История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2020-12-07 | 81 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Д-1 . Решение. = = = = = .
Ответ. .
Д-2 . Решение. = = = = = .
Ответ. .
Д-3 . Ответ. .
Д-4 . Ответ. .
Задача 284. Вычислить .
Решение. = = = = = .
Ответ. .
Задача 285. Вычислить .
Решение. Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в числителе, то будет , но тогда в знаменателе получится выражение . чтобы не происходило такого усложнения и не появились вложенные квадратные корни, надо подводить не весь числитель, а отделить тот множитель, который нам удобнее, чтобы потом всё выражалось через .
= = =
и теперь, после замены , получится .
Далее, сделаем преобразование, котрое позволит оставить только однотипные корни:
= = =
=
далее уже с помощью обычных действий со степенными функциями:
= .
После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно обратно меняем дробные степени на корни.
Ответ. .
Задача 286. Вычислить .
Решение. = =
= = = =
= = .
Ответ. .
Задача 287. Вычислить .
Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на , но, тем не менее, в числителе есть переменная , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1-я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.
= =
после замены переменной, это можно переписать так:
а значит, и после обратной замены:
Ответ. .
Задача 288. Вычислить .
Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения, которое есть в знаменателе. Тогда = = = = .
Здесь фактически мы применили замену для упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду .
|
Ответ. .
Задача 289. Вычислить .
Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:
Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при :
=
Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено :
= =
= .
В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:
=
.
Ответ. .
Задача 290. Вычислить интеграл .
Решение. = =
В отличие от прошлой задачи, здесь не надо прибавлять и вычитать, так как полный дифференциал знаменателя это , в знаменателе нет 1-й степени, а его производная поэтому не содержит константу.
Далее, = , и в итоге:
Ответ. .
«Интегрирование по частям»
Вспомнить формулу .
Задача 291. Вычислить .
Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу:
Тогда = = .
Ответ. .
Задача 292. Вычислить интеграл .
Решение.
= = .
Ответ. .
Задача 293. Вычислить интеграл .
Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем , .
Тогда = .
На 2-м шаге, обозначим , .
В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:
= = .
Ответ. .
Задача 294. Вычислить интеграл
Решение. Пусть , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, .
Построим таблицу:
Тогда = =
= =
= .
Ответ. .
Задача 295. Вычислить интеграл
Решение. Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы используем, обозначая её при интегрировании по частям:
Тогда: = .
Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.
|
= =
= =
. Знак модуля даже не нужен, т.к. . Ответ. .
Задача 296. Вычислить интеграл .
Решение. На этом примере увидим, что иногда полезно отступить от того, что мы, как правило, степенную функцию обозначали через u.
Дело в том, что если так сделать, то при переходе от dv к v возникает интеграл, содержащий первообразную арктангенса (такую, как в прошлой задаче), что ведёт к сильному усложнению. Напротив, если , то его производная состоит только из степенных, то есть происходит значительное упрощение. Конечно же здесь придётся смириться с тем что усложняется, растёт его степень, т.е. перейдёт в , но зато арктангенс упрощается очень сильно. Итак, построим таблицу:
= = =
= =
= = .
Ответ. .
Домашние задачи.
Д-5. . Ответ.
Д-6 . Ответ. .
Решение задачи Д-6: Вычислить .
Решение. На первом шаге,
= . Теперь в скобках аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.
Продолжим преобразования:
=
.
После двух действий, мы видим снова интеграл в конце строки.
Можно записать так, раскрыв скобки:
. А теперь можно просто выразить это арифметическим путём.
.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!