Проводимость полупроводников

При приложении электрического поля к однородному полупроводнику в нем протекает электрический ток. При наличии двух типов свободных носителей – электронов и дырок – проводимость σ полупроводника будет определяться суммой электронной σ _n и дырочной σ _p компонент проводимости: . Величина электронной и дырочной компонент в полной проводимости определяется классическим соотношением:

           (1.20)

 

где μ _n и μ _p – подвижности электронов и дырок соответственно.

Для легированных полупроводников концентрация основных носителей всегда существенно больше, чем концентрация неосновных носителей, поэтому проводимость таких полупроводников будет определяться только компонентой проводимости основных носителей. Так, для полупроводника n -типа

 

.                  (1.21)

 

Величина, обратная удельной проводимости, называется удельным сопротивлением

 

.         (1.22)

 

Здесь ρ – удельное сопротивление, обычно измеряемое в единицах [Ом·см]. Для типичных полупроводников, используемых в производстве интегральных схем, величина удельного сопротивления находится в диапазоне ρ = (1 - 10) Ом·см.

Подставляя соотношение (1.20) в (1.22), получаем  где N _D – концентрация доноров в полупроводнике n -типа в условиях полной ионизации доноров, равная концентрации свободных электронов n ₀.

 

Токи в полупроводниках

Как уже отмечалось выше, проводимость, а, следовательно, и ток в полупроводниках обусловлены двумя типами свободных носителей. Кроме этого, также есть две причины, обусловливающие появление электрического тока, – наличие электрического поля и наличие градиента концентрации свободных носителей. С учетом сказанного плотность тока в полупроводниках в общем случае будет суммой четырех компонент:

,       (1.23)

 

где  – плотность тока;  – дрейфовая компонента электронного тока;  – диффузионная компонента электронного тока;  – дрейфовая компонента дырочного тока;  – диффузионная компонента дырочного тока.

Выражение для каждой из компонент тока дается следующими соотношениями:

 

             (1.24, а)

                   (1.24, б)

 

где D _n – коэффициент диффузии электронов, связанный с подвижностью электронов μ _n соотношением . Аналогичные соотношения существуют для коэффициентов диффузии дырок D _p и подвижности дырок μ _p.

Таким образом, плотность тока в полупроводнике в одномерном случае

 

.    (1.25)

 

Это выражение называется уравнением плотности тока.

1.9. Неравновесные носители. Генерация

и рекомбинация носителей

 

Образование свободных носителей заряда в полупроводниках связано с переходом электронов из валентной зоны в зону проводимости. Для осуществления такого перехода электрон должен получить энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны. Эту энергию электрон получает от ионов решетки, совершающих тепловые колебания. Таким образом, преодоление запрещенной зоны электроном происходит обычно за счет тепловой энергии решетки. Концентрация носителей заряда, вызванная термическим возбуждением в состоянии теплового равновесия, называется равновесной.

Однако помимо теплового возбуждения появление свободных носителей заряда может быть связано с другими причинами, например, в результате облучения фотонами или частицами большой энергии, ударной ионизации, введения носителей заряда в полупроводник из другого тела (инжекция). Инжекцией неосновных носителей называется введение неосновных носителей заряда. Возникшие таким образом избыточные носители заряда называются неравновесными. Таким образом, полная концентрация носителей заряда равна

 

;                           (1.26)

,                           (1.27)

 

где n ₀ и p ₀ – равновесная концентрация, n и p – неравновесная концентрация электронов и дырок, а D n и D p - концентрация избыточных электронов и избыточных дырок. Если возбуждение избыточных электронов производилось из валентной зоны, а полупроводник однородный и не содержит объемного заряда, то концентрация избыточных электронов равна концентрации избыточных дырок:

.                              (1.28)

 

После прекращения действия механизма, вызвавшего появление неравновесной концентрации носителей, происходит постепенное возвращение к равновесному состоянию. Процесс установления равновесия заключается в том, что каждый избыточный электрон при встрече с вакантным местом (дыркой) занимает его, в результате чего пара неравновесных носителей исчезает. Явление исчезновения пары носителей получило название рекомбинации. В свою очередь, возбуждение электрона из валентной зоны или примесного уровня, сопровождающееся появлением дырки, называется генерацией носителей заряда. На рис. 1.7 G – это темп генерации, а R – темп рекомбинации свободных носителей заряда в собственном полупроводнике.

 

 

Рис. 1.7. Генерация и рекомбинация свободных

электронов и дырок в полупроводниках

 

Для количественного описания процессов рекомбинации носителей заряда вводятся понятия времени жизни t и диффузионной длины L.

Время жизни неосновных носителей заряда – это время, в течение которого избыточная концентрация в месте введения носителей уменьшается в е раз вследствие рекомбинации.

