Оп. 02. Теория вероятностей и математическая статистика

(ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК)

программы подготовки специалистов среднего звена

по специальности 09.02.05 «Прикладная информатика (по отраслям)»

 

 

РАССМОТРЕНО на совместном заседании научно-методического совета отделения Технологий и сервиса и рабочей группы по разработке ОП-ППССЗ по специальности 09.02.05 «Прикладная информатика (по отраслям)» (Протокол № 11 от 24.06.2016 г.) и рекомендована к применению

 

г. Каменск-Уральский, 2016 г.

 

 Учебно-методический комплекс по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" составлен в соответствии с требованиями к минимуму результатов освоения дисциплины, изложенными в Федеральном государственном стандарте среднего профессионального образования по специальности 09.02.05   утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 13.08.2014 г № 1001.

 Учебно-методический комплекс по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика адресован студентам очной формы обучения.

УМКД включает теоретический блок, примеры решения задач, задания для закрепления материала, перечень практических занятий, вопросы для самоконтроля, а также   примерные вопросы и задания по промежуточной и итоговой аттестации.

 

 

 

Организация-разработчик: ГАПОУ СО «Каменск-Уральский техникум торговли и сервиса

 

Разработчик: Андреева Н.А.., преподаватель первой квалификационной категории,

 

 

Содержательная экспертиза: Скоринов В.А. - руководитель рабочей группы по разработке ОП-ППССЗ по специальности 09.02.05 «Прикладная информатика (по отраслям)»

 

 

Техническая экспертиза:    Афанасьева М.Г., методист ГАПОУ СО «КУТТС»

 

 

  
СОДЕРЖАНИЕ

Наименование разделов	стр
Введение	4
Образовательный маршрут	7
Содержание дисциплины	8
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК	8
Раздел 1. Основные понятия комбинаторики	8
Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики	8
Раздел 2. Основы теории вероятностей	15
Тема 2.1. Основные теоремы теории вероятностей	15
Тема 2.2. Дискретные случайные величины (ДСВ)	33
Тема 2.3. Непрерывные случайные величины (НСВ)	39
Раздел 3. Основы математической статистики	50
Тема 3.1. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения	50
Тема 3.2. Моделирование случайных величин	59
Тема 3.3. Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа	62
Раздел 4. Основы теории графов	69
Тема 4.1.Основные понятия теории графов	69
Тема 4.2.Остовы графов, деревья	80
Тема 4.3.Виды графов	87
Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины	98
Информационное обеспечение дисциплины	100

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Учебно-методический комплекс по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине.

УМК по дисциплине включает теоретический блок, примеры решения задач, задания для самостоятельного решения, перечень практических занятий, вопросы для самоконтроля.

Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.

По каждой теме в УМК перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие теоретической информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.

 

После изучения теоретического блока приведен перечень практических занятий, выполнение которых обязательно. Наличие положительной оценки по практическим необходимо для получения допуска к экзамену по дисциплине, поэтому в случае отсутствия на уроке по уважительной или неуважительной причине Вам потребуется найти время и выполнить пропущенную работу. В процессе изучения дисциплины предусмотрена самостоятельная внеаудиторная работа, включающая решение задач, углубленную проработку тем.

 

По итогам изучения дисциплины проводится экзамен.

 

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

- Применять стандартные  методы и модели к решению вероятностных и статистических задач

- Пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач

- Применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа

 

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

- Основные понятия комбинаторики

- Основы теории вероятностей и математической статистики

2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке

 

2.1. В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих умений и знаний, а также динамика формирования общих компетенций:

