница q неисключенных систематических погрешностей результата косвенного измерения вычисляется без учета знака по формуле

здесь q _i — заданные границы результатов измерений неисключенных систематических погрешностей аргументов; k — поправочный коэффи­циент, значения которого вычисляются с учетом задаваемой доверительной вероятности Р д для оценки значения q, а также числа т составляющих q _i.

Границы погрешности результата косвенного измерения. Суммарные границы ±D погрешности результата косвенного измерения вычисляют с учетом границы НСП q и доверительной границы e случайной погрешности  в зависимости от отношения , где  — оценка среднеквадратического отклонения случайной погрешности косвенного измере­ния. Порядок такого учета аналогичен соответствующему учету для однократных прямых измерений, где коэффи­циент К зависит от задаваемой доверительной вероятности (Р д = 0,95 или Р д = 0,99) и отношения .

Зависимости коэффициента К при косвенных измерениях

	0,5	0,75	1	2	3	4	5	6	7	8
K для Р д= 0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,81	0,81
K для Р д= 0,95	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Результат косвенного измерения и его погрешность должны пред­ставляться в виде формулы

В заключение отметим, что при однократных измерениях аргументов процедура определения результата косвенно измеряемой величины со­храняется такой же, как и при многократных измерениях.

 

Лекция 9: Эталоны и меры

Воспроизведение основной единицы осуществляется путем создания фиксированной по размеру физической ве­личины в соответствии с определением единицы. Оно вос­производится с помощью государственных первичных эта­лонов. Например, единица массы 1 кг воспроизведена точно в виде платиноиридиевой гири, хранимой в Международном бюро весов в качестве международного эталона.

Воспроизведение производной единицы сводится к оп­ределению значения физической величины в указанных единицах на основании измерений других величин, связан­ных функционально с измеряемой величиной.

Существуют эталоны для воспроизведения как основных еди­ниц системы, так и ряда производных единиц, например, эталон единицы давления, эталоны единиц электрических величин: ЭДС, сопротивления, емкости, индуктивности и др. Создание эталонов производных единиц позволяет повысить точность, с которой передаются размеры этих единиц нижестоящим ОСИ. При создании эталонов производных единиц обеспечивается их связь с эталонами основных единиц.

Повышение точности воспроизведения единиц физических вели­чин, как правило, связано с усложнением применяемых для этой цели устройств. Единица физической величины воспроизводится путем сложных операций с помощью эталонной установки в соот­ветствии со строго определенной спецификацией. В принципе та­кие эталонные установки и применяемые чистые вещества могут быть воспроизведены в любом месте с одним только условием, чтобы они удовлетворяли требованиям, предусмотренным специ­фикацией. Однако известно, что результаты измерений, произве­денных в различных местах с максимальной тщательностью, все же имеют некоторые расхождения. Это подтверждает и практика международных сличений национальных эталонов различных стран, эталонные работы в которых проводятся на высшем науч­ном уровне.

Международные эталоны единиц физических величин хранятся в Международном бюро мер и весов (МБМВ). Однако вещественные эталоны могут портиться или изменяться во времени.

Хранение эталонов представляет собой сложнейший комплекс метрологических работ. С одной стороны, необходимо обеспечить максимальную сохранность эталона, с другой — значение единицы от эталона должно передаваться для использования в различных областях человеческой деятельности с необходимой точностью.

Государственные эталоны хранятся в метрологических институтах страны, которые являются центрами или главными центрами государственных эталонов. Для проведения работ с государственными эталонами назначаются особые ответственные лица — ученые хранители эталонов.

Воспроизведение основных единиц Международной системы единиц (СИ) осуществляется с помощью государственных эталонов, т.е. в централизованном порядке. Воспроизведение дополнительных, производных, а в случае не­обходимости и внесистемных единиц осуществляется одним из двух способов, определяемых, исходя из соображений технико-экономи­ческой целесообразности:

1) централизованно—с помощью единого Государственного эталона;

2) децентрализовано — посредством косвенных измерений, выполняемых в органах метрологической службы с помощью ОСИ.