Диффузионная длина равна среднему расстоянию, на котором избыточная концентрация носителей уменьшается в е раз вследствие рекомбинации.

Диффузионная длина связана с временем жизни носителей соотношениями:

 

         ,        (1.29)

 

где D _n и D _p – коэффициенты диффузии электронов и дырок, связанные с подвижностью соотношениями Эйнштейна

 

;         .          (1.30)

 

1.10. Уравнение непрерывности

 

Динамика изменения концентрации неравновесных носителей по времени при наличии генерации и рекомбинации в полупроводнике, а также при протекании электрического тока определяется уравнением непрерывности. Для полупроводника n ‑типа уравнение непрерывности будет описывать динамику изменения концентрации дырок p _n:

 

,                    (1.31)

 

где J _p – дырочный ток, включающий дрейфовую и диффузионную компоненту; G _p – темп генерации неравновесных носителей; R _p – темп рекомбинации.

Уравнение непрерывности – это уравнение сохранения числа частиц в единице объема. Это уравнение показывает, как и по каким причинам изменяется концентрация неравновесных дырок со временем. Во-первых, концентрация дырок может изменяться из-за генерации (ударная ионизация, ионизация под действием света). Во-вторых, концентрация дырок может изменяться из-за их рекомбинации, что учитывает второе слагаемое. В-третьих, концентрация дырок может изменяться из-за дивергенции потока дырок, что учитывает третье слагаемое.

Уравнение непрерывности для электронов имеет вид

 

,                  (1.32)

 

где J _n – электронный ток, включающий дрейфовую и диффузионную компоненту; G _n – темп генерации неравновесных носителей; R _n – темп рекомбинации.

В условиях термодинамического равновесия рекомбинация электронов полностью уравнивает их тепловую генерацию, поэтому G _n = R _n. Если нет ударной и оптической генерации, то генерация возможна только за счет тепловой энергии. В этом случае можно говорить о результирующем эффекте генерации - рекомбинации, введя обозначение RG = R _n - G _n.

Из многих известных механизмов рекомбинации в кремнии и германии доминирующим является механизм рекомбинации носителей заряда через центры рекомбинации (ловушки).

Центры рекомбинации - это атомы золота, платины, серебра, дефекты кристаллической решетки. Ловушки создают уровни в запрещенной зоне. Наиболее эффективны с точки зрения рекомбинации те уровни, которые близки к середине запрещенной зоны.

В модели рекомбинации носителей заряда через ловушки, имеющие один единственный уровень Е _л в запрещенной зоне (модель Шокли - Рида - Холла), темп генерации-рекомбинации носителей заряда определяется выражением

 

,                (1.33)

 

где n = n₀ + D n, p = p₀ + D p, n_i² = n₀ p₀; n_{0 ,} p₀ - равновесные концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне; D n, D p - концентрация неравновесных (избыточных) носителей; n, p - полная концентрация электронов и дырок; n_i - собственная концентрация носителей; n _л, p _л- равновесная концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, когда уровень Ферми совпадает с уровнем ловушек Е _л; t _ро, t _no - время жизни неосновных неравновесных носителей в полупроводниках n и p - типа.

Допустим, что избыточные дырки и электроны введены в равном количестве Dn = Dp. При таких условиях выражение (1.33) можно упростить. Допустим, что Dp << n₀, то есть избыточная концентрация неосновных носителей дырок - много меньше равновесной концентрации основных носителей. В этом случае говорят о низком уровне инжекции (НУИ). Выражение (1.33) принимает вид:

в полупроводнике n - типа

 

;                 (1.34)

 

в полупроводнике p - типа

 

,                   (1.35)

где t_р, t _n - время жизни дырок и электронов при низком уровне инжекции.

При высоком уровне инжекции (ВУИ) дырок в полупроводнике n - типа, когда Dp >> n₀, преобразование (1.33) дает:

в полупроводнике n - типа

 

;                 (1.36)

 

в полупроводнике p - типа

 

,                   (1.37)

 

где t_рв, t _nв - время жизни дырок и электронов при высоком уровне инжекции.

Таким образом, после упрощения уравнения непрерывности (1.31) и (1.32) для дырок и электронов имеют следующий вид:

 

;         (1.38)

 

.         (1.39)

 

Подставим в эти выражения значения плотностей дрейфового и диффузионного тока электронов и дырок, получим уравнения непрерывности в следующем виде:

 

; (1.40)

 

. (1.41)

 

Решение этих уравнений не всегда возможно и обычно допускаются упрощения. В случае, когда электрическое поле отсутствует или его влиянием можно пренебречь, уравнения (1.40) и (1.41) упрощаются:

 

;               (1.42)

.                (1.43)

 

Эти уравнения называют уравнениями диффузии и используют для анализа физических явлений в некоторых полупроводниковых приборах.