Таблица 1.1

Результаты обучения (освоенные умения, усвоенные знания)	Основные показатели оценки результатов
У 1. Применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач	-Вычисление элементов комбинаторики; -Вычисление классической, геометрической и статистической вероятности; -Вычисление вероятностей случайных событий; - Вычисление вероятности сложных событий; - Вычисление вероятности по формулам Байеса и полной вероятности; - Вычисление вероятности при повторении испытаний по формуле Бернулли, Пуассона, теоремы Муавра-Лапласа; -Cоставление закона распределения дискретной случайной величины; -Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины; -Вычисление числовых характеристик непрерывных случайных величин; -Вычисление выборочной средней и дисперсии;
У 2. Пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач	-Построение полигона, гистограммы; -Вычисление выборочной средней и дисперсии; - Проверка значимости статистических гипотез; -Моделирование случайных величин.
У 3. Применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа	Обоснование выбора методов расчета статистической оценки параметров распределения
З 1. Основные понятия комбинаторики	-Формулировка определений сочетания, размещения, перестановки.
З 2. Основы теории вероятностей и математической статистики	-Формулировка классического определения вероятности; -Формулировка теорем умножения и сложения вероятностей; - Формулировка теоремы Байеса, полной вероятности; - Определение алгоритма действий вычисления вероятности при повторении испытаний по формулам Бернулли, Муавра-Лапласа, Пуассона; - Формулировка определения закона распределения дискретной случайной величины; - Виды распределения дискретной случайной величины; - Формулировка определения математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины; - Формулировка определения функции распределения и плотности распределения непрерывной случайной величины; -Формулировка определений числовых характеристик непрерывной случайной величины; - Классификация законов распределения непрерывной случайной величины; - Формулировка определения статистического распределения выборки, эмпирической функции распределения; - Формулировка определения характеристик выборки; - Формулировка определений основных понятий статистических гипотез; - Формулировка определения основных понятий метода статистических испытаний

 

 

В таблице приведены профессиональные компетенции, к освоению которых готовит содержание дисциплины.

 

Название ПК	Результат, который Вы должны получить после изучения содержания дисциплины
ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.	Умение составлять математические модели решаемых задач
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.	Умение использовать полученные знания при составлении программ.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.	Умение использовать полученные знания при составлении программ.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.	Умение использовать полученные знания при составлении программ.

 

Внимание! Если в ходе изучения дисциплины у Вас возникают трудности, то Вы всегда можете к преподавателю прийти на дополнительные занятия, которые проводятся согласно графику. Время проведения дополнительных занятий Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомившись с графиком их проведения, размещенном на двери кабинета преподавателя.

В случае, если Вы пропустили занятия, Вы также всегда можете прийти на консультацию к преподавателю в часы дополнительных

занятий.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Таблица 1

Формы отчетности, обязательные для сдачи	Количество
практические занятия
Итоговая аттестация (при наличии)	экзамен

Желаем Вам удачи!

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК

Раздел 1. Основные понятия комбинаторики

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики

Введение

 

О теории вероятностей

Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы обоснованным оно не казалось. У нас не может быть абсолютной уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто опытом.

 Допустим, что некоторый простой закон подтверждается для большого числа случаев. Является ли это просто случайным совпадением, или все-таки это - закономерность? Получается, что ученый часто находится в положении игрока; опираясь на метод индукции, он сознательно или не очень вычисляет вероятность.

История теории вероятности содержит очень много неожиданных парадоксов. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором так же легко совершить ошибку. Даже само высказывание "вычислить вероятность" содержит парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?

 Пользуясь классическим определением, можно сказать, что вероятность - это отношение числа случаев, благоприятствующих изучаемому событию, к полному числу возможных случаев. Однако это определение весьма неполно, что может подтвердить простой пример. Давайте посчитаем вероятность того, что при бросании двух игральных костей по крайней мере на одной выпадет 6. Очевидно, что каждая кость может выпасть шестью различными способами. Число всех возможных случаев равно 6*6 = 36; число благоприятствующих случаев равно 11 (6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6, 5-6, 4-6, 3-6, 2-6, 1-6). Таким образом, вероятность равна 11/36. Мы знаем, что это правильное решение.

Но ведь можно рассуждать и по-другому. Числа очков, выпавшие на обеих костях, могут образовать 6*7/2 = 21 различных комбинаций. 6 из них благоприятствующие (6-6, 6-5, 6-4, 6-3, 6-2, 6-1). Вероятность равна 6/21. Этот результат явно отличается от предыдущего. Однако пользуясь нашим определением, мы не сможем найти ошибку.

Таким образом, придется дополнить определение: вероятность - это отношение числа случаев, благоприятствующих изучаемому событию, к полному числу возможных случаев, при условии, что эти случаи равновероятны. И вот мы определили вероятное при помощи вероятного.

 Но как узнать, равновероятны ли два возможных случая? Не является ли это результатом некоторого условного соглашения? Если мы явно укажем условное соглашение перед вычислениями, то все будет хорошо. Но как мы применим результат на практике? Ведь тогда придется доказать состоятельность данного соглашения.

 Некоторые могут предположить, что простого здравого смысла достаточно, чтобы указать верное соглашение. Но описанные далее парадоксы противоречат, казалось бы, всякому здравому смыслу.

Тем не менее без теории вероятности не сможет существовать наука как таковая, ведь без нее мы не сможем ни открыть какой-нибудь закон, ни применять его.

Исторические сведения

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. ^[1]

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.