Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2020-10-20 | 916 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пример: Дана плотность распределения случайной величины X:
Требуется:
а) найти параметр A;
б) функцию распределения случайной величины X;
в) построить график функции распределения;
г) найти вероятность попадания случайной величины X в интервал .
Решение:
а) Параметр A подберем так, чтобы выполнялось свойство (2) плотности распределения: .
, .
Отсюда .
б) Функцию распределения будем искать на каждом интервале отдельно.
Для значений
,
Для значений
.
Для значений
.
Таким образом,
в) Вероятность попадания случайной величины X в интервал вычисляем по формуле :
.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение НСВ.
2. Плотность и функция распределения.
Задачи на закрепление материала
Дана плотность распределения f (x) случайной величины X. Требуется:
а) найти параметр c;
б) функцию распределения случайной величины X;
в) построить графики функции распределения и плотности распределения;
г) вероятность попадания случайной величины X в интервал .
1. | a = 0,1; b = 1,2. | 2. | a = 2,5; b = 7,1. |
3.Задан график плотности распределения с.в. Х
f(x)
а
а х
1) Записать функцию f(x).
2)Найти F (x).
3)Построить графики функций F(x).
4)Вычислить Р(а/2<X<a).
Тема лекции: Числовые характеристики НСВ
Математическое ожидание с.в. Х находится по формул
М(Х)= ,
если сходится несобственный интеграл.
Дисперсией с.в. Х называют несобственный интеграл
|
Д(Х)= ,
если он сходится.
Для вычисления дисперсии более удобна следующая формула:
Д(Х)=
Пример. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение с.в. Х.
Воспользуемся определениями.
.
.
.
.
Пример: Плотность распределения с.в. задана функцией
1) Найти а, F(x), М(Х), Д(Х).
2) Вычислить Р(-2<X<1/2).
Решение: Для нахождения параметра а воспользуемся свойством плотности распределения вероятностей:
Отсюда находим а= .
Тогда функцию плотности распределения можно записать следующим образом:
Найдем функцию распределения вероятностей F(x):
Для х<-1 F(x)=
Для -1≤х<0 F(x)=
Для 0≤х<1
Для х≥1
Следовательно, функция распределения имеет вид:
Вычислим числовые характеристики с.в. Х.
Математическое ожидание
Дисперсия
2) Вычислим Р(-2<X<1/2).
Вычислить эту вероятность можно двумя способами: с помощью функции плотности или с помощью функции распределения вероятностей.
или
Р(-2<X<1/2)=F(1/2)-F(-2)=
Задачи на закрепление материала
Дана плотность распределения f (x) случайной величины X. Требуется:
а) найти параметр c;
б) функцию распределения случайной величины X;
в) найти числовые характеристики случайной величины X;
г) вероятность попадания случайной величины X в интервал .
10. | a = 3,2; b = 6,4. | 20. | a = 1; b = 2. |
Тема лекции: Основные распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение
Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если на отрезке , которому принадлежат все возможные значения X, плотность распределения сохраняет постоянное значение, а именно:
,
вне этого отрезка .
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями:
, .
Показательное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность распределения имеет вид:
|
где , .
Числовые характеристики этого распределения определяются равенствами:
, .
Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение (или распределение Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:
.
Постоянные a и s (s > 0) называются параметрами нормального распределения и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины X, т. е.
, .
Отсюда .
График функции называют нормальной кривой (или кривой Гаусса). Кривая имеет форму «колокола», симметричного относительно прямой (рис. 1).
Функция распределения нормальной случайной величины
связана с функцией Лапласа соотношением
.
где - функция Лапласа, таблицу значений которой можно найти в приложениях.
Замечание: Ф(х) - функция нечетная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х).
Поэтому для нормальной случайной величины справедлива формула
.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормальной случайной величины меньше положительного чи с ла d, равна:
.
В частности,
.
Отсюда следует «правило трех сигм»: если случайная величина X имеет нормальное распределение, то отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превышает утроенное среднее квадратическое отклонение (3 s).
Нормальный закон – наиболее часто встречающийся закон распределения, он является предельным законом, к которому, при определенных условиях, приближаются другие законы распределения.
Пример. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности . Требуется найти:
а) математическое ожидание и дисперсию X;
б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;
в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от математического ожидания окажется меньше 5.
Решение.
а) Сравнив данную функцию с плотностью нормального распределения, заключаем, что , . Следовательно, , .
б) Воспользуемся формулой .
В нашем случае , , a = 3; b = 10.
Значения и определили по таблице значений функции Лапласа.
в) Воспользуемся формулой , где , , d = 5.
.
Пример: Ошибка измерительного прибора - случайная величина, распределенная по нормальному закону, со средним квадратическим отклонением 3 мк. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Какова вероятность того, что в независимом измерении ошибка окажется в интервале (0; 2,4)?
|
Решение: Вычислим вероятность того, что в результате измерения случайная, величина Х - ошибка измерительного прибора будет принадлежать интервалу (0; 2,4):
Здесь математическое ожидание a=0 (так как систематическая ошибка отсутствует, то среднее значение ошибки при большом числе измерений будит равно нулю).
Ф(0)=0, Ф(0,8)=0,2881 находим по таблице Лапласа.
Теперь найдем вероятность события , состоящего в том, что в результате трех измерений
Пример: Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (4; 16), равна 0,8664. Найти среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Решение: По условию задачи случайная величина Х имеет математическое ожидание а=10 и
Но, с другой стороны,
где σ - среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
Итак, 2Ф()=0,8664 или Ф()=0,4332.
По таблице значений функции Лапласа находим =1,5. Откуда σ=4.
Задачи на закрепление материала
Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности f (x). Требуется найти:
а) математическое ожидание и дисперсию X;
б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;
в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше d.
1. | , a = 11; b = 21; d = 6. | 3. | , a = 6; b = 15; d = 8. |
2. | , a = 9; b = 19; d = 4. | 4. | , a = 2; b = 15; d = 3. |
Практические занятия
1. Практическое занятие №2 «Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных задач. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности»
2. Практическое занятие №3 «Вычисление вероятностей событий, используя теоремы сложения, умножения вероятностей»
3. Практическое занятие №4 «Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных задач. Вычисление вероятностей сложных событий»Практическое занятие №5 «Решение задач на запись ДСВ»
|
2. Практическое занятие №6 «Вычисление числовых характеристик ДСВ»Практическое занятие №7 «Нахождение интегральной функция распределения НСВ»
2. Практическое занятие №8 «Вычисление характеристик НСВ с помощью функции плотности»
3. Практическое занятие №9 «Вычисление вероятностей для нормального распределения»
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!