Способ централизованного воспроизведения применяется для большинства важнейших производных единиц СИ (ньютона, джоуля, Паскаля, ома, вольта, генри, Вебера и др.).

Способ децентрализованного воспроизведения применяется к производным единицам, размер которых не может передаваться прямым сравнением с эталоном, или когда поверки мер посредством косвенных измерений проще, чем их сравнение с эталоном, или когда обеспечивается необходимая точность. Когда для воспроизведения единицы требуется наличие специально предна­значенного оборудования, создаются поверочные установки высшей точности.

Эталон единицы длины

В 1889 году метр был принят рав­ным расстоянию между двумя штрихами, нанесенными на метал­лическом стержне Х-образного поперечного сечения. Международный и национальные эталоны метра были изготовлены из сплава платины и иридия, отличающегося значительной твер­достью и большим сопротивлением окислению. Погреш­ности сличения между собой платиноиридиевых штриховых мет­ров находятся в пределах ±1.1×10^-7 м (±0,11 мкм), а так как штрихи имеют значительную ширину, существенно повысить точ­ность этого сличения нельзя.

В 1895 г. Генеральная конференция по мерам и весам при­знала, что естественным свидетелем размера метра является длина световой волны монохроматического света. После изучения спектральных линий ряда элементов было найдено, что наиболь­шую точность воспроизведения единицы длины обеспечивает оранжевая линия изотопа криптона-86. XI Генеральная конферен­ция по мерам и весам (1960 г.) приняла выражение размера метра в длинах этих волн как наиболее точное его значение.

На основе этого решения утверждено следующее определение: «Метр—дли­на, равная 1650763,73 длины волны в вакууме излучения, соответ­ствующего переходу между уровнями 2р₁₀ и 5d₁₅ атома крипто­на-86».

Метр в длинах световых волн воспроизводится интерференци­онным методом на специальной установке с помощью лампы, за­полненной изотопом криптона-86. С целью получения необходимых условий для излучения криптон охлаждают жидким азотом до 58—60 К. Возбуждение атомов криптона производят путем пропускания через него электрического тока.

Осуществление этого нового метода воспроизведения метра дало возможность снизить погрешность воспроизведения метра при­мерно до 10^-8 м, что позволяет выразить результат измерений (в самом благоприятном случае) уже числом из восьми цифр. Кроме повышения точности измерения (там, где это необходимо), первичный эталон единицы длины дает возможность следить за постоянством платиноиридиевого эталона, ставшего теперь вторичным эталоном.

Новейшие достижения в измерении частот и длин волн привели к совпадающим опреде­лениям скорости света, точность которых ограничивается в основ­ном воспроизведением метра со­гласно его существующему опре­делению. Значения длин волн, полученные через измерение ча­стоты и заданную скорость света, обладают большей точностью, чем та, которая может быть до­стигнута сличением с длиной волны эталонного измерения криптона-86.

Исходя из этих соображений на XVII Генеральной конференции мер и весов в 1983 г. было принято новое определение метра. Метр — это длина пути проходимого в вакууме светом за 1/299792458 долю секунды. Внедрение в практику нового опреде­ления метра позволит создать у нас в стране единый комплекс государственных эталонов времени, частоты и длины, который от­кроет возможности значительного повышения точности линейно-угловых измерений, дальнейшего развития астрономии, геодезии и других областей науки.

Эталон единицы массы

Первоначально было намечено за единицу массы принять массу одного кубического дециметра воды при температуре 4° С (при наибольшей плотности воды). Однако большие трудности воспро­изведения единицы массы указанным путем привели к закрепле­нию результата измерений в форме гири из сплава платины и иридия. Созданный одновременно с платиноиридиевым прототи­пом метра, прототип килограмма с аналогичными ему копиями до настоящего времени является носителем и воплощением еди­ницы массы—килограмма.

В состав государственного эталона килограмма входят:

1. Копия международного про­тотипа килограмма — платиноиридиевый эталон, носящий знак №12 и представляющий собой гирю в виде прямого цилиндра с закругленными ребрами диаметром и высотой 39 мм.

2. Равноплечие призменные весы № 1 на 1кг с дистанционным управлением, изготовленные фирмой Рупрехт, служащие для передачи размера единицы массы вторичным эталонам.

3. Равноплечие призменные весы № 2 на 1 кг с дистанцион­ным управлением, изготовленные «ВНИИМ им. Д. И. Менделеева», служащие также для передачи размера единицы массы вторичным эталонам. Платиноиридиевый эталон килограмма № 12 был изготовлен в 1883 г. из металла той же плавки, что и международный прототип килограмма. Он хранится на кварцевой подставке под двумя стеклянными колпаками в стальном шкафу, помещенном в хранилище эталонов. Эталон хранится при атмосферном давлении, температуре (20±3)°С и относительной влажности воздуха 65%.

Чтобы предохранить износ эталона, с ним сличают только два эталона-копии один раз в десять лет. Размер единиц от первичного эталона к рабочим передается с помощью эталонов-копий.

Погрешность воспроизведения единицы массы эталоном килограмма 2×10^-9. Таким образом, эталон килограмма позволяет записывать результат измерения массы в лучшем случае числом из девяти цифр.

Эталон единицы времени

Ранее единицу времени определяли, исходя из солнечных суток. Так как продолжительность солнечных суток в течение года изменяется, то определили средние солнечные сут­ки. За единицу времени принимали секунду, равную 1/86400 сред­них солнечных суток. Позднее обнару­жили, что это вращение Земли происходит неравномерно. Тогда в основу определения единицы времени положили период враще­ния Земли вокруг Солнца — тропический год. Размер секунды был определен как 1/31556925,9747 часть тропического года. Но поскольку тропический год тоже изменяется (на 5 с за 1000 лет), за основу был взят тропический год, отнесен­ный к определенному моменту времени: 12 ч 31 декабря 1899 г. Это определение секунды было зафиксировано в Международной системе единиц в 1960 г.

В 1967 г. XIII Генеральная кон­ференция по мерам и весам приняла новое определение секунды, основанное на физическом явлении, которое позволяет более точно и более стабильно воспроизводить ее размер. «Секунда — 9 192631770 периодов излучения, соответствующего переходу меж­ду двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133». Колебания, получаемые при возбуждении цезия-133 оказались надежными хранителями единицы времени.

В соответствии с определением единицы времени воспроизве­дение ее осуществляется атомно-лучевыми часами. Электромагнитные колебания кварцевого генератора умножа­ются до частоты спектральной линии цезия, принятой за рабочую. В резонаторе атомно-лучевой трубки энергия высокочастотных колебаний поглощается атомами цезия. При отклонении часто­ты кварцевого генератора от номинального значения интенсив­ность переходов атомов и плотность атомного пучка на выходе трубки резко сокращается. Блок автоподстройки, связанный с трубкой, вырабатывает сигнал ошибки, возвращающий частоты кварцевого генератора к номинальному значению. Стабильность частоты атомно-лучевых цезиевых часов составляет 10^-11.

Атомные генераторы, основанные на использовании атомарного водорода, позволяют еще на порядок повысить точность воспроизведения единицы частоты и времени. Менее точные, но более простые и дешевые рубидиевые генераторы. Их частоты и кратковременные нестабильности следующие:

    

Государственный эталон времени и частоты содержит 2 комплекта водородных квантовых генератора, 5 генераторов с кварцевой стабилизацией, 4 комплекта делителей и аппаратуру сличения частот, в том числе международного сличения. Погрешность атомных часов составляет ±(1—5)×10^-12 (+ 1с за 30000 лет).