Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2020-12-07 | 96 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определения и основные методы.
Определение. Если , то называется первообразной от функции .
Свойство 1. Если первообразная, то (для любого ) тоже является первообразной для той же самой функции .
Это легко доказать, действительно, = = .
Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график , снова будет первообразная.
Свойство 2. Если и две различные первообразные функции , то .
Доказывается так: , т.е. .
Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции называется неопределённым интегралом этой функции. Обозначение: .
Свойства линейности. 1. 2. |
Замечание.
Для произведения аналогичное свойство не верно. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2 простейшие функции, например , .
Тогда , в то же время:
= .
Таблица основных интегралов.
()
;
Объяснение причины возникновения модуля в . Функция существует только на правой полуоси, тогда как имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на левой полуоси. Функция является чётным продолжением на левую полуось, и именно она там является первообразной для при .
Методы интегрирования.
1. Преобразования подынтегральных выражений.
Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Часто нужно домножить и поделить, чтобы сформировать готовое выражение, являющееся производной от известной функции. Например,
|
Пример. = = .
Когда сформировали выражение , а заодно поделили на 3 перед интегралом, теперь уже точно невозможно перепутать или забыть коэффициент.
Аналогично, допустим, что мы помним, что . Тогда можно постараться сформировать готовое выражение типа внутри интеграла. Тем самым мы автоматически докажем, что при интегрировании такое выражение на этот коэффициент делится, а не домножается:
Пример. = = .
Тригонометрические преобразования:
Пример. Вычислить .
Решение. Применим формулу понижения степени.
= = =
= .
Пример. Вычислить .
Решение. = = =
= .
Ответ. .
Замена переменной.
Бывают такие случаи, когда функция имеет вид , то есть явно видно, что всё выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всё выражается через или . Делается замена на , только нужно не забыть пересчитать , потому что , если только замена не является простым линейным сдвигом .
Пример. Вычислить .
Решение. Сделаем замену , тогда , , .
= = = .
Обратная замена: = = .
Более того, область определения исходной функции из-за наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля в ответе является излишним, ответ можно записать так: .
Если в функции присутствуют корни разного порядка, например и , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от .
Если , тогда: , .
Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени :
= ,
= .
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!