Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2020-12-07 | 91 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть кривая задана формулой .
Тогда: .
Доказательство этой формулы.
Рассмотрим формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми координатами:
Но в данном случае это функция . Тогда
, .
Здесь параметр применяется таким же образом, как в прошлой формуле был параметр .
Найдём производные:
Их надо подставить в формулу: .
применим формулу сокращённого умножения в каждом квадрате под корнем. Там получатся квадраты и удвоенные произведения, которые, впрочем, сократятся, ведь они будут разного знака. Выражение под корнем преобразуется так:
=
+
=
=
.
Поэтому в итоге: .
ПРАКТИКА
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Элементарные преобразования
Задача 268. Вычислить .
Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.
= = = .
Ответ. .
Задача 269. Вычислить .
Решение. Замечая, что , преобразуем так:
= = = .
Ответ. .
Задача 270. Вычислить .
Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак, = . Теперь интеграл имеет вид и конечно, равен . Фактически применили замену . Сделав обратную замену, получаем ответ: .
Ответ. .
Задача 271. Вычислить .
Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.
|
= = = =
= и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .
Ответ. .
Задача 272. Вычислить .
Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.
Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:
= = .
Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда = = что тоже приводит к .
Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:
Ответ. .
Задача 273. Вычислить .
Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .
Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:
= = .
С помощью замены сводится к интегралу:
= , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.
Ответ. .
Задача 274. Вычислить .
Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.
Выделяя полный квадрат, получим = .
В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается = = .
Ответ. .
Задача 275. Доказать формулу .
Решение. Известно, что .
В выражении Вынесем за скобку в знаменателе.
= , далее цель - получить везде, в том числе и под знаком дифференциала, чтобы сделать замену . Домножим и поделим на :
= = =
= = .
Задача 276. Вычислить .
Решение. = = = = .
Для того, чтобы применить формулу,
нужно обозначить . Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто а :
= = .
Теперь интеграл имеет вид , и равен .
После обратной замены получаем ответ.
Ответ. .
Кроме различных арифметических преобразований типа разложения многочленов или дробей, существуют задачи, в которых нужно выполнить тригонометрические преобразования подынтегральной функции.
|
Задача 277. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся формулой понижения степени, чтобы перейти от степеней тригонометрических функций к выражениям типа или .
= = = .
Ответ. .
Задача 278. Вычислить .
Решение. Здесь можно было бы применить формулу для косинуса двойного угла, но это преобразование бы только увеличило степени. Поэтому в данном случае для удобнее применить формулу понижения степени ко второму множителю и не менять первый.
= = =
= = .
Первый интеграл вычисляется уже известным способом, а во втором снова понизим степень.
= = .
Ответ. .
